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2019年高考數(shù)學大一輪復習 第二章 第5講 對數(shù)與對數(shù)函數(shù)訓練 理
一、選擇題
1．已知實數(shù)a＝log45，b＝0，c＝log30.4，則a，b，c的大小關系為( )
A．b
1，b＝0＝1，c＝log30.4<0，故c1，且>0，得10且a≠1)滿足對任意的x1，x2，當x10，則實數(shù)a的取值范圍為 ( )．
A．(0,1)∪(1,3) B．(1,3)
C．(0,1)∪(1,2) D．(1,2)
解析 “對任意的x1，x2，當x10”實質上就是“函數(shù)單調遞減”的“偽裝”，同時還隱含了“f(x)有意義”．事實上由于g(x)＝x2－ax＋3在x≤時遞減，從而由此得a的取值范圍為(1,2)．故選D.
答案 D
6．已知函數(shù)f(x)＝|lg x|，若03.故選C.
答案 C
二、填空題
7．對任意非零實數(shù)a，b，若a?b的運算原理如圖所示，則(log8)?－2＝________.
解析 框圖的實質是分段函數(shù)，log8＝－3，－2＝9，由框圖可以看出輸出＝－3.
答案?。?.
8．設g(x)＝則g＝________.
解析 g＝ln ＜0，
∴g＝g＝eln＝.
答案
9．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A?B，則實數(shù)a的取值范圍是(c，＋∞)，其中c＝________.
解析 ∵log2x≤2，∴0＜x≤4.又∵A?B，∴a＞4，∴c＝4.
答案 4
10．對于任意實數(shù)x，符號[x]表示x的整數(shù)部分，即[x]是不超過x的最大整數(shù)．在實數(shù)軸R(箭頭向右)上[x]是在點x左側的第一個整數(shù)點，當x是整數(shù)時[x]就是x.這個函數(shù)[x]叫做“取整函數(shù)”，它在數(shù)學本身和生產實踐中有廣泛的應用．那么[log31]＋[log32]＋[log33]＋[log34]＋…＋[log3243]＝________.
解析 當1≤n≤2時，[log3n]＝0，當3≤n<32時，[log3n]＝1，…，當3k≤n<3k＋1時，[log3n]＝k.
故[log31]＋[log32]＋[log33]＋[log34]＋…＋[log3243]＝02＋1(32－3)＋2(33－32)＋3(34－33)＋4(35－34)＋5＝857.
答案 857
三、解答題
11．已知函數(shù)f(x)＝log(a2－3a＋3)x.
(1)判斷函數(shù)的奇偶性；
(2)若y＝f(x)在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)，求a的取值范圍．
解 (1)函數(shù)f(x)＝log(a2－3a＋3)x的定義域為R.
又f(－x)＝log(a2－3a＋3)－x
＝－log(a2－3a＋3)x＝－f(x)，
所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù)．
(2)函數(shù)f(x)＝log(a2－3a＋3)x在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)，則y＝(a2－3a＋3)x在(－∞，＋∞)上為增函數(shù)，
由指數(shù)函數(shù)的單調性，知a2－3a＋3>1，解得a<1或a>2.
所以a的取值范圍是(－∞，1)∪(2，＋∞)．
12．若函數(shù)y＝lg(3－4x＋x2)的定義域為M.當x∈M時，求f(x)＝2x＋2－34x的最值及相應的x的值．
解 y＝lg(3－4x＋x2)，∴3－4x＋x2＞0，
解得x＜1或x＞3，∴M＝{x|x＜1，或x＞3}，
f(x)＝2x＋2－34x＝42x－3(2x)2.
令2x＝t，∵x＜1或x＞3，∴t＞8或0＜t＜2.
∴f(t)＝4t－3t2＝－32＋(t＞8或0＜t＜2)．
由二次函數(shù)性質可知：
當0＜t＜2時，f(t)∈，
當t＞8時，f(t)∈(－∞，－160)，
當2x＝t＝，即x＝log2 時，f(x)max＝.
綜上可知：當x＝log2 時，f(x)取到最大值為，無最小值．
13．已知函數(shù)f(x)＝loga(a＞0，b＞0，a≠1)．
(1)求f(x)的定義域；
(2)討論f(x)的奇偶性；
(3)討論f(x)的單調性；
解 (1)令＞0，
解得f(x)的定義域為(－∞，－b)∪(b，＋∞)．
(2)因f(－x)＝loga＝loga－1
＝－loga＝－f(x)，
故f(x)是奇函數(shù)．
(3)令u(x)＝，則函數(shù)u(x)＝1＋在(－∞，－b)和(b，＋∞)上是減函數(shù)，所以當0＜a＜1時，f(x)在(－∞，－b)和(b，＋∞)上是增函數(shù)；當a＞1時，f(x)在(－∞，－b)和(b，＋∞)上是減函數(shù)．
14．已知函數(shù)f(x)＝loga，(a>0，且a≠1)．
(1)求函數(shù)的定義域，并證明：f(x)＝loga在定義域上是奇函數(shù)；
(2)對于x∈[2,4]，f(x)＝loga>loga恒成立，求m的取值范圍．
解 (1)由>0，解得x<－1或x>1，
∴函數(shù)的定義域為(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
當x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)時，f(－x)＝loga＝loga＝loga－1＝－loga＝－f(x)，
∴f(x)＝loga在定義域上是奇函數(shù)．
(2)由x∈[2,4]時，f(x)＝loga>loga恒成立，
①當a>1時，
∴>>0對x∈[2,4]恒成立．
∴00.
∴y＝g(x)在區(qū)間[2,4]上是增函數(shù)，g(x)min＝g(2)＝15.
∴0loga恒成立，
∴<對x∈[2,4]恒成立．
∴m>(x＋1)(x－1)(7－x)在x∈[2,4]恒成立．
設g(x)＝(x＋1)(x－1)(7－x)，x∈[2,4]，
由①可知y＝g(x)在區(qū)間[2,4]上是增函數(shù)，
g(x)max＝g(4)＝45，∴m>45.
∴m的取值范圍是(0,15)∪(45，＋∞).
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