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2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題訓(xùn)練六 第2講 橢圓、雙曲線、拋物線 理 考情解讀　1.以選擇、填空的形式考查，主要考查圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、性質(zhì)(特別是離心率)，以及圓錐曲線之間的關(guān)系，突出考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，屬于基礎(chǔ)題.2.以解答題的形式考查，主要考查圓錐曲線的定義、性質(zhì)及標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，常常在知識(shí)的交匯點(diǎn)處命題，有時(shí)以探究的形式出現(xiàn)，有時(shí)以證明題的形式出現(xiàn)．該部分題目多數(shù)為綜合性問(wèn)題，考查分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，綜合運(yùn)用知識(shí)的能力等，屬于中、高檔題，一般難度較大． 圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì) 名稱(chēng) 橢圓 雙曲線 拋物線 定義 |PF1|＋|PF2|＝2a (2a＞|F1F2|) ||PF1|－|PF2||＝2a (2a＜|F1F2|) |PF|＝|PM|，點(diǎn)F不在直線l上，PM⊥l于M 標(biāo)準(zhǔn)方程 ＋＝1 (a＞b＞0) －＝1 (a＞0，b＞0) y2＝2px (p＞0) 圖形 幾何性質(zhì) 范圍 |x|≤a，|y|≤b |x|≥a x≥0 頂點(diǎn) (a,0)(0，b) (a,0) (0,0) 對(duì)稱(chēng)性 關(guān)于x軸，y軸和原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) 關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng) 焦點(diǎn) (c,0) (，0) 軸 長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，短軸長(zhǎng)2b 實(shí)軸長(zhǎng)2a，虛軸長(zhǎng)2b 離心率 e＝＝(0＜e＜1) e＝＝(e＞1) e＝1 準(zhǔn)線 x＝－ 漸近線 y＝x  熱點(diǎn)一　圓錐曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程 例1　若橢圓C：＋＝1的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓C上，且|PF2|＝4則∠F1PF2等于(　　) A．30 B．60 C．120 D．150 (2)已知拋物線x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)與雙曲線x2－y2＝－的一個(gè)焦點(diǎn)重合，且在拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P到x軸的距離為m，P到直線l：2x－y－4＝0的距離為n，則m＋n的最小值為_(kāi)_______． 思維啟迪　(1)△PF1F2中利用余弦定理求∠F1PF2；(2)根據(jù)拋物線定義得m＝|PF|－1.再利用數(shù)形結(jié)合求最值． 答案　(1)C　(2)－1 解析　(1)由題意得a＝3，c＝，所以|PF1|＝2. 在△F2PF1中， 由余弦定理可得cos∠F2PF1＝＝－. 又因?yàn)閏os∠F2PF1∈(0，180)，所以∠F2PF1＝120. (2)易知x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)為F(0,1)，故p＝2， 因此拋物線方程為x2＝4y. 根據(jù)拋物線的定義可知m＝|PF|－1， 設(shè)|PH|＝n(H為點(diǎn)P到直線l所作垂線的垂足)， 因此m＋n＝|PF|－1＋|PH|. 易知當(dāng)F，P，H三點(diǎn)共線時(shí)m＋n最小， 因此其最小值為|FH|－1＝－1＝－1. 思維升華　(1)對(duì)于圓錐曲線的定義不僅要熟記，還要深入理解細(xì)節(jié)部分：比如橢圓的定義中要求|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|，雙曲線的定義中要求||PF1|－|PF2||＜|F1F2|，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離相等的轉(zhuǎn)化． (2)注意數(shù)形結(jié)合，畫(huà)出合理草圖． 　(1)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為.雙曲線x2－y2＝1的漸近線與橢圓C有四個(gè)交點(diǎn)，以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16，則橢圓C的方程為(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 (2)如圖，過(guò)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線l于點(diǎn)C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則此拋物線的方程為(　　) A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2＝x 答案　(1)D　(2)C 解析　(1)∵橢圓的離心率為，∴＝＝， ∴a＝2b.∴橢圓方程為x2＋4y2＝4b2. ∵雙曲線x2－y2＝1的漸近線方程為xy＝0， ∴漸近線xy＝0與橢圓x2＋4y2＝4b2在第一象限的交點(diǎn)為， ∴由圓錐曲線的對(duì)稱(chēng)性得四邊形在第一象限部分的面積為bb＝4， ∴b2＝5，∴a2＝4b2＝20. ∴橢圓C的方程為＋＝1. (2)如圖，分別過(guò)A，B作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，由拋物線的定義知，|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|， ∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BB1|， ∴∠BCB1＝30，∴∠A1AF＝60. 連接A1F，則△A1AF為等邊三角形， 過(guò)F作FF1⊥AA1于F1，則F1為AA1的中點(diǎn)， 設(shè)l交x軸于N，則|NF|＝|A1F1|＝|AA1|＝|AF|，即p＝，∴拋物線方程為y2＝3x，故選C. 熱點(diǎn)二　圓錐曲線的幾何性質(zhì) 例2　(1)已知離心率為e的雙曲線和離心率為的橢圓有相同的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，P是兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，若∠F1PF2＝，則e等于(　　) A. B. C. D．3 (2)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓＋＝1 (a>b>0)的左，右焦點(diǎn)，若在直線x＝上存在點(diǎn)P，使線段PF1的中垂線過(guò)點(diǎn)F2，則橢圓的離心率的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 思維啟迪　(1)在△F1F2P中利用余弦定理列方程，然后利用定義和已知條件消元；(2)可設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(，y)，考察y存在的條件． 答案　(1)C　(2)D 解析　(1)設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a1，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為a2，焦距為2c，|PF1|＝m，|PF2|＝n，且不妨設(shè)m>n，由m＋n＝2a1，m－n＝2a2得m＝a1＋a2，n＝a1－a2. 又∠F1PF2＝， ∴4c2＝m2＋n2－mn＝a＋3a， ∴＋＝4，即＋＝4，解得e＝，故選C. (2)設(shè)P，線段F1P的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為， 當(dāng)存在時(shí)，則＝，＝， 由＝－1，得 y2＝，y2≥0， 但注意到b2－2c2≠0，即2c2－b2>0， 即3c2－a2>0，即e2>，故0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，以O(shè)F為直徑作圓交雙曲線的漸近線于異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)A、B，若(＋)＝0，則雙曲線的離心率e為(　　) A．2 B．3 C. D. (2)(xx課標(biāo)全國(guó)Ⅰ)已知F為雙曲線C：x2－my2＝3m(m>0)的一個(gè)焦點(diǎn)，則點(diǎn)F到C的一條漸近線的距離為(　　) A. B．3 C.m D．3m 答案　(1)C　(2)A 解析　(1)設(shè)OF的中點(diǎn)為C，則 ＋＝2，由題意得， 2＝0， ∴AC⊥OF，∴AO＝AF， 又∠OAF＝90，∴∠AOF＝45， 即雙曲線的漸近線的傾斜角為45， ∴＝tan 45＝1， 則雙曲線的離心率e＝ ＝，故選C. (2)雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1(m>0)，其漸近線方程為y＝ x＝x，即y＝x，不妨選取右焦點(diǎn)F(，0)到其中一條漸近線x－y＝0的距離求解，得d＝＝.故選A. 熱點(diǎn)三　直線與圓錐曲線 例3　過(guò)橢圓＋＝1(a>b>0)的左頂點(diǎn)A作斜率為2的直線，與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為B，與y軸的交點(diǎn)為C，已知＝. (1)求橢圓的離心率； (2)設(shè)動(dòng)直線y＝kx＋m與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且與直線x＝4相交于點(diǎn)Q，若x軸上存在一定點(diǎn)M(1,0)，使得PM⊥QM，求橢圓的方程． 思維啟迪　(1)根據(jù)＝和點(diǎn)B在橢圓上列關(guān)于a、b的方程；(2)聯(lián)立直線y＝kx＋m與橢圓方程，利用Δ＝0，＝0求解． 解　(1)∵A(－a,0)，設(shè)直線方程為y＝2(x＋a)，B(x1，y1)， 令x＝0，則y＝2a，∴C(0,2a)， ∴＝(x1＋a，y1)，＝(－x1,2a－y1)， ∵＝，∴x1＋a＝(－x1)，y1＝(2a－y1)， 整理得x1＝－a，y1＝a， ∵點(diǎn)B在橢圓上，∴()2＋()2＝1，∴＝， ∴＝，即1－e2＝，∴e＝. (2)∵＝，可設(shè)b2＝3t，a2＝4t， ∴橢圓的方程為3x2＋4y2－12t＝0， 由，得 (3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12t＝0， ∵動(dòng)直線y＝kx＋m與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P， ∴Δ＝0，即64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12t)＝0， 整理得m2＝3t＋4k2t， 設(shè)P(x1，y1)則有x1＝－＝－， y1＝kx1＋m＝， ∴P(－，)， 又M(1,0)，Q(4,4k＋m)， ∵x軸上存在一定點(diǎn)M(1,0)，使得PM⊥QM， ∴(1＋，－)(－3，－(4k＋m))＝0恒成立， 整理得3＋4k2＝m2. ∴3＋4k2＝3t＋4k2t恒成立，故t＝1. ∴橢圓的方程為＋＝1. 思維升華　待定系數(shù)法是求圓錐曲線方程的基本方法；解決直線與圓錐曲線問(wèn)題的通法是聯(lián)立方程，解方程組或利用弦長(zhǎng)公式等簡(jiǎn)化計(jì)算；涉及中點(diǎn)弦問(wèn)題時(shí)，也可用“點(diǎn)差法”求解． 　在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)P到兩點(diǎn)(－，0)，(，0)的距離之和等于4，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線C，直線l過(guò)點(diǎn)E(－1,0)且與曲線C交于A，B兩點(diǎn)． (1)求曲線C的軌跡方程； (2)求△AOB面積的最大值． 解　(1)由橢圓定義可知，點(diǎn)P的軌跡C是以(－，0)，(，0)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2的橢圓， 故曲線C的方程為＋y2＝1. (2)因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)E(－1,0)， 可設(shè)直線l的方程為x＝my－1或y＝0(舍)， 則整理得(m2＋4)y2－2my－3＝0. 由Δ＝(－2m)2＋12(m2＋4)>0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)． 解得y1＝， y2＝. 則|y2－y1|＝. 因?yàn)镾△AOB＝|OE||y2－y1|＝ ＝. 設(shè)g(t)＝t＋，t＝，t≥. 則g(t)在區(qū)間[，＋∞)上為增函數(shù)， 所以g(t)≥. 所以S△AOB≤，當(dāng)且僅當(dāng)m＝0時(shí)取等號(hào)． 所以S△AOB的最大值為. 1．對(duì)涉及圓錐曲線上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離或焦點(diǎn)弦的問(wèn)題，恰當(dāng)選用定義解題，會(huì)效果明顯，定義中的定值是標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)． 2．橢圓、雙曲線的方程形式上可統(tǒng)一為Ax2＋By2＝1，其中A、B是不等的常數(shù)，A>B>0時(shí)，表示焦點(diǎn)在y軸上的橢 圓；B>A>0時(shí)，表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；AB<0時(shí)表示雙曲線． 3．求雙曲線、橢圓的離心率的方法：(1)直接求出a，c，計(jì)算e＝；(2)根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系，然后把b用a，c代換，求. 4．通徑：過(guò)雙曲線、橢圓、拋物線的焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱(chēng)軸的弦稱(chēng)為通徑，雙曲線、橢圓的通徑長(zhǎng)為，過(guò)橢圓焦點(diǎn)的弦中通徑最短；拋物線通徑長(zhǎng)是2p，過(guò)拋物線焦點(diǎn)的弦中通徑最短． 橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)的最長(zhǎng)距離為a＋c，最短距離為a－c. 5．拋物線焦點(diǎn)弦性質(zhì)： 已知AB是拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)弦，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，A(x1，y1)，B(x2，y2)． (1)y1y2＝－p2，x1x2＝； (2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(α為弦AB的傾斜角)； (3)S△AOB＝； (4)＋為定值； (5)以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切． 真題感悟 1．(xx廣東)已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為F(3,0)，離心率等于，則C的方程是(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案　B 解析　由題意知：c＝3，e＝＝，∴a＝2.b2＝c2－a2＝9－4＝5，故所求雙曲線方程為－＝1. 2．(xx遼寧)已知點(diǎn)A(－2,3)在拋物線C：y2＝2px的準(zhǔn)線上，過(guò)點(diǎn)A的直線與C在第一象限相切于點(diǎn)B，記C的焦點(diǎn)為F，則直線BF的斜率為(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　拋物線y2＝2px的準(zhǔn)線為直線x＝－，而點(diǎn)A(－2,3)在準(zhǔn)線上，所以－＝－2，即p＝4，從而C：y2＝8x，焦點(diǎn)為F(2,0)．設(shè)切線方程為y－3＝k(x＋2)，代入y2＝8x得y2－y＋2k＋3＝0(k≠0)①，由于Δ＝1－4(2k＋3)＝0，所以k＝－2或k＝. 因?yàn)榍悬c(diǎn)在第一象限， 所以k＝. 將k＝代入①中，得y＝8，再代入y2＝8x中得x＝8， 所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8,8)， 所以直線BF的斜率為. 押題精練 1．已知拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)F與雙曲線－＝1的右焦點(diǎn)重合，拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為K，點(diǎn)A在拋物線上且|AK|＝|AF|，則△AFK的面積為(　　) A．4 B．8 C．16 D．32 答案　D 解析　F(，0)，雙曲線－＝1的右焦點(diǎn)為(4,0)， ∴＝4，p＝8，∴拋物線方程為y2＝16x，K(－4,0)，設(shè)A(x，y)，|AK|＝|AF|?(x＋4)2＋y2＝2(x－4)2＋2y2，解得x2＋y2－24x＋16＝0，與y2＝16x聯(lián)立，解得x＝4，y＝8， ∴△AFK的面積為32. 2．設(shè)橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)P在橢圓上且異于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)． (1)若直線AP與BP的斜率之積為－，求橢圓的離心率； (2)若|AP|＝|OA|，證明：直線OP的斜率k滿(mǎn)足|k|>. (1)解　設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)，y0≠0. 由題意，有＋＝1.① 由A(－a,0)，B(a,0)，得kAP＝，kBP＝. 由kAP kBP＝－，可得x＝a2－2y， 代入①并整理得(a2－2b2)y＝0. 由于y0≠0，故a2＝2b2.于是e2＝＝，所以橢圓的離心率e＝. (2)證明　方法一　依題意，直線OP的方程為y＝kx，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)．由條件得 消去y0并整理，得x＝，② 由|AP|＝|OA|，A(－a,0)及y0＝kx0， 得(x0＋a)2＋k2x＝a2. 整理得(1＋k2)x＋2ax0＝0. 而x0≠0，于是x0＝， 代入②，整理得(1＋k2)2＝4k22＋4. 又a>b>0，故(1＋k2)2>4k2＋4，即k2＋1>4， 因此k2>3，所以|k|>. 方法二　依題意，直線OP的方程為y＝kx，可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，kx0)． 由點(diǎn)P在橢圓上，有＋＝1. 因?yàn)閍>b>0，kx0≠0， 所以＋<1，即(1＋k2)x3， 所以|k|>. (推薦時(shí)間：60分鐘) 一、選擇題 1．已知橢圓＋＝1(00，b>0)以及雙曲線－＝1的漸近線將第一象限三等分，則雙曲線－＝1的離心率為(　　) A．2或 B.或 C．2或 D.或 答案　A 解析　由題意，可知雙曲線－＝1的漸近線的傾斜角為30或60，則＝或. 則e＝＝＝ ＝或2. 故選A. 3．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線方程是y＝x，它的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線y2＝24x的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案　B 解析　由雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線方程是y＝x，可設(shè)雙曲線的方程為x2－＝λ(λ>0)． 因?yàn)殡p曲線－＝1(a>0，b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線y2＝24x的準(zhǔn)線上，所以F(－6,0)是雙曲線的左焦點(diǎn)，即λ＋3λ＝36，λ＝9，所以雙曲線的方程為－＝1.故選B. 4．已知橢圓＋＝1 (a>b>0)，A(4,0)為長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)，弦BC過(guò)橢圓的中心O，且＝0，|－|＝2|－|，則其焦距為(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由題意，可知||＝||＝||，且a＝4， 又|－|＝2|－|， 所以，||＝2||.故||＝||. 又＝0，所以⊥. 故△OAC為等腰直角三角形，||＝||＝2. 不妨設(shè)點(diǎn)C在第一象限，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,2)，代入橢圓的方程，得＋＝1，解得b2＝. 所以c2＝a2－b2＝42－＝，c＝. 故其焦距為2c＝. 5．設(shè)F為拋物線C：y2＝3x的焦點(diǎn)，過(guò)F且傾斜角為30的直線交C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由已知得焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(，0)， 因此直線AB的方程為y＝(x－)， 即4x－4y－3＝0. 方法一　聯(lián)立拋物線方程，化簡(jiǎn)得4y2－12y－9＝0， 則yA，B＝， 故|yA－yB|＝＝6. 因此S△OAB＝|OF||yA－yB|＝6＝. 方法二　聯(lián)立方程得x2－x＋＝0， 則xA＝，xB＝， 故xA＋xB＝. 根據(jù)拋物線的定義有|AB|＝xA＋xB＋p＝＋＝12， 同時(shí)原點(diǎn)到直線AB的距離為h＝＝， 因此S△OAB＝|AB|h＝. 6．橢圓M：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，P為橢圓M上任一點(diǎn)，且 12的最大值的取值范圍是[c2,3c2]，其中c＝，則橢圓M的離心率e的取值范圍是(　　) A．[，] B．[，] C．(，1) D．[，1) 答案　B 解析　設(shè)P(x，y)，F(xiàn)1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)， 則＝(－c－x，－y)，＝(c－x，－y)， ＝x2＋y2－c2. 又x2＋y2可看作P(x，y)到原點(diǎn)的距離的平方， 所以(x2＋y2)max＝a2，所以()max＝b2， 所以c2≤b2＝a2－c2≤3c2，即≤e2≤， 所以≤e≤.故選B. 二、填空題 7.已知雙曲線C的焦點(diǎn)、實(shí)軸端點(diǎn)恰好是橢圓＋＝1的長(zhǎng)軸端點(diǎn)、焦點(diǎn)，則雙曲線C的漸近線方程是________． 答案　4x3y＝0 解析　橢圓＋＝1的長(zhǎng)軸端點(diǎn)為(5,0)、焦點(diǎn)為(3,0)，所以雙曲線的焦點(diǎn)為(5,0)，實(shí)軸端點(diǎn)為(3,0)，設(shè)雙曲線的方程為－＝1，即c＝5，a＝3，b＝4，所以漸近線方程為：y＝x，即4x3y＝0. 8．已知點(diǎn)P(0,2)，拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，線段PF與拋物線C的交點(diǎn)為M，過(guò)M作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為Q，若∠PQF＝90，則p＝________. 答案　 解析　由拋物線的定義可得|MQ|＝|MF|，F(xiàn)(，0)，又PQ⊥QF，故M為線段PF的中點(diǎn)，所以M(，1)，把M(，1)，代入拋物線y2＝2px(p>0)得，1＝2p， 解得p＝，故答案為. 9．拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F與雙曲線－＝1的右焦點(diǎn)重合，過(guò)點(diǎn)P(2,0)且斜率為1的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，則弦AB的中點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為_(kāi)_______． 答案　11 解析　因?yàn)殡p曲線－＝1的右焦點(diǎn)坐標(biāo)是(3,0)． 所以＝3，所以p＝6. 即拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝12x. 設(shè)過(guò)點(diǎn)P(2,0)且斜率為1的直線l的方程為y＝x－2， 聯(lián)立y2＝12x消去y可得x2－16x＋4＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1,2＝82， 則x1＋x2＝16， 所以弦AB的中點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為 ＝＝11.故填11. 10．已知F1，F(xiàn)2是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上且不與頂點(diǎn)重合，過(guò)F2作∠F1PF2的角平分線的垂線，垂足為A.若|OA|＝ b，則該雙曲線的離心率為_(kāi)______． 答案　 解析　延長(zhǎng)F2A交PF1于B點(diǎn)，則|PB|＝|PF2|， 依題意可得|BF1|＝|PF1|－|PF2|＝2a. 又因?yàn)辄c(diǎn)A是BF2的中點(diǎn)． 所以得到|OA|＝|BF1|，所以b＝a. 所以c＝a.所以離心率為. 三、解答題 11．已知曲線C上的動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿(mǎn)足到定點(diǎn)A(－1,0)的距離與到定點(diǎn)B(1,0)的距離之比為. (1)求曲線C的方程； (2)過(guò)點(diǎn)M(1,2)的直線l與曲線C交于兩點(diǎn)M、N，若|MN|＝4，求直線l的方程． 解　(1)由題意得|PA|＝|PB| 故＝ 化簡(jiǎn)得：x2＋y2－6x＋1＝0(或(x－3)2＋y2＝8)即為所求． (2)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x＝1. 將x＝1代入方程x2＋y2－6x＋1＝0得y＝2， 所以|MN|＝4，滿(mǎn)足題意． 當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝kx－k＋2， 由圓心到直線的距離d＝2＝， 解得k＝0，此時(shí)直線l的方程為y＝2. 綜上所述，滿(mǎn)足題意的直線l的方程為x＝1或y＝2. 12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P(a，b)(a>b>0)為動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓＋＝1的左，右焦點(diǎn)．已知△F1PF2為等腰三角形． (1)求橢圓的離心率e； (2)設(shè)直線PF2與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，M是直線PF2上的動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足＝－2，求點(diǎn)M的軌跡方程． 解　(1)設(shè)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)(c>0)， 由題意，可得|PF2|＝|F1F2|，即＝2c， 整理得2()2＋－1＝0，得＝－1(舍)或＝，所以e＝. (2)由(1)知a＝2c，b＝c， 可得橢圓方程為3x2＋4y2＝12c2. 直線PF2的方程為y＝(x－c)． 所以A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程組 消去y并整理，得5x2－8cx＝0， 解得x1＝0，x2＝c， 得方程組的解 不妨設(shè)A(c，c)，B(0，－c)，M的坐標(biāo)為(x，y)， 則＝(x－c，y－c)，＝(x，y＋c)， 由y＝(x－c)，得c＝x－y， 于是＝(y－x，y－x)，＝(x，x)， 由＝－2， 得(y－x)x＋(y－x)x＝－2， 化簡(jiǎn)得18x2－16xy－15＝0， 將y＝代入c＝x－y， 得c＝， 由c>0，得x>0. 因此，點(diǎn)M的軌跡方程是 18x2－16xy－15＝0(x>0)． 13．(xx北京)已知A，B，C是橢圓W：＋y2＝1上的三個(gè)點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)． (1)當(dāng)點(diǎn)B是W的右頂點(diǎn)，且四邊形OABC為菱形時(shí)，求此菱形的面積； (2)當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí)，判斷四邊形OABC是否可能為菱形，并說(shuō)明理由． 解　(1)由橢圓W：＋y2＝1，知B(2,0) ∴線段OB的垂直平分線x＝1. 在菱形OABC中，AC⊥OB， 將x＝1代入＋y2＝1，得y＝. ∴|AC|＝|yA－yC|＝. ∴菱形的面積S＝|OB||AC|＝2＝. (2)假設(shè)四邊形OABC為菱形． ∵點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)，且直線AC不過(guò)原點(diǎn)， ∴可設(shè)AC的方程為y＝kx＋m(k≠0，m≠0)． 由 消y并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0. 設(shè)A(x1，y1)，C(x2，y2)，則 ＝－，＝k＋m＝. ∴線段AC中點(diǎn)M， ∵M(jìn)為AC和OB交點(diǎn)，∴kOB＝－. 又k＝－≠－1， ∴AC與OB不垂直． ∴OABC不是菱形，這與假設(shè)矛盾． 綜上，四邊形OABC不是菱形．