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2019-2020年高考數學一輪復習 第八章 立體幾何 第51課 空間點、線、面的位置關系 文（含解析） 1.平面的基本性質 公理 內容 圖形語言 符號語言 公理1 如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內． 公理2 過不在同一條直線上 的三點，有且只有一個平面 公理3 如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線． 公理4 平行于同一條直線的兩條直線互相平行 2.等角定理 如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補． 例1.如圖，空間四邊形ABCD中，E，F分別是AB，AD的中點， G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2. (1)求證：E，F，G，H四點共面； (2)設EG與FH交于點P，求證：P，A，C三點共線． 【證明】(1)∵E，F分別為AB，AD的中點，∴EF∥BD. 在△BCD中，＝＝，∴GH∥BD，∴EF∥GH. ∴E，F，G，H四點共面． (2)∵EG∩FH＝P，P∈EG，EG平面ABC， ∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.∴P為平面ABC與平面ADC的公共點． 又平面ABC∩平面ADC＝AC，∴P∈AC，∴P，A，C三點共線． 練習：如圖，在正方體中，是的中點，是的中點， 求證：（1）、、、四點共面；（2）、、三線共點． 【證明】（1）∵ 是中點，∴∥ ， 又∵ ∥，∴ ∥，∴ 、、、四點共面． （2）由（1）知∥且， ∴ 相交，設交于點，如圖： ∵ 平面，∴平面， 同理 平面， 又∵ 平面平面， ∴，∴ 、、三線共點． 3.（1）空間直線與直線的位置關系 位置關系 圖形語言 符號語言 公共點個數 直線與直線 共面 相交 平行 異面 （2）異面直線所成的角 ①定義：異面直線，經過空間任一點作直線，把與所成的 ，叫異面直線所成的角．②范圍： 注意：若兩條直線垂直，則兩條直線有 個公共點 例2.如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點，有以下四個結論：①直線AM與CC1是相交直線；②直線AM與BN是平行直線；③直線BN與MB1是異面直線；④直線AM與DD1是異面直線． 其中正確的結論為________(注：把你認為正確的結論的序號都填上) 例3．空間四邊形中，、、、分別是，，，的中點，求證：四邊形是平行四邊形 變式：例3的條件不變，（1）若，則四邊形是 （2）若與互相垂直，則四邊形是 （3）若與互相垂直，且，則四邊形是 P A B C D 例4．如圖，在三棱錐中，⊥底面，是的中點，已知∠＝，，，，求：（1）三棱錐的體積；（2）異面直線與所成的角的余弦值． 【解析】（1）， P A B C D E . （2）取的中點，如圖：連接、，則∥， ∴（或其補角）是異面直線與所成的角. 在中，, ,， . ∴異面直線與所成的角的余弦值為. 練習：如圖是一正方體ABCDA1B1C1D1，(1)求A1C1與B1C所成角的大??；(2)若E，F分別為AB，AD的中點，求A1C1與EF所成角的大?。? 【解析】連接B1D1，D1C(圖略)，則B1D1∥EF， 故∠D1B1C為所求．又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60. 【答案】60 3. 空間直線與平面、平面與平面的位置關系 位置關系 圖形語言 符號語言 公共點個數 直線與平面 在平面外 相交 平行 在平面內 平面與平面 平行 相交 第51課 空間點、線、面的位置關系業(yè)題 1.如果兩條直線沒有公共點，那么的位置關系是（ ） A．共面 B．平行 C．異面 D．平行或異面 【答案】D 2.下列說法正確的是（ ） A．空間中不同三點確定一個平面 B．空間中兩兩相交的三條直線確定一個平面 C．梯形確定一個平面 D．一條直線和一個點確定一個平面 【答案】C 3.已知，，，是空間四點，命題甲：，，，四點不共面，命題乙：直線和不相交，則甲是乙成立的（ ） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．非充分非必要條件 【答案】A 4.下列四個命題：①若直線a、b是異面直線，b、c是異面直線，則a、c是異面直線；②若直線a、b相交，b、c相交，則a、c相交；③若a∥b，則a、b與c所成的角相等；④若a⊥b，b⊥c，則a∥c。其中真命題的個數是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 5.如圖是某個正方體的側面展開圖，、是兩條側面對角線，則在正方體中，與（ ） A．互相平行 B．異面且互相垂直 C．異面且夾角為 D．相交且夾角為 【答案】D 【解析】如圖：、在正方體中即為、， ∵為正三角形，∴， ∴與相交且夾角為． 6.已知,，且是異面直線，那么直線（ ） A．至多與中的一條相交 B．至少與中的一條相交 C．與都相交 D．至少與中的一條平行 【答案】D 7.若兩條直線和一個平面相交成等角，則這兩條直線的位置關系是(　　) A．平行 B．異面 C．相交 D．平行、異面或相交 解析：經驗證，當平行、異面或相交時，均有兩條直線和一個平面相交成等角的情況出現．故選D. 答案：D 8.在正四棱錐中，底面正方形的邊長為1，側棱長為2，則異面直線與所成角的大小為（ D ） A． B． C． D． 9.正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是線段BC、C1D的中點，則直線A1B與直線EF的位置關系是(　　) A．相交 B．平行 C．異面 D．以上都有可能 解析：如圖所示，直線A1B與直線外一點E確定的平面為A1BCD1，EF?平面A1BCD1，且兩直線不平行，所以兩直線相交．故選A. 答案：A 10.已知圓柱的母線長為，底面半徑為，是上底面圓心， 、是下底面圓周上兩個不同的點，是母線，如圖.若 直線與所成角的大小為，則______. 解：設是下底面圓心，則∥, ∴直線與所成的角等于與所成的角，即， ∵，∴，∴． 11. 一個正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結論：①AB⊥EF；②AB與CM所成的角為60；③EF與MN是異面直線；④MN∥CD.以上四個命題中，正確命題的序號是________． 解析：將展開圖恢復為正方體紙盒，如圖可知①③正確． 答案：①③ 12. 四棱錐PABCD的頂點P在底面ABCD中的投影恰好是A，其三視圖如圖所示，根據圖中的信息，在四棱錐的任兩個頂點的連線中，互相垂直的異面直線對數為________． 答案：6 13. 已知四棱錐PABCD如圖①所示，其三視圖如圖②所示，其中正視圖和側視圖都是直角三角形，俯視圖是矩形． (1)求此四棱錐的體積； (2) 求異面直線PD與BC所成角的大小 （3）若E是PD的中點，F是PC的中點，證明：直線AE和直線BF既不平行也不異面． 解析： (1)∵PA⊥平面ABCD， ∴VP－ABCD＝S正方形ABCDPA＝222＝. (2)∵AD∥BC，∴∠PDA的大小即為異面直線PD與BC所成角的大小． ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD， 由PA＝2，AD＝2，得tan∠PDA＝，∴∠PDA＝60， 故異面直線PD與BC所成角的大小為60. （3）∵E，F分別是PD，PC的中點，∴EF∥CD且EF＝CD. 又∵CD∥AB且CD＝AB，∴EF∥AB且EF＝AB. ∴四邊形ABFE是梯形． AE，BF是梯形的兩腰，故AE與BF所在的直線必相交． ∴直線AE和直線BF既不平行也不異面．