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第四章 2019-2020年七年級(jí)上數(shù)學(xué)上冊(cè) 第四章垂直教案 一、學(xué)生起點(diǎn)分析 上一課時(shí)已經(jīng)研究了兩條直線（線段）的位置關(guān)系，研究的方法是通過(guò)直觀和大量的操作活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)得出的，學(xué)生能從大量的生活素材中提煉出數(shù)學(xué)問(wèn)題，并能積極動(dòng)手、動(dòng)口、動(dòng)腦來(lái)研究歸納問(wèn)題。在知識(shí)基礎(chǔ)方面，垂直在小學(xué)中已給出定義，學(xué)生能根據(jù)圖形的已知條件判斷兩直線是否垂直。不過(guò)在這一課時(shí)中研究與思考問(wèn)題時(shí)要用到類比的學(xué)習(xí)方法，如類比“平行”的表示、性質(zhì)的歸納等，特別是定義中的“同一平面內(nèi)”等關(guān)鍵處的理解?？紤]到學(xué)生已有知識(shí)的儲(chǔ)備，本課時(shí)的定義引入可以精減一些素材，突顯簡(jiǎn)潔干煉。 二、教學(xué)任務(wù)分析 本課時(shí)是通過(guò)角的度量來(lái)說(shuō)明兩條直線的位置關(guān)系，這種轉(zhuǎn)化的思想方法，學(xué)生剛接觸，開(kāi)始一定要細(xì)致。垂直性質(zhì)的得出仍然是通過(guò)大量的操作活動(dòng)而得出的，在活動(dòng)中，學(xué)生要操作、交流充分。 主要教學(xué)目標(biāo)：1、會(huì)用符號(hào)表示兩直線垂直，并能借助三角板、直尺和方格紙畫垂線。2、通過(guò)豐富的畫、折等操作活動(dòng)探究并歸納垂直的性質(zhì)。3、用類比“平行”的研究方法來(lái)研究垂直的表示和性質(zhì)歸納，初步感受有條理的說(shuō)明問(wèn)題；強(qiáng)化表達(dá)能力和用數(shù)學(xué)交流的能力。 重點(diǎn)是垂直的定義和性質(zhì)以及通過(guò)實(shí)驗(yàn)操作、交流探究來(lái)研究垂直性質(zhì)的方法。在學(xué)習(xí)中是一定要引導(dǎo)學(xué)生將“平行”與“垂直”對(duì)比來(lái)歸納與區(qū)別，繼續(xù)滲透“直觀——?dú)w納——運(yùn)用”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。 課前準(zhǔn)備好三角板、直尺、量角器和圓規(guī)、鉛筆、方格紙、白紙等學(xué)習(xí)用品。 三、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì) 本課時(shí)由如下幾個(gè)環(huán)節(jié)構(gòu)成：創(chuàng)設(shè)情景，適時(shí)點(diǎn)題----定義運(yùn)用，掌握畫法----活動(dòng)探究，歸納性質(zhì)----知識(shí)運(yùn)用，課堂小結(jié). 第一環(huán)節(jié)，創(chuàng)設(shè)情景 適時(shí)點(diǎn)題 內(nèi)容： 設(shè)計(jì)一組問(wèn)題串 （1） 出示問(wèn)題：學(xué)校操場(chǎng)上的旗桿或廚房房頂上的煙囪裁的標(biāo)準(zhǔn)嗎？ （2）進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生猜想兩條直線如何才算垂直？ 由此引入課題——垂直，指出定義中的關(guān)鍵字眼，明白“互相”的含義，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比“平行”的表示與讀法來(lái)表示兩直線垂直，并在圖中標(biāo)示。 目的： 對(duì)于問(wèn)題（1）學(xué)生由生活經(jīng)驗(yàn)會(huì)得出：標(biāo)不標(biāo)準(zhǔn)看是否與地面垂直，進(jìn)而進(jìn)一步追問(wèn)垂直怎樣判斷？再由小學(xué)垂直的基礎(chǔ)知識(shí)得出：旗桿與地面的角是否成90度，談到這里不再深究。這涉及到直線與平面的位置關(guān)系， 對(duì)于問(wèn)題(2)，學(xué)生易得出：如兩直線相交成直角，則這兩直線垂直。 開(kāi)頭設(shè)計(jì)“線與面的垂直”目的是引出所成角為90度的關(guān)鍵字眼，初步感受垂直確實(shí)要通過(guò)角的大小這個(gè)數(shù)量關(guān)系來(lái)確定），并介紹一下垂直線段的表述（即如兩線段所在的直線垂直，則這兩線段垂直）。 效果： 這節(jié)課的開(kāi)頭引入在一次大型活動(dòng)的公開(kāi)課中嘗試過(guò)，效果很好，切入了學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，況且是身邊的素材，加上小學(xué)的有關(guān)垂直的知識(shí)，引入課題是順理成章、一氣呵成的事。 第二環(huán)節(jié)，運(yùn)用定義 掌握畫法 內(nèi)容： （1） 讓學(xué)生舉例身邊、生活中的線段垂直、直線垂直的例子并進(jìn)行評(píng)價(jià)。 （2） 要求學(xué)生在白紙上用量角器或三角尺畫兩直線或線段垂直，標(biāo)上字母并表示。讓一至兩個(gè)學(xué)生在黑板上板書。 （3） 要求學(xué)生在方格紙畫出兩直線或兩線段垂直，標(biāo)上字母并表示和讀出來(lái)，并總結(jié)出有哪些畫法。 （4） 利用一張白紙，用折疊的方法如何折出兩線段垂直。 目的： 第二環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)了四個(gè)問(wèn)題，他們分別是四個(gè)層次。其中（1）的意圖是緊緊抓住垂直的定義，把握所成角為90度這個(gè)核心，這是第一個(gè)層次的運(yùn)用；第二個(gè)層次的運(yùn)用，是使用量角器和三角板的垂直的畫法和表示。讓學(xué)生在黑板上板書的目的是為了示范或提供錯(cuò)誤的素材進(jìn)行更正與強(qiáng)化；第三個(gè)層次的運(yùn)用：是使用方格紙的垂直的畫法和表示。拿出方格紙要求學(xué)生畫出兩直線或兩線段垂直，標(biāo)上字母并表示和讀出來(lái)，總結(jié)出有哪些畫法,鼓勵(lì)學(xué)生用自己話來(lái)表述。第四個(gè)層次的運(yùn)用，是不借助尺和方格紙，只利用一張白紙，折疊出兩線段垂直，最后教師可以演示以下的折法： 操作過(guò)程始終抓住“為什么”，發(fā)展學(xué)生有條理的思考、表述及有理有據(jù)的嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度，建立起圖形語(yǔ)言——數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系——位置關(guān)系的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化。 效果： 問(wèn)題的設(shè)置由易到難，由直觀畫圖到需要理性的思考。學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣在問(wèn)題串的激發(fā)下，逐步高漲。特別是問(wèn)題3和問(wèn)題4，讓學(xué)生擁有了發(fā)揮的空間，課堂氣氛活躍。這時(shí)也對(duì)教師提出了較高的要求，備課要充分，要能比較快、比較準(zhǔn)確地分辨出學(xué)生的想法是否合理。 第三環(huán)節(jié) 活動(dòng)探究 歸納性質(zhì) 內(nèi)容： A B （1）出示問(wèn)題：在草稿上畫一直線AB，任畫一點(diǎn)O，并過(guò)O畫AB的垂線，讓一至兩個(gè)同學(xué)板書，其余學(xué)生各自完成，并提醒同學(xué)借鑒畫平行線的經(jīng)驗(yàn)畫垂線。 （2）在同學(xué)們都畫出垂線的情況下，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生觀察思考OC是直線AB的垂線，還可理解為OC平分∠AOB，并表述其理由。 （3）如下左圖，直線a上有一點(diǎn)A，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，你能折出與a垂直的直線嗎？如下右圖，直線a外有一點(diǎn)B,經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，你能折出與a垂直的直線嗎？ 通過(guò)畫與折出垂線后，讓學(xué)生之間互相交流并表述畫與折的過(guò)程，并出示問(wèn)題串：1、過(guò)一點(diǎn)能畫（折）已知直線的垂線嗎？（存在性） 2、在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)可以畫（折）幾條直線與已知直線垂直？（唯一性） 3、“這一點(diǎn)”的位置要作特別說(shuō)明嗎？ （4） A B C O D 再提供如下問(wèn)題情境（在黑板上板書）：如圖，某同學(xué)在100米賽跑中已跑到了點(diǎn)O處，最后他向著終點(diǎn)線AB沖刺，該怎樣跑他到AB的距離最短？并把最短距離表示出來(lái)。 目的： 這里出現(xiàn)了（1）～（4），其中（1）～（3）是圍繞垂直的性質(zhì)1逐步深入展開(kāi)的，（4）是圍繞垂直的性質(zhì)二展開(kāi)的。 設(shè)計(jì)（1）的目的是鞏固任選工具畫垂線，同時(shí)為性質(zhì)的得出作鋪墊。由于同學(xué)們畫平行線有經(jīng)驗(yàn)，這時(shí)會(huì)很快完成，并引導(dǎo)學(xué)生類比過(guò)直線外一點(diǎn)畫平行線的畫法對(duì)畫垂線的步驟進(jìn)行總結(jié)，即一“靠”、二“推”、三“過(guò)”、四“畫”。 對(duì)于（2）設(shè)計(jì)的目的是讓學(xué)生從不同側(cè)面來(lái)看待、理解數(shù)學(xué)問(wèn)題及生活中的問(wèn)題。 （1）是過(guò)一點(diǎn)畫已知直線的垂線，對(duì)于（3）通過(guò)折紙的辦法來(lái)找垂線，從另一個(gè)側(cè)印證畫的正確性與合理性。 通過(guò)（1)～（3）讓學(xué)生充分交流與爭(zhēng)辯基礎(chǔ)上再板書出垂線性質(zhì)1：在同一平面內(nèi)，經(jīng)過(guò)一點(diǎn)有且僅有一條直線與已知直線垂直。 （4）的設(shè)計(jì)目的是鞏固性質(zhì)1，同時(shí)為垂直性質(zhì)2的得出作好鋪墊。經(jīng)過(guò)學(xué)生的動(dòng)手操作它不難解決，較難的是概括歸納出性質(zhì)2，這時(shí)的問(wèn)題還可細(xì)化為：1、畫出他跑的路線；2、明確“最短距離” 指什么？最后讓學(xué)生自己概括出垂直性質(zhì)2：直線外一點(diǎn)到直線的距離，垂線段最短。 效果： 對(duì)于（1）由于受前一節(jié)平行線的畫法中“一點(diǎn)”的選取是在直線外，而這時(shí)畫垂線時(shí)的這一點(diǎn)大多數(shù)同學(xué)會(huì)把這“一點(diǎn)”畫在直線外，而對(duì)于直線上“一點(diǎn)”的情況，老師可直接出示或在學(xué)生中間發(fā)現(xiàn)這一素材。 對(duì)于（3）第1問(wèn)很容易，第2問(wèn)要在正確的操作基礎(chǔ)上來(lái)解答。剛才在畫圖（折紙）時(shí)，“一點(diǎn)”的選取有些預(yù)設(shè)，即“一點(diǎn)”與已知直線在一平面內(nèi)，現(xiàn)在要通過(guò)反面的例子來(lái)加深學(xué)生對(duì)這一性質(zhì)的得出。如舉出從教室墻角的頂點(diǎn)可引出三條直線垂直，還有長(zhǎng)方體紙盒的頂點(diǎn)處的三條邊的位置關(guān)系等，從而強(qiáng)調(diào)“在同一平面內(nèi)”的重要性。 （5） 經(jīng)過(guò)實(shí)踐，性質(zhì)2所得的結(jié)論學(xué)生最易表述也最容易理解。同時(shí)讓學(xué)生自己看書閱讀“點(diǎn)到直線的距離”的定義，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力。 第四環(huán)節(jié) 知識(shí)運(yùn)用，課堂小結(jié) 內(nèi)容： （1） 出示“議一議”內(nèi)容，交流體育課中跳遠(yuǎn)為什么這么來(lái)測(cè)量？ （2） 完成課堂練習(xí)第1、2題， 并對(duì)第1題加入一問(wèn)：試判斷兩垂線間的位置關(guān)系？ 在第2題中加入一問(wèn)：如果∠COD=25，求∠AOD與∠COB的大小？ 完成“知識(shí)技能”的第3題，爾后進(jìn)行交流與辨析。 （3）最后課堂小結(jié)，提醒學(xué)生對(duì)比“平行”的相關(guān)內(nèi)容來(lái)總結(jié)： 垂直定義：。。。。。。表示：。。。。。。讀法：。。。。。。 畫垂線的方法： 垂直性質(zhì)1： 垂直性質(zhì)2： （4）布置作業(yè)： D C B A E 1.在書上完成第159面的“問(wèn)題解決”第1題. 2.如圖,直線 AB上一點(diǎn)C ,過(guò)點(diǎn)C 引兩條射線 CE、CD，且∠ACE=31，∠DCB=59，則CE、CD 的位置關(guān)系是什么？為什么？ A B C D 3．如圖，請(qǐng)利用三角板、直尺、鉛筆、剪刀等工具將四邊形紙板ABCD剪成一個(gè)長(zhǎng)方形紙板。 4．課外了解一下，建筑工人在砌墻時(shí)是怎樣判斷砌的墻是否為鉛直？ 目的 設(shè)置（1）是對(duì)性質(zhì)2的運(yùn)用。 在（2）中，對(duì)第1題加入一問(wèn)，設(shè)計(jì)此問(wèn)的目的是對(duì)上一課時(shí)“平行”的復(fù)習(xí)與鞏固；對(duì)第2題也加了一問(wèn)，設(shè)計(jì)此題的目的是由“垂直”得角的大小，強(qiáng)調(diào)定義既是判定又是性質(zhì)。 四 教學(xué)設(shè)計(jì)反思 1．教材只是一個(gè)基本的素材，要根據(jù)學(xué)生的實(shí)際選取學(xué)生易接受與好理解的問(wèn)題引入課題。本課時(shí)的開(kāi)頭選取了學(xué)校操場(chǎng)的旗桿引入“垂直”的感性認(rèn)識(shí)，再來(lái)研究?jī)芍本€的垂直是可行的。另外在課堂練習(xí)題與作業(yè)題的配置上，也沒(méi)有按書上的全部?jī)?nèi)容及在作業(yè)本上完成的形式，我們認(rèn)為有些題可在課內(nèi)完成就不要放在課外，能在書上完成，就不要放在作業(yè)本上寫成，要把有限的時(shí)間放在對(duì)數(shù)學(xué)的理解與思考上。 2．要通過(guò)充分的操作活動(dòng)來(lái)理解數(shù)學(xué)。在研究垂直的兩個(gè)性質(zhì)的時(shí)候，由于學(xué)生還沒(méi)有接觸推理幾何，許多結(jié)論的得出只能借助操作活動(dòng)與直觀思維，在這個(gè)前提下，操作活動(dòng)的問(wèn)題要設(shè)計(jì)恰當(dāng)，并要正確的引導(dǎo)學(xué)生充分操作與觀察，進(jìn)而形成合情推理。同時(shí)還要注意學(xué)生之間、老師與學(xué)生之間的對(duì)話與交流，通過(guò)交流過(guò)程來(lái)形成結(jié)論，并感受研究數(shù)學(xué)的一般方法。七年級(jí)學(xué)生動(dòng)手活動(dòng)的積極都很高，但通過(guò)觀察來(lái)歸納總結(jié)的能力與方法還不夠，在這一點(diǎn)上，教師先讓學(xué)生用他們自己的話來(lái)表述，然后再進(jìn)行提煉，不要把結(jié)論生硬“塞”給學(xué)生。 3．本課時(shí)的學(xué)習(xí)，要抓住“比較”的學(xué)習(xí)方法，即“垂直”與“平行”的畫法、定義、性質(zhì)等，對(duì)于定義和性質(zhì)的關(guān)鍵字眼的理解，要通過(guò)正與反兩方面的例子加深學(xué)生的認(rèn)識(shí)，不要引起混淆。 B A C 4．一點(diǎn)說(shuō)明，在方格中畫垂直線段時(shí)，一般是水平與鉛垂線，或者兩對(duì)角線，對(duì)如下圖這種情況，由于要用到全等的知識(shí)，在這里不深究，讓學(xué)生用量角器量一下來(lái)驗(yàn)證，并肯定學(xué)生的做法。另外本課補(bǔ)充了一些習(xí)題，供參考。