第五章特殊四邊形,第23講正方形,知識梳理,,1.正方形的判定和性質(zhì):,(1)有一個角是直角，一組鄰邊相等的平行四邊形(定義)；(2)有一組鄰邊相等的________；(3)有一個角是直角的________；(4)對角線相等且互相垂直的________________.除具有平行四邊形、矩形、菱形的性質(zhì)外，還具有以下性質(zhì)：(1)對角線與邊的夾角為45；(2)S=a2(a表示邊長)；(3)S=l2(l表示對角線).,矩形,菱形,平行四邊形,2.平行四邊形、矩形、菱形與正方形之間的聯(lián)系：,易錯題匯總,,1.如圖1-23-1，正方形ABCD的邊長為8，在各邊順次截取AE=BF=CG=DH=5，則四邊形EFGH的面積是()A.30B.34C.36D.40,B,2.在一次數(shù)學課上，張老師出示了一個題目：“如圖1-23-2，ABCD的對角線相交于點O，過點O作EF⊥BD,分別交AB，CD于點F，E，連接DF，BE.請根據(jù)上述條件，寫出一個正確結(jié)論.”其中四位同學寫出的結(jié)論如下：小青：OE=OF；小何：四邊形DFBE是正方形；小夏：S四邊形AFED=S四邊形FBCE；小雨：∠ACE=∠CAF.這四位同學寫出的結(jié)論不正確的是()A.小青B.小何C.小夏D.小雨,B,3.一頂點重合的兩個大小完全相同的邊長為3的正方形ABCD和正方形AB′C′D′，如圖1-23-3，∠DAD′=45，邊BC與D′C′交于點O，則四邊形ABOD′的周長是()A.6B.6C.3D.3+3,B,4.(2017黃岡)如圖1-23-4，在正方形ABCD的外側(cè)，作等邊△ADE，則∠BED的度數(shù)是_________.,45,考點突破,,考點：正方形的性質(zhì)和判定,1.(2017廣東)如圖1-23-5，在正方形ABCD中，點E是BC邊的中點，DE與AC相交于點F，連接BF，下列結(jié)論：①S△ABF=S△ADF；②S△CDF=4S△CEF；③S△ADF=2S△CEF；④S△ADF=2S△CDF，其中正確的是()A.①③B.②③C.①④D.②④,C,2.(2016廣東)如圖1-23-6，正方形ABCD的面積為1，則以相鄰兩邊中點的連線EF為邊的正方形EFGH的周長為()A.B.C.+1D.+1,B,3.(2017邵陽)如圖1-23-7，已知平行四邊形ABCD，對角線AC，BD相交于點O，∠OBC=∠OCB.(1)求證：平行四邊形ABCD是矩形；(2)請?zhí)砑右粋€條件使矩形ABCD為正方形.,(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD.∵∠OBC=∠OCB，∴OB=OC.∴AC=BD.∴平行四邊形ABCD是矩形.(2)解：AB=AD(或AC⊥BD，答案不唯一)．理由：∵四邊形ABCD是矩形，又∵AB=AD，∴四邊形ABCD是正方形．或∵四邊形ABCD是矩形，又∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD是正方形．,變式診斷,,4.如圖1-23-8，正方形AEFG的邊AE放置在正方形ABCD的對角線AC上，EF與CD交于點M.已知兩正方形的邊長均為2，則兩正方形重合部分(陰影部分)的面積為()A.-4+B.4+C.8-D.+1,A,5.（2018濰坊）如圖1-23-9，正方形ABCD的邊長為1，點A與原點重合，點B在y軸的正半軸上，點D在x軸的負半軸上，將正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)30至正方形AB′C′D′的位置，B′C′與CD相交于點M，則點M的坐標為．,6.（2017懷化）如圖1-23-10，四邊形ABCD是正方形，△EBC是等邊三角形．（1）求證：△ABE≌△DCE；（2）求∠AED的度數(shù)．,（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，△EBC是等邊三角形，∴AB=BC=CD=BE=CE，∠ABC=∠BCD=90，∠EBC=∠ECB=60，∴∠ABE=∠ECD=30.在△ABE和△DCE中，AB=DC,∠ABE=∠DCE,BE=CE,∴△ABE≌△DCE（SAS）．,（2）解:∵BA=BE，∠ABE=30，∴∠BAE=（180-30）=75.∵∠BAD=90，∴∠EAD=90-75=15.同理可得∠ADE=15.∴∠AED=180-15-15=150．,基礎(chǔ)訓(xùn)練,,7.（2018張家界）下列說法正確的是()A.兩條直線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等B．對角線相等的平行四邊形是正方形C．相等的角是對頂角D．角平分線上的點到角兩邊的距離相等,D,8.（2017六盤水）如圖1-23-11，在正方形ABCD中，等邊三角形AEF的頂點E，F(xiàn)分別在邊BC和CD上，則∠AEB=．,75,9.如圖1-23-12，∠MON=45，OA1=1，作正方形A1B1C1A2，面積記作S1；繼續(xù)作第二個正方形A2B2C2A3，面積記作S2；點A1，A2，A3，A4,…在射線ON上，點B1，B2，B3，B4,…在射線OM上,依此類推，第6個正方形的面積S6等于_____________.,1024,10.（2018金華改編）如圖1-23-13,在Rt△ABC中，∠ACB=90，AC=12．點D在直線CB上，四邊形ACDE是正方形．直線AB與直線CE，DE的交點分別為F，G．（1）若點G為DE的中點，求FG的長;（2）若DG=GF，求BC的長．,解：（1）在正方形ACDE中，DG=GE=6，∴在Rt△AEG中，∵EG∥AC，∴△ACF∽△GEF.,（2）∵在正方形ACDE中，AE=DE，∠AEF=∠DEF=45，且EF=EF，∴△AEF≌△DEF.∴∠EAF=∠EDF，設(shè)∠EAF=∠EDF=x.∵AE∥BC，∴∠B=∠EAF=x.∵GF=GD，∴∠GFD=∠EDF=x.在△DBF中，∠GFD+∠FDB+∠B=180，∴x+（x+90）+x=180.解得x=30，∴∠B=30.∴在Rt△ABC中，,11.如圖1-23-14,四邊形ABCD為正方形，點E為線段AC上一點，連接DE，過點E作EF⊥DE，交射線BC于點F，以DE，EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．（1）求證：矩形DEFG是正方形；（2）若AB=2，CE=，求CG的長度；（3）當線段DE與正方形ABCD的某條邊的夾角是30時，直接寫出∠EFC的度數(shù)．,（1）證明：如答圖1-23-1,作EP⊥CD于點P，EQ⊥BC于點Q.∵∠DCA=∠BCA，∴EQ=EP.∵∠QEF+∠FEC=45，∠PED+∠FEC=45，∴∠QEF=∠PED.在Rt△EQF和Rt△EPD中，∠QEF=∠PED,EQ=EP,∠EQF=∠EPD,∴Rt△EQF≌Rt△EPD.∴EF=ED.∴矩形DEFG是正方形.,（2）如答圖1-23-2，在Rt△ABC中,AC=AB=，∵EC=，∴AE=CE.∴點F與C重合，此時△DCG是等腰直角三角形，易知CG=．（3）①當DE與AD的夾角為30時，∠EFC=120.②當DE與DC的夾角為30時，∠EFC=30.綜上所述，∠EFC=120或30．,