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同學們好！,大家好!,第三章直線,第二節(jié)各種位置直線,第一節(jié)直線的投影,第三節(jié)一般位置線段的實長及其對投影的傾角,第四節(jié)兩直線的相對位置,第五節(jié)直角投影定理,,H,直線的投影仍為直線，兩點確定一條直線，直線上兩點的投影用直線連接，就得到直線的投影。,b,第一節(jié)直線的投影,直線垂直于投影面其投影積聚為一點(積聚性),作CB//ab,則∠ABC為直線AB對投影面H的傾角α.,直線傾斜于投影面其投影比實長短:ab=ABcosα(類似性）,直線平行于投影面其投影反映線段實長:fg=FG（真實性）,投影特性,F,,A,B,,,a,,,,e(d),,D,E,α,,(c),,,g,,,f,G,C,投影面平行線,平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜,投影面垂直線,正平線（只平行于Ｖ面）,側(cè)平線（只平行于Ｗ面）,水平線（只平行于Ｈ面）,正垂線（垂直于Ｖ面）,側(cè)垂線（垂直于Ｗ面）,鉛垂線（垂直于Ｈ面）,一般位置直線,與三個投影面都傾斜的直線,,垂直于某一投影面(平行于另兩投影面),,返回,,,第二節(jié)各種位置直線,特殊位置直線,,一、直線的分類：,二、相對投影面各種位置直線的投影,一般位置直線的三個投影仍為直線；三個投影都傾斜于投影軸；投影長度小于線段的實長；投影與投影軸的夾角，不反映直線對投影面的傾角。,,,,一般位置直線AB,,,,X,Z,YH,YW,O,直線上點的投影，必在直線的同面投影上；（c∈ab,c∈ab,c∈ab)線段上的點分割線段之比，投影后保持不變。AC/CB=ac/cb=ac/cb=ab/cb),1.一般位置直線上點的投影,,X,YW,YH,C是直線AB上的點,例1如圖中黑色的圖形所示，作出分線段AB為3:2的點c的兩面投影。,0,,,,,,,,作法：1.過點a任作一條直線ae；2.在ae上截取五等分；3.連接be；4.在離點a三等分點處作直線平行于be，交ab上一點c；5.過點c作直線垂直于ox,交a′b′于點c′。點C(c,c′)即為所求。,,,,,a,b,a,b,,,,,c,,c,e,x,2.投影面平行線,,,,,,,,,b,a,1)正平線（投影面V的平行線AB）,投影特性：1.a"b"http://OZ，ab//OX；2.ab=AB；3.正面投影反映α、γ角的真實大小。,投影特性：1.ab//OX，a"b"http://OYw；2.ab=AB；即：水平投影反映線段實長及β、γ角的真實大小。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a,a,b,a,b,b,,2)水平線（投影面H的平行線AB）,3)側(cè)平線（投影面W的平行線AB）,（小結(jié)）投影面平行線的投影特性：1.在直線所平行的投影面上的投影，反映線段實長；它與投影軸的夾角，分別反映直線與另兩投影面夾角的真實大小。2.在另外兩個投影面上的投影，平行于相應的投影軸，長度縮短。,3.投影面垂直線,1)正垂線(投影面V的垂直線AB),,A,B,,,,,,b,a,,(b),a,,投影特性：1.a(b)積聚成一點2.ab⊥Ox；ab⊥Oz3.ab=ab=AB,z,x,yH,yH,o,(投影面H的垂直線AB),投影特性：1、ab積聚成一點2、ab⊥ox,ab⊥oyw3、ab=ab=AB,2)鉛垂線,(投影面W的垂直線AB),投影面垂直線的投影特性：1.在與直線垂直的投影面上的投影積聚成一點。2.在另外兩個投影面上的投影垂直于相應的投影軸且反映線段實長。,3)側(cè)垂線,,,,,,,,,,,z,,,,,,,,,z,1,,,,,z1,,,,,,z,,,,,o,x,a′,b′,a,b,k′,k,1,2,,例2側(cè)平線上的點,已知AB的兩面投影及其上面的點K的正面投影，求點K的水平投影。,利用點在線上分割線段成定比，投影后不變的性質(zhì)作圖。,,,第三節(jié)一般位置線段的實長及其對投影面的傾角,方法是：以線段在某一投影面上的投影長為一直角邊，兩端點與這個投影面的距離差為另一直角邊形成的直角三角形。其斜邊是線段的實長，斜邊與投影長的夾角就是該直線與這個投影面的傾角。,,,,,,,,,,b,a,b,a,,b,a,,在正面投影上求線段實長與傾角β,,,,在水平投影上求線段實長與傾角α,在側(cè)面投影上求線段實長與傾角γ,,,,,,實長,,實長,,實長,,,,,,,直角三角形法,Bo,直角三角形求線段實長及其與投影面的傾角中的三個三角形,設所求線段為AB在三個直角三角形中，斜邊為線段實長；一個直角邊為某投影長，該投影與斜邊的夾角為該直線與投影面的夾角；夾角所對的邊為線段兩端點相應的坐標差。,,,,,β,,,,,,,,,,α,,AB線段實長,,,ΔZAB,,,ab的長,,γ,,,,,AB線段實長,,,ΔXAB,,,ab的長,,,,,,,,,β,,,,,,,β,,,,,,,β,,AB線段實長,ΔYAB,,,ab的長,,,例1已知線段的實長AB，求它的水平投影。,a,,,,根據(jù)已知條件，要求得ab，其方法一是求得A、B兩點的Y坐標差(ΔYAB)；方法二是求得ab的長。此題有兩解(多解時一般只畫一解）,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,b,,x,a,o,b,,,,,,,,,,,方法二已知線段的實長AB，求它的水平投影。,a,,,此題有兩解,,b,,x,a,o,b,,,,,,,,,,解法二,,,方法三：求出ab的長,,,,,b,,x,a,o,b,,,,,,,x,a,b,,,,,B,,,,,,,a,,ΔZAB,,,1,2,以AB兩點的Z坐標差為一直角邊的直角三角形中，另一直角邊為AB水平投影ab的長。即：12=ab,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,Δ,ZAB,,,,,,,例2已知直線AB的α=30求作AB的正面投影。,o,x,a,b,a′,b′,Δ,ZAB,30,1.分析要求得a′b′，其實就是求b′；要求得b′也就是想辦法找到A、B兩點的Z坐標差或者求出a′b′的長。,B0,2.作圖1）作ΔabB0,使∠α=30∠A的對邊為ΔZAB2）過a′作直線平行于Ox軸，與過b而垂直于ox軸的直線交于一點b03）以b0為圓心以ΔZAB為半徑畫圓弧，交bb0的延長線于點b′4）用直線連接a′b′即為所求。,b0,,,o,x,,a,a,′,b,′,k,b,c,d,,,,,,,,,,,,,,,6,8,,,,,,2,0,,,,,d,′,c,′,,,,,,6,8,,,,,2,0,,,k′,例3已知CD∩AB=K，CD∥H，求CD的正面投影。,求k′同前。由于CD∥H所以c′d′∥ox軸。,同學們好！,第四節(jié)兩直線的相對位置,分析：1.已知AB∥CD,根據(jù)正投影圖的作圖法可知：(AaP∥BbP∥CcP∥DcP)⊥P面，則平面ABbPaP∥CDdPcP；2.兩個平行平面（ABbPaP與CDdPcP）與第三平面（P—可被看作是H、V、W面）相交，交線平行；3.綜上所述，我們可以得出：若空間兩直線平行那么他們的同面投影也對應平行（如：ab∥cd、a′b′∥c′d′、a″b″∥c″d″）,一.兩平行直線,X,,,YH,X,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,Z,YW,O,,,a′,b′,a,b,a″,b″,c,d,d′,c′,d″,c″,例1判斷兩直線是否平行,a,a,b,d,c,b,c,d,,,,,,,,o,x,方法一：看直線的方位：由投影圖可以看出ab、cd同向（均由后向前）；ab與cd反向（ab由上向下，cd由下向上）由此看出AB與CD不平行。,方法二：看比例：ab/cd≈1,ab/cd＜1,由此可知，AB不平行于CD。,例2如圖所示，判斷兩側(cè)平線的相對位置。,,,b,,,,,,,,,,,,,X,0,a,c,d,d,c,b,a,作輔助直線AD與BC的兩面投影,判斷：AD與BC是兩相交直線,則AB與CD共面.,只要證明AB與CD共面則有AB∥CD。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,X,0,a,b,c,c,b,a,b,c,d,c,,c,,c,a,b,c,b,,c,,,,,,a,a,b,c,b,c,d,,,YW,X,0,a,b,c,c,b,a,b,c,d,c,c,c,a,b,c,b,c,a,a,b,c,b,c,d,YW,X,0,a,b,c,c,a,b,c,d,c,c,c,a,b,c,c,a,a,b,c,c,d,YW,X,0,a,b,c,c,a,,c,d,c,a,b,c,a,a,b,d,c,d,YW,YH,a,Z,,方法三：求第三投影(三個投影都互相平行，則AB∥CD),方法四：看已知的二直線是否共面,,,,,,,,,,a,b,c,d,c?,a?,b?,d?,例3判斷圖中兩條直線是否平行。,由此可知：對于一般位置直線，只要有兩個同名投影互相平行，空間兩直線就平行。,即AB//CD,返回,,,∴a?b?:c?d?=ab:cd,∵a?b?∥c?d?,ab∥cd,△a?b?1?∽△1?c?d?;△ab1∽△1cd;,∴a?1?:1?d?=a1:1d,a?a∥1?1∥d?d,∴AB與CD共面,a?b?∥c?d?,ab∥cd,o,x,二、兩相交直線,因此，三對同面投影都相交，且交點符合點的三面投影特規(guī)律,Z,YH,a,b,,P,,,,,,,,,,,,A,B,C,D,E,ap,bp,cp,dp,e,,兩直線相交有且僅有一個交點（E）交點是相交兩直線的公有點（P面可以看作H、V、W面）,例1已知AB與CD相交，又知AB的兩面投影及CD的正面投影c?d?，且CD平行于V面。求CD的水平投影,,,,,,a?,b?,c?,d?,a,b,o,x,,,,k?,,,,,分析：∵AB∩CD=K∴K∈AB，K∈CD∴k∈ab，k∈cda?k?/k?b?=ak/kb又因為AB平行于W面，所以cd//ox軸。用定比分點法求k。解：1.過a任作一條直線ae；2.在ae上截取a1=a?b?；a2=a?k?的長度3.連接1b4.作2k∥1b,與ab交于點k5.過k作直線平行于ox軸6.過c?、d?作直線垂直于ox,交上述直線于點c、d,e,1,2,a?k?的長,,,,,,c,d,,三、交錯直線,交錯兩直線的投影既不符合平行兩直線的投影特性，也不符合相交兩直線的投影特性。,X,X,X,X,YH,X,X,X,X,,b,a,a,,,,,,,,e,e,,c,c,f,,,,b,a,a,,,,e,e,,c,c,f,,b,a,a,,,,e,e,,c,c,f,,,b,a,a,,,,e,,c,c,f,,b,a,a,,,,e,,c,c,f,,b,a,a,,,e,,c,c,f,,,b,a,a,,,e,,c,c,f,,b,a,a,,,e,,c,c,f,,b,a,a,,,e,,c,c,f,,b,a,a,,,c,c,,AB與CD交錯，為什么他們在P面上的投影相交呢？因為直線AB上的點F和直線CD上的點E位于指向P面的同一條投射線上，所以點F、E在P面上的投影重合，點F的投影可見而點E的投影不可見。,,dp,bp,(f),,,,,,,,,,,,,A,B,D,,ap,F,E,fp,（ep）,P,S,cp,a,a,,,,,e,e,,f,,a,a,,,e,e,,f,,a,a,,,e,e,,f,,a,a,,,e,,f,,a,a,,,e,,f,,a,a,,,e,,f,,a,a,,,e,,f,,a,a,,,e,,f,,a,a,,,e,,f,,a,a,,,c,,AB與CD交錯，為什么他們在P面上的投影相交呢？因為直線AB上的點F和直線CD上的點E位于指向P面的同一條投射線上，所以點F、E在P面上的投影重合，點F的投影可見，本題中點E、F是對V面的一對重影點；點E在前，所以點F的正面投影f不可見。,(f),C,,例1判斷兩直線的相對位置,,,,,,,,,d,,,a,,c,,b,,y,,,,解法1:作出側(cè)面投影,由三面投影可知,兩直線交錯,,例2判斷兩直線的相對位置(解法2),,,,,用點分割直線段之比，投影后保持不變的性質(zhì)判斷。由水平投影可判斷，點Ⅰ不屬于直線AB，故兩直線交錯。,,,,,第五節(jié)直角投影定理,直角投影定理：互相垂直的兩直線，當一邊為某投影面的平行線時，他們在該投影面上的投影是直角。逆定理也是成立的。,,,,,AB⊥BC，直角邊AB平行于投影面P(P面可以被看作是H、V、W面）,∵AB∥P，Bbp⊥P∴AB⊥Bbp又∵AB⊥BC，∴AB⊥Q，即AB⊥bpcp∵ab∥AB,∴ab⊥Q,即apbp⊥bpcp,,,,a,b,c,,,,X,0,a,c,b,P,直角投影定理：交錯二直線,互相垂直的兩直線，當一邊為某投影面的平行線時，他們在該投影面上的投影是直角。,,例1作直線AB垂直于直線EF。,,,,1′,1,,,,,,例2作直線EF，使其垂直于直線AB和直線CD。,e′,e,f,,,,,,,,,b,′,o,x,a,b,k,1,,,,,,a,′,,,,k,′,,,,,,,Y,K,Ⅰ,,1,′,,,,,,,Y,K,Ⅰ,,,例3求點K到直線AB的距離（投影和實長）。,分析1.∵ab∥ox,∴AB∥V則有k′1′⊥a′b′2.用直角三角形法求出K1的實長便得解。,,,,,,,例4作三角形ABC，∠ABC為直角，使BC在MN上，且BC:AB=2:3。,,,m,x,,m,n,,,,o,n,,MN平行于投影面V，BC在MN上，直角邊BC平行于投影面V，又因為∠ABC=90，所以有：bc=BC,ab⊥bc,用直角三角形法求線段AB實長,|YA-B|,,,,,,,,,AB,,,ab,,,,,bc的長,2份,3份,例5過點A作等邊三角形ABC，使B、C兩點屬于直線KM。,d,′,,A,D,實,長,,,o,x,,,,,,,,,,,,,,,d,,,,,,,邊,實,長,,,,,,,2,2,.,1,,,,,,2,2,.,1,,,,,,,,3,0,,k,′,,b,′,,,,,a,b,,a,′,c′,,,,m,m,,k,c,,,Y,AD,,Y,A,D,,,,分析：1.∵KM∥V面∴c′b′=BCa′d′⊥k′m′2.只要求得過頂點A的高，則ΔABC可作出；也就是說ΔABC的邊長就求出來了，即求得了c′b′,,,,,,,,o,b,a,′,b,′,,,,,,,,,7,5,,e,e,′,,,,,,7,5,,,,,,,a,b,的,長,,,c,′,c,,,,,a,例6作等腰直角ΔABC,使AC=AB，C點在AE上。,,,x,