2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題訓(xùn)練九 第1講 函數(shù)與方程思想 理.doc
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2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題訓(xùn)練九 第1講 函數(shù)與方程思想 理 1.函數(shù)與方程思想的含義 (1)函數(shù)的思想,是用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn),分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系,是對(duì)函數(shù)概念的本質(zhì)認(rèn)識(shí),建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù),運(yùn)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題,從而使問(wèn)題獲得解決.經(jīng)常利用的性質(zhì)是單調(diào)性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖象變換等. (2)方程的思想,就是分析數(shù)學(xué)問(wèn)題中變量間的等量關(guān)系,建立方程或方程組,或者構(gòu)造方程,通過(guò)解方程或方程組,或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問(wèn)題,使問(wèn)題獲得解決.方程的教學(xué)是對(duì)方程概念的本質(zhì)認(rèn)識(shí),用于指導(dǎo)解題就是善于利用方程或方程組的觀點(diǎn)觀察處理問(wèn)題.方程思想是動(dòng)中求靜,研究運(yùn)動(dòng)中的等量關(guān)系. 2.和函數(shù)與方程思想密切關(guān)聯(lián)的知識(shí)點(diǎn) (1)函數(shù)與不等式的相互轉(zhuǎn)化,對(duì)函數(shù)y=f(x),當(dāng)y>0 時(shí),就化為不等式f(x)>0,借助于函數(shù)的圖象和性質(zhì)可解決有關(guān)問(wèn)題,而研究函數(shù)的性質(zhì)也離不開(kāi)不等式. (2)數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和是自變量為正整數(shù)的函數(shù),用函數(shù)的觀點(diǎn)去處理數(shù)列問(wèn)題十分重要. (3)在三角函數(shù)求值中,把所求的量看作未知量,其余的量通過(guò)三角函數(shù)關(guān)系化為未知量的表達(dá)式,那么問(wèn)題就能化為未知量的方程來(lái)解. (4)解析幾何中的許多問(wèn)題,例如直線與二次曲線的位置關(guān)系問(wèn)題,需要通過(guò)解二元方程組才能解決.這都涉及二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)理論. (5)立體幾何中有關(guān)線段、角、面積、體積的計(jì)算,經(jīng)常需要運(yùn)用列方程或建立函數(shù)表達(dá)式的方法加以解決,建立空間直角坐標(biāo)系后,立體幾何與函數(shù)的關(guān)系更加密切. 熱點(diǎn)一 函數(shù)與方程思想在不等式中的應(yīng)用 例1 (1)f(x)=ax3-3x+1對(duì)于x∈[-1,1]總有f(x)≥0成立,則a=________. (2)設(shè)f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),當(dāng)x<0時(shí),f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,且g(-3)=0,則不等式f(x)g(x)<0的解集是__________. 答案 (1)4 (2)(-∞,-3)∪(0,3) 解析 (1)若x=0,則不論a取何值,f(x)≥0顯然成立; 當(dāng)x>0即x∈(0,1]時(shí),f(x)=ax3-3x+1≥0可化為a≥-. 設(shè)g(x)=-,則g′(x)=,所以g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減, 因此g(x)max=g=4,從而a≥4; 當(dāng)x<0即x∈[-1,0)時(shí), f(x)=ax3-3x+1≥0可化為a≤-, 設(shè)g(x)=-,且g(x)在區(qū)間[-1,0)上單調(diào)遞增, 因此g(x)min=g(-1)=4,從而a≤4,綜上a=4. (2)設(shè)F(x)=f(x)g(x),由于f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),得F(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-F(x),即F(x)在R上為奇函數(shù). 又當(dāng)x<0時(shí),F(xiàn)′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0, 所以x<0時(shí),F(xiàn)(x)為增函數(shù). 因?yàn)槠婧瘮?shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同, 所以x>0時(shí),F(xiàn)(x)也是增函數(shù). 因?yàn)镕(-3)=f(-3)g(-3)=0=-F(3). 所以,由圖可知F(x)<0的解集是(-∞,-3)∪(0,3). 思維升華 (1)在解決不等式問(wèn)題時(shí),一種最重要的思想方法就是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決問(wèn)題;(2)函數(shù)f(x)>0或f(x)<0恒成立,一般可轉(zhuǎn)化為f(x)min>0或f(x)max<0;已知恒成立求參數(shù)范圍可先分離參數(shù),然后利用函數(shù)值域求解. (1)若2x+5y≤2-y+5-x,則有( ) A.x+y≥0 B.x+y≤0 C.x-y≤0 D.x-y≥0 (2)已知函數(shù)f(x)=x4-2x3+3m,x∈R,若f(x)+9≥0恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( ) A.m≥ B.m> C.m≤ D.m< 答案 (1)B (2)A 解析 (1)把不等式變形為2x-5-x≤2-y-5y,構(gòu)造函數(shù)y=2x-5-x,其為R上的增函數(shù),所以有x≤-y. (2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x4-2x3+3m.所以f′(x)=2x3-6x2,令f′(x)=0得x=0或x=3,經(jīng)檢驗(yàn)知x=3是函數(shù)的一個(gè)最小值點(diǎn),所以函數(shù)的最小值為f(3)=3m-,不等式f(x)+9≥0恒成立,即f(x)≥-9恒成立, 所以3m-≥-9,解得m≥,故選A. 熱點(diǎn)二 函數(shù)與方程思想在數(shù)列中的應(yīng)用 例2 已知數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列. (1)若a1=2,且a2,a3,a4+1成等比數(shù)列,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an; (2)在(1)的條件下,數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,設(shè)bn=++…+,若對(duì)任意的n∈N*,不等式bn≤k恒成立,求實(shí)數(shù)k的最小值. 解 (1)因?yàn)閍1=2,a=a2(a4+1), 又因?yàn)閧an}是正項(xiàng)等差數(shù)列,故d≥0, 所以(2+2d)2=(2+d)(3+3d), 得d=2或d=-1(舍去), 所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=2n. (2)因?yàn)镾n=n(n+1), bn=++…+ =++…+ =-+-+…+- =-==, 令f(x)=2x+(x≥1), 則f′(x)=2-,當(dāng)x≥1時(shí),f′(x)>0恒成立, 所以f(x)在[1,+∞)上是增函數(shù), 故當(dāng)x=1時(shí),[f(x)]min=f(1)=3, 即當(dāng)n=1時(shí),(bn)max=, 要使對(duì)任意的正整數(shù)n,不等式bn≤k恒成立, 則須使k≥(bn)max=, 所以實(shí)數(shù)k的最小值為. 思維升華 (1)等差(比)數(shù)列中各有5個(gè)基本量,建立方程組可“知三求二”; (2)數(shù)列的本質(zhì)是定義域?yàn)檎麛?shù)集或其有限子集的函數(shù),數(shù)列的通項(xiàng)公式即為相應(yīng)的解析式,因此在解決數(shù)列問(wèn)題時(shí),應(yīng)注意利用函數(shù)的思想求解. (1)(xx江蘇)在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,若a2=1,a8=a6+2a4,則a6的值是________. (2)已知函數(shù)f(x)=()x,等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為f(n)-c,則an的最小值為( ) A.-1 B.1 C. D.- 答案 (1)4 (2)D 解析 (1)因?yàn)閍8=a2q6,a6=a2q4,a4=a2q2,所以由a8=a6+2a4得a2q6=a2q4+2a2q2,消去a2q2,得到關(guān)于q2的一元二次方程(q2)2-q2-2=0,解得q2=2,a6=a2q4=122=4. (2)由題設(shè),得a1=f(1)-c=-c; a2=[f(2)-c]-[f(1)-c]=-; a3=[f(3)-c]-[f(2)-c]=-. 又?jǐn)?shù)列{an}是等比數(shù)列, ∴(-)2=(-c)(-),∴c=1. 又∵公比q==, ∴an=-()n-1=-2()n,n∈N*. 且數(shù)列 {an}是遞增數(shù)列, ∴n=1時(shí),an有最小值a1=-. 熱點(diǎn)三 函數(shù)與方程思想在幾何中的應(yīng)用 例3 已知橢圓C:+=1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)為A(2,0),離心率為.直線y=k(x-1)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N. (1)求橢圓C的方程; (2)當(dāng)△AMN的面積為時(shí),求k的值. 解 (1)由題意得解得b=. 所以橢圓C的方程為+=1. (2)由得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0. 設(shè)點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2), 則x1+x2=,x1x2=. 所以|MN|= = =. 又因?yàn)辄c(diǎn)A(2,0)到直線y=k(x-1)的距離 d=, 所以△AMN的面積為 S=|MN|d=. 由=,解得k=1. 所以,k的值為1或-1. 思維升華 幾何最值是高考的熱點(diǎn),在圓錐曲線的綜合問(wèn)題中經(jīng)常出現(xiàn),求解此類問(wèn)題的一般思路為在深刻認(rèn)識(shí)運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程之中,抓住函數(shù)關(guān)系,將目標(biāo)量表示為一個(gè)(或者多個(gè))變量的函數(shù),然后借助于函數(shù)最值的探求來(lái)使問(wèn)題得以解決. (1)(xx安徽)設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓E:x2+=1(01,則雙曲線-=1的離心率e的取值范圍是( ) A.(1,) B.(,) C.[,] D.(,) 答案 (1)x2+y2=1 (2)B 解析 (1)設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x0,y0), ∵x2+=1,且01時(shí),0<<1,所以2- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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