《【世紀(jì)金榜】高三文科數(shù)學(xué)熱點(diǎn)專(zhuān)題突破：(五)圓錐曲線的綜合問(wèn)題》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《【世紀(jì)金榜】高三文科數(shù)學(xué)熱點(diǎn)專(zhuān)題突破：(五)圓錐曲線的綜合問(wèn)題（56頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、熱點(diǎn)專(zhuān)題突破系列(五)圓錐曲線的綜合問(wèn)題考點(diǎn)一考點(diǎn)一 圓錐曲線中的定點(diǎn)問(wèn)題圓錐曲線中的定點(diǎn)問(wèn)題【考情分析【考情分析】以直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線為背景以直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線為背景, ,通過(guò)巧妙通過(guò)巧妙設(shè)計(jì)和整合命題設(shè)計(jì)和整合命題, ,常與一元二次方程、向量、斜率、距離等知識(shí)交匯常與一元二次方程、向量、斜率、距離等知識(shí)交匯考查考查. .【典例【典例1 1】(2014(2014西安模擬西安模擬) )已知橢圓已知橢圓C: C: 經(jīng)過(guò)點(diǎn)經(jīng)過(guò)點(diǎn) 一個(gè)焦點(diǎn)是一個(gè)焦點(diǎn)是F(0,-1).F(0,-1).(1)(1)求橢圓求橢圓C C的方程的方程. .(2)(2)設(shè)橢圓設(shè)橢圓C C與與y y軸的兩

2、個(gè)交點(diǎn)為軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A A1 1,A,A2 2, ,點(diǎn)點(diǎn)P P在直線在直線y=ay=a2 2上上, ,直線直線PAPA1 1,PA,PA2 2分別與橢圓分別與橢圓C C交于交于M,NM,N兩點(diǎn)兩點(diǎn). .試問(wèn)試問(wèn): :當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P P在直線在直線y=ay=a2 2上運(yùn)動(dòng)時(shí)上運(yùn)動(dòng)時(shí), ,直線直線MNMN是是否恒過(guò)定點(diǎn)否恒過(guò)定點(diǎn)Q?Q?證明你的結(jié)論證明你的結(jié)論. .2222yx1(ab0)ab3( ,1)2，【解題提示【解題提示】(1)(1)由點(diǎn)由點(diǎn) 在橢圓在橢圓C C上及上及F(0,-1)F(0,-1)可求橢圓可求橢圓C C的方程的方程. .(2)(2)先利用先利用P P的特殊位置，即的特殊位置，

3、即P P在在y y軸上時(shí)，確定若直線軸上時(shí)，確定若直線MNMN恒過(guò)定點(diǎn)，則恒過(guò)定點(diǎn)，則該定點(diǎn)一定在該定點(diǎn)一定在y y軸上，然后利用三點(diǎn)共線的條件解決軸上，然后利用三點(diǎn)共線的條件解決. .3( ,1)2【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)由題意知由題意知c=1,c=1,可設(shè)橢圓方程為可設(shè)橢圓方程為因?yàn)橐驗(yàn)?在橢圓上，所以在橢圓上，所以 解得解得b b2 2=3,=3,所以橢圓的方程為所以橢圓的方程為(2)(2)假設(shè)存在定點(diǎn)假設(shè)存在定點(diǎn)Q.Q.當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P P在在y y軸上時(shí)軸上時(shí),M,N,M,N分別與分別與A A1 1,A,A2 2重合重合, ,若直線若直線MNMN經(jīng)過(guò)定點(diǎn)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)Q,Q,則則Q Q

4、必在必在y y軸上軸上, ,設(shè)設(shè)Q(0,m),Q(0,m),當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P P不在不在y y軸上時(shí)軸上時(shí), ,設(shè)設(shè)P(t,4),M(xP(t,4),M(x1 1,y,y1 1),N(x),N(x2 2,y,y2 2),),2222yx1,1bb3( ,1)222191,1b4b22yx1.43因?yàn)橐驗(yàn)锳 A1 1(0,2),A(0,2),A2 2(0,-2),(0,-2),所以直線所以直線PAPA1 1的方程為的方程為 直線直線PAPA2 2的方程為的方程為將將 代入代入得得(3+t(3+t2 2)x)x2 2+6tx=0,+6tx=0,解得解得所以所以將將 代入代入得得(27+t(27+t2 2

5、)x)x2 2-18tx=0,-18tx=0,2yx2,t6yx2,t2yx2t22yx1,432111226t22t6x,yx2,3tt3t 2226t(2m)t63mQM(,),3t3t 6yx2t22yx143 ，解得解得所以所以因?yàn)橐驗(yàn)樗运运运?1-m)(9+t(1-m)(9+t2 2)=0,)=0,所以所以m=1,m=1,所以當(dāng)點(diǎn)所以當(dāng)點(diǎn)P P在直線在直線y=ay=a2 2上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線MNMN恒經(jīng)過(guò)定點(diǎn)恒經(jīng)過(guò)定點(diǎn)Q(0,1).Q(0,1).22222218t6542tx,yx2,27tt27t22218t5427m(2m)tQN(,),27t27tQM QN,

6、 2222226t5427m(2m)t18t(2m)t63m0,3t27t27t3t【規(guī)律方法【規(guī)律方法】圓錐曲線中定點(diǎn)問(wèn)題的兩種解法圓錐曲線中定點(diǎn)問(wèn)題的兩種解法(1)(1)引進(jìn)參數(shù)法引進(jìn)參數(shù)法: :引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量, ,再再研究變化的量與參數(shù)何時(shí)沒(méi)有關(guān)系研究變化的量與參數(shù)何時(shí)沒(méi)有關(guān)系, ,找到定點(diǎn)找到定點(diǎn). .(2)(2)特殊到一般法特殊到一般法: :根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的特殊情況探索出定點(diǎn)根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的特殊情況探索出定點(diǎn), ,再證明該再證明該定點(diǎn)與變量無(wú)關(guān)定點(diǎn)與變量無(wú)關(guān). .【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】(2015(2015南京模擬南

7、京模擬) )如圖，已知如圖，已知橢圓橢圓C: C: 的上頂點(diǎn)為的上頂點(diǎn)為A A，右焦，右焦點(diǎn)為點(diǎn)為F F，直線，直線AFAF與圓與圓M:xM:x2 2+y+y2 2-6x-2y+7=0-6x-2y+7=0相切相切. .(1)(1)求橢圓求橢圓C C的方程的方程. .(2)(2)若不過(guò)點(diǎn)若不過(guò)點(diǎn)A A的動(dòng)直線的動(dòng)直線l與橢圓與橢圓C C相交于相交于P P，Q Q兩點(diǎn)，且兩點(diǎn)，且求證：直線求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)N N的坐標(biāo)的坐標(biāo). .222xy1(a1)aAP AQ0, 【解析【解析】(1)(1)將圓將圓M M的一般方程的一般方程x x2 2+y+y2 2-6x-2y

8、+7=0-6x-2y+7=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程(x-3)(x-3)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=3,=3,圓圓M M的圓心為的圓心為M(3,1),M(3,1),半徑半徑由由A(0,1),F(c,0)A(0,1),F(c,0)得直線得直線AF: AF: 即即x+cy-cx+cy-c=0,=0,由直線由直線AFAF與圓與圓M M相切，得相切，得 ( (舍去舍去).).當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),a,a2 2=c=c2 2+1=3,+1=3,故橢圓故橢圓C C的方程為的方程為C:C:r3.2(ca1)xy1,c23cc3,c1 c2c2 或c222xy1.3(2)(2)由由 知知APAQ,APAQ,從

9、而直線從而直線APAP與坐標(biāo)軸不垂直，與坐標(biāo)軸不垂直，由由A(0,1)A(0,1)可設(shè)直線可設(shè)直線APAP的方程為的方程為y=kx+1,y=kx+1,直線直線AQAQ的方程為的方程為將將y=kx+1y=kx+1代入橢圓代入橢圓C C的方程的方程 并整理得：并整理得：(1+3k(1+3k2 2)x)x2 2+6kx=0,+6kx=0,解得解得x=0 x=0或或AP AQ0 ，1yx1 k0 .k 22xy1326kx,1 3k 因此因此P P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為即即將上式中的將上式中的k k換成換成 得得直線直線l的方程為的方程為化簡(jiǎn)得直線化簡(jiǎn)得直線l的方程為的方程為因此直線因此直線l過(guò)定點(diǎn)過(guò)定點(diǎn)2

10、226k6k(,1),1 3k1 3k2226k1 3k(,).1 3k1 3k1,k2226kk3Q(,).k3 k3222222222k31 3k6kk3k31 3ky(x),6k6kk3k3k31 3k2k11yx,4k21N(0,).2【加固訓(xùn)練【加固訓(xùn)練】(2015(2015保定模擬保定模擬) )設(shè)橢圓設(shè)橢圓E E：的離心率為的離心率為 且過(guò)點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)(1)(1)求橢圓求橢圓E E的方程的方程. .(2)(2)設(shè)橢圓設(shè)橢圓E E的左頂點(diǎn)是的左頂點(diǎn)是A A，若直線，若直線l:x-my-t:x-my-t=0=0與橢圓與橢圓E E相交于不同的兩相交于不同的兩點(diǎn)點(diǎn)M M，N(MN(M，N N與

11、與A A均不重合均不重合) )，若以，若以MNMN為直徑的圓過(guò)點(diǎn)為直徑的圓過(guò)點(diǎn)A A，試判定直線，試判定直線l是否過(guò)定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)是否過(guò)定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo). .2222xy1(ab0)ab2e,26( 1,).2 【解析【解析】(1)(1)由由 可得可得a a2 2=2b=2b2 2，橢圓方程為橢圓方程為 代入點(diǎn)代入點(diǎn) 可得可得b b2 2=2,a=2,a2 2=4,=4,故橢圓故橢圓E E的方程為的方程為(2)(2)由由x-my-t=0 x-my-t=0得得x=my+t,x=my+t,把它代入把它代入E E的方程得的方程得:(m:(m2 2+2)y+2)y2

12、2+2mty+t+2mty+t2 2-4=0,-4=0,設(shè)設(shè)M(xM(x1 1,y,y1 1) )，N(xN(x2 2,y,y2 2) )得：得：222222cab1e,aa22222xy1,2bb6( 1,)222xy1.4221212222mtt4yy,y y,m2m2 x x1 1+x+x2 2=m(y=m(y1 1+y+y2 2)+2t= x)+2t= x1 1x x2 2=(my=(my1 1+t)(my+t)(my2 2+t)+t)=m=m2 2y y1 1y y2 2+tm(y+tm(y1 1+y+y2 2)+t)+t2 2= =因?yàn)橐砸驗(yàn)橐訫NMN為直徑的圓過(guò)點(diǎn)為直徑的圓過(guò)點(diǎn)A

13、 A，所以所以AMAN,AMAN,所以所以 =(x=(x1 1+2,y+2,y1 1) )(x(x2 2+2,y+2,y2 2)=x)=x1 1x x2 2+2(x+2(x1 1+x+x2 2)+4+y)+4+y1 1y y2 224t,m22222t4m.m2AM AN 2222222222t4m4tt43t8t4(t2)(3t2)240.m2m2m2m2m2 因?yàn)橐驗(yàn)镸 M，N N與與A A均不重合，所以均不重合，所以t-2,t-2,所以所以 直線直線l的方程是的方程是 直線直線l過(guò)定點(diǎn)過(guò)定點(diǎn)由于點(diǎn)由于點(diǎn)T T在橢圓內(nèi)部，故滿(mǎn)足判別式大于在橢圓內(nèi)部，故滿(mǎn)足判別式大于0 0，所以直線所以直線

14、l過(guò)定點(diǎn)過(guò)定點(diǎn)2t3 ，2xmy3，2T(,0),32T(,0).3考點(diǎn)二考點(diǎn)二 圓錐曲線中的定值問(wèn)題圓錐曲線中的定值問(wèn)題【考情分析【考情分析】該問(wèn)題常涉及直線、圓錐曲線、向量等問(wèn)題該問(wèn)題常涉及直線、圓錐曲線、向量等問(wèn)題, ,是高考熱是高考熱點(diǎn)點(diǎn): :(1)(1)定值問(wèn)題一般考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系定值問(wèn)題一般考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系, ,一元二次方程的根一元二次方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系與系數(shù)之間的關(guān)系, ,考查斜率、向量的運(yùn)算以及運(yùn)算能力考查斜率、向量的運(yùn)算以及運(yùn)算能力. .(2)(2)解決這類(lèi)問(wèn)題常通過(guò)取參數(shù)和特殊值來(lái)確定解決這類(lèi)問(wèn)題常通過(guò)取參數(shù)和特殊值來(lái)確定“定值定值”是多少是多

15、少, ,或者或者將該問(wèn)題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角式將該問(wèn)題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角式, ,證明該式為定值證明該式為定值. .【典例【典例2 2】(2013(2013江西高考江西高考) )橢圓橢圓C: C: 的離心率的離心率(1)(1)求橢圓求橢圓C C的方程的方程. .(2)(2)如圖，如圖，A,B,DA,B,D是橢圓是橢圓C C的頂點(diǎn)，的頂點(diǎn)，P P是橢圓是橢圓C C上除頂點(diǎn)外的任意點(diǎn)，直上除頂點(diǎn)外的任意點(diǎn)，直線線DPDP交交x x軸于點(diǎn)軸于點(diǎn)N,N,直線直線ADAD交交BPBP于點(diǎn)于點(diǎn)M M，設(shè)，設(shè)BPBP的斜率為的斜率為k k，MNMN的斜率為的斜率為m m，證明證明:2m-

16、k:2m-k為定值為定值. .2222xy1(ab0)ab3eab3.2，【解題提示【解題提示】(1)(1)借助橢圓中借助橢圓中a a2 2=b=b2 2+c+c2 2的關(guān)系及兩個(gè)已知條件即可求的關(guān)系及兩個(gè)已知條件即可求解解.(2).(2)可以寫(xiě)出可以寫(xiě)出BPBP的直線方程的直線方程, ,分別聯(lián)立橢圓方程及分別聯(lián)立橢圓方程及ADAD的方程表示出的方程表示出點(diǎn)點(diǎn)P,MP,M的坐標(biāo)的坐標(biāo), ,再利用再利用DPDP與與x x軸表示點(diǎn)軸表示點(diǎn)N N的坐標(biāo)的坐標(biāo), ,最終把最終把m m表示成表示成k k的形式的形式, ,就可求出定值就可求出定值; ;另外也可設(shè)點(diǎn)另外也可設(shè)點(diǎn)P P的坐標(biāo)的坐標(biāo), ,把把k

17、 k與與m m都用點(diǎn)都用點(diǎn)P P的坐標(biāo)來(lái)表示的坐標(biāo)來(lái)表示. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1) (1) 因?yàn)橐驗(yàn)?所以所以又由又由a a2 2=b=b2 2+c+c2 2得得 代入代入a+ba+b=3=3，得得故橢圓故橢圓C C的方程為的方程為(2)(2)因?yàn)橐驗(yàn)锽(2,0)B(2,0)，P P不為橢圓頂點(diǎn)，不為橢圓頂點(diǎn)，則直線則直線BPBP的方程為的方程為 ，將將代入代入 解得解得直線直線ADAD的方程為：的方程為： . .3ce2a，2ac3，1bc3，c3,a2,b1.22xy1.41yk(x2)(k0,k)2 22xy14 ，2228k24kP(,).4k14k11yx12聯(lián)立聯(lián)立解得解得

18、由由D(0,1), N(x,0)D(0,1), N(x,0)三點(diǎn)共線可知三點(diǎn)共線可知即即所以點(diǎn)所以點(diǎn)所以所以MNMN的斜率為的斜率為則則 ( (定值定值).).4k24kM(,).2k1 2k12228k24kP(,),4k14k12224k10 14k1,8k2x004k14k2x2k1，4k2N(,0).2k14k02k1m4k24k22k12k1224k(2k1)2k1,2(2k1)2(2k1)42k112mkk22【一題多解【一題多解】解決本例解決本例(2)(2)，你知道幾種解法？，你知道幾種解法？解答本題，還有如下方法：解答本題，還有如下方法：設(shè)設(shè)P(xP(x0 0,y,y0 0)(

19、x)(x0 00,0,2)2)，則則 直線直線ADAD的方程為的方程為直線直線BPBP的方程為的方程為 直線直線DPDP的方程為的方程為令令y=0y=0，由于，由于y y0 011，可得，可得解解00ykx2，1y(x2)2，00yyx2x2，00y1y 1x.x 00 xN(,0).y1001yx2 ,2yyx2x200000004y2x44yM(,)2yx22yx2可得，所以所以MNMN的斜率為的斜率為故故0000000004y02yx2m4y2x4x2yx2y10022000004y (y1)4y8y4x yx40002200000004y (y1)y1.4y8y4x y(44y )42

20、yx2000002(y1)y2mk2yx2x2000000002(y1)(x2)y (2yx2)(2yx2)(x2)2000000002(y1)(x2)2yy (x2)(2yx2)(x2)20000000012(y1)(x2)(4x)y (x2)2(2yx2)(x2)0000012(y1)(2x )y12.2yx22定值【規(guī)律方法【規(guī)律方法】圓錐曲線中定值問(wèn)題的特點(diǎn)及兩大解法圓錐曲線中定值問(wèn)題的特點(diǎn)及兩大解法(1)(1)特點(diǎn)特點(diǎn): :待證幾何量不受動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的影響而有固定的值待證幾何量不受動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的影響而有固定的值. .(2)(2)兩大解法兩大解法: :從特殊入手從特殊入手, ,求出定值求出

21、定值, ,再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān). .引進(jìn)變量法引進(jìn)變量法: :其解題流程為其解題流程為【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】(2015(2015廣州模擬廣州模擬) )已知橢圓已知橢圓C C：的短半軸長(zhǎng)為的短半軸長(zhǎng)為1,1,動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)M(2,t)(t0)M(2,t)(t0)在直線在直線 (c(c為半焦距為半焦距) )上上. .(1)(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. .(2)(2)求以求以O(shè)MOM為直徑且被直線為直徑且被直線3x-4y-5=03x-4y-5=0截得的弦長(zhǎng)為截得的弦長(zhǎng)為2 2的圓的方程的圓的方程. .(3)(3)設(shè)設(shè)F F是橢圓的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F F作

22、作OMOM的垂線與以的垂線與以O(shè)MOM為直徑的圓交于點(diǎn)為直徑的圓交于點(diǎn)N N，求證：線段求證：線段ONON的長(zhǎng)為定值，并求出這個(gè)定值的長(zhǎng)為定值，并求出這個(gè)定值. .2222xy1(ab0)ab2axc【解析【解析】(1)(1)由點(diǎn)由點(diǎn)M(2,t)M(2,t)在直線在直線 上，得上，得故故 所以所以c=1,c=1,從而從而所以橢圓方程為所以橢圓方程為2axc2a2,c21c2,ca2.22xy1.2(2)(2)以以O(shè)MOM為直徑的圓的方程為為直徑的圓的方程為x(x-2)+y(y-t)=0.x(x-2)+y(y-t)=0.即即其圓心為其圓心為 半徑半徑因?yàn)橐砸驗(yàn)橐設(shè)MOM為直徑的圓被直線為直徑的圓

23、被直線3x-4y-5=03x-4y-5=0截得的弦長(zhǎng)為截得的弦長(zhǎng)為2 2，所以圓心到直線所以圓心到直線3x-4y-5=03x-4y-5=0的距離的距離所以所以 解得解得t=4.t=4.所求圓的方程為所求圓的方程為(x-1)(x-1)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=5.=5.222tt(x1)(y)1.24t(1, ),22tr1.42tdr1.2 32t5t,52(3)(3)設(shè)設(shè)N(xN(x0 0,y,y0 0),),則則因?yàn)橐驗(yàn)樗运?(x2(x0 0-1)+ty-1)+ty0 0=0,=0,所以所以2x2x0 0+ty+ty0 0=2.=2.又因?yàn)橛忠驗(yàn)?所以所以x x0 0(x(

24、x0 0-2)+y-2)+y0 0(y(y0 0-t)=0,-t)=0,所以所以x x0 02 2+y+y0 02 2=2x=2x0 0+ty+ty0 0=2,=2,所以所以 為定值為定值. . 00FNx1,y,OM2,t , 0000MNx2,yt ,ONx ,y. FNOM ，MNON, 2200|ON|xy2【加固訓(xùn)練【加固訓(xùn)練】已知拋物線已知拋物線x x2 24y4y的焦點(diǎn)為的焦點(diǎn)為F F，A A，B B是拋物線上的兩動(dòng)是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)，且 過(guò)過(guò)A A，B B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為為M.M.(1)(1)證明：證明： 為定值為定值.

25、.(2)(2)設(shè)設(shè)ABMABM的面積為的面積為S S，寫(xiě)出，寫(xiě)出S Sf(f() )的表達(dá)式，并求的表達(dá)式，并求S S的最小值的最小值A(chǔ)FFB0 FM AB 【解析【解析】(1)(1)由已知條件，得由已知條件，得F(0,1)F(0,1)，0.0.設(shè)設(shè)A(xA(x1 1，y y1 1) )，B(xB(x2 2，y y2 2) )由由即得即得( (x x1 1,1,1y y1 1) )(x(x2 2，y y2 21)1)所以所以將式兩邊平方并把將式兩邊平方并把 代入得代入得y y1 12 2y y2 2，解解式得式得 且有且有x x1 1x x2 2xx2 22 24y4y2 24. 4. 拋物線

26、方程為拋物線方程為AFFB ，1212xx1yy1 . ，22112211yxyx44， 121yy ， ，21yx .4求導(dǎo)得求導(dǎo)得 所以過(guò)拋物線上所以過(guò)拋物線上A A，B B兩點(diǎn)的切線方程分別是兩點(diǎn)的切線方程分別是即即解出兩條切線的交點(diǎn)解出兩條切線的交點(diǎn)M M的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為所以，所以，所以所以 為定值，其值為為定值，其值為0.0.1yx.211122211yxxxyyxxxy22 ， ，2211221111yx xxyx xx .2424， 121212xxx xxx() (1).242，122121xxFM AB (2) (xxyy )2 ， ， 22222121111(xx ) 2(

27、xx ) 0.244FM AB (2)(2)由由(1)(1)知在知在ABMABM中，中，F(xiàn)MABFMAB，因而，因而1SAB FM .2221222121212xxFM()22111xxx x44421yy442112. 因?yàn)橐驗(yàn)閨AF|AF|，|BF|BF|分別等于分別等于A A，B B到拋物線準(zhǔn)線到拋物線準(zhǔn)線y y1 1的距離，的距離，所以所以|AB|AB|AF|AF|BF|BF|y y1 1y y2 22 2 于是于是由由 知知S4S4，且當(dāng)且當(dāng)1 1時(shí)，時(shí)，S S取得最小值取得最小值4.4.2112 () ，3111SAB FM()22 ，12，考點(diǎn)三考點(diǎn)三 圓錐曲線中的最值與取值范圍

28、問(wèn)題圓錐曲線中的最值與取值范圍問(wèn)題【考情分析【考情分析】常涉及不等式恒成立、求函數(shù)的值域問(wèn)題和解不等式問(wèn)常涉及不等式恒成立、求函數(shù)的值域問(wèn)題和解不等式問(wèn)題題, ,是高考熱點(diǎn)是高考熱點(diǎn): :(1)(1)恒成立問(wèn)題一般考查整式不等式、分式、絕對(duì)值不等式在某個(gè)區(qū)恒成立問(wèn)題一般考查整式不等式、分式、絕對(duì)值不等式在某個(gè)區(qū)間上恒成立間上恒成立, ,求參數(shù)取值范圍求參數(shù)取值范圍. .(2)(2)求函數(shù)的值域求函數(shù)的值域, ,一般是利用二次函數(shù)、基本不等式或求導(dǎo)的方法求一般是利用二次函數(shù)、基本不等式或求導(dǎo)的方法求解解, ,有時(shí)也利用數(shù)形結(jié)合思想求解有時(shí)也利用數(shù)形結(jié)合思想求解. .(3)(3)解不等式一般是轉(zhuǎn)化

29、為解一元一次、一元二次不等式解不等式一般是轉(zhuǎn)化為解一元一次、一元二次不等式. .【典例【典例3 3】(2014(2014浙江高考浙江高考) )如圖，設(shè)橢圓如圖，設(shè)橢圓C:C:動(dòng)直線動(dòng)直線l與橢圓與橢圓C C只有一個(gè)公共點(diǎn)只有一個(gè)公共點(diǎn)P P，且點(diǎn)，且點(diǎn)P P在第一象限在第一象限. .(1)(1)已知直線已知直線l的斜率為的斜率為k k，用，用a,b,ka,b,k表示點(diǎn)表示點(diǎn)P P的坐標(biāo)的坐標(biāo)(2)(2)若過(guò)原點(diǎn)若過(guò)原點(diǎn)O O的直線的直線l1 1與與l垂直，證明：點(diǎn)垂直，證明：點(diǎn)P P到直線到直線l1 1的距離的最大值為的距離的最大值為a ab.b.2222xy1 ab0 ,ab【解題提示【解題

30、提示】(1)(1)將直線與橢圓方程聯(lián)立將直線與橢圓方程聯(lián)立, ,解得解得P P點(diǎn)坐標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo). .(2)(2)表示出點(diǎn)到直線的距離表示出點(diǎn)到直線的距離, ,利用利用a,b,ka,b,k之間的關(guān)系和基本不等式求出之間的關(guān)系和基本不等式求出最大值最大值. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)設(shè)直線設(shè)直線l的方程為的方程為y=kx+m(ky=kx+m(k0),0),由由消去消去y y得得(b(b2 2+a+a2 2k k2 2)x)x2 2+2a+2a2 2kmx+akmx+a2 2m m2 2-a-a2 2b b2 2=0,=0,由于由于l與與C C只有一個(gè)公共點(diǎn)只有一個(gè)公共點(diǎn), ,故故=0,=0,

31、即即b b2 2-m-m2 2+a+a2 2k k2 2=0,=0,所以所以2222xy1,abykxm,222mba k ,解得點(diǎn)解得點(diǎn)P P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為 又點(diǎn)又點(diǎn)P P在第一象限，故點(diǎn)在第一象限，故點(diǎn)P P的的坐標(biāo)為坐標(biāo)為22222222a kmb mP(,)ba kba k，22222222a kbP(,).ba kba k(2)(2)由于直線由于直線l1 1過(guò)原點(diǎn)過(guò)原點(diǎn)O O且與直線且與直線l垂直，故直線垂直，故直線l1 1的方程為的方程為x+ky=0 x+ky=0，所以點(diǎn)所以點(diǎn)P P到直線到直線l1 1的距離的距離d=d=因?yàn)橐驗(yàn)樗运?2222222222222222a kb

32、 k|abba kba k,1kbbaa kk2222ba k2abk，222222222222ababab,bba2abbaa kk當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立時(shí)等號(hào)成立. .所以，點(diǎn)所以，點(diǎn)P P到直線到直線l1 1的距離的最大值為的距離的最大值為a ab.b.2bka【規(guī)律方法【規(guī)律方法】1.1.解決圓錐曲線中的取值范圍問(wèn)題的五種常用解法解決圓錐曲線中的取值范圍問(wèn)題的五種常用解法(1)(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系, ,從而確定參數(shù)的從而確定參數(shù)的取值范圍取值范圍. .(2)(2)利用已知參數(shù)的范圍利用已知參數(shù)的范圍, ,求新參

33、數(shù)的范圍求新參數(shù)的范圍, ,解這類(lèi)問(wèn)題的核心是建立解這類(lèi)問(wèn)題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系. .(3)(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式利用隱含的不等關(guān)系建立不等式, ,從而求出參數(shù)的取值范圍從而求出參數(shù)的取值范圍. .(4)(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式, ,從而求出參數(shù)的取值范圍從而求出參數(shù)的取值范圍. .(5)(5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù), ,求其值求其值域域, ,從而確定參數(shù)的取值范圍從而確定參數(shù)的取值范圍. .2.2.圓錐曲線中常見(jiàn)最值問(wèn)題及解題方法

34、圓錐曲線中常見(jiàn)最值問(wèn)題及解題方法(1)(1)兩類(lèi)最值問(wèn)題兩類(lèi)最值問(wèn)題: :涉及距離、面積的最值以及與之相關(guān)的一些問(wèn)涉及距離、面積的最值以及與之相關(guān)的一些問(wèn)題題; ;求直線或圓錐曲線中幾何元素的最值以及這些元素存在最值時(shí)求直線或圓錐曲線中幾何元素的最值以及這些元素存在最值時(shí)確定與之有關(guān)的一些問(wèn)題確定與之有關(guān)的一些問(wèn)題. .(2)(2)兩種常見(jiàn)解法兩種常見(jiàn)解法: :幾何法幾何法, ,若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義征及意義, ,則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決; ;代數(shù)法代數(shù)法, ,若題目的條件和結(jié)若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)

35、系論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系, ,則可先建立起目標(biāo)函數(shù)則可先建立起目標(biāo)函數(shù), ,再求這個(gè)函數(shù)再求這個(gè)函數(shù)的最值的最值, ,最值常用基本不等式法、配方法及導(dǎo)數(shù)法求解最值常用基本不等式法、配方法及導(dǎo)數(shù)法求解. .提醒提醒: :求最值問(wèn)題時(shí)求最值問(wèn)題時(shí), ,一定要注意對(duì)特殊情況的討論一定要注意對(duì)特殊情況的討論. .如直線斜率不存如直線斜率不存在的情況在的情況, ,二次三項(xiàng)式最高次項(xiàng)的系數(shù)的討論等二次三項(xiàng)式最高次項(xiàng)的系數(shù)的討論等. .【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】(2015(2015杭州模擬杭州模擬) )已知圓已知圓M M： 若橢圓若橢圓C C： 的右頂點(diǎn)為圓的右頂點(diǎn)為圓M M的圓心，的圓心，離心率為離心率為

36、(1)(1)求橢圓求橢圓C C的方程的方程. .(2)(2)若存在直線若存在直線l:y=kx:y=kx, ,使得直線使得直線l與橢圓與橢圓C C分別交于分別交于A A，B B兩點(diǎn)，與圓兩點(diǎn)，與圓M M分別交于分別交于G G，H H兩點(diǎn)，點(diǎn)兩點(diǎn)，點(diǎn)G G在線段在線段ABAB上，且上，且|AG|=|BH|AG|=|BH|，求圓，求圓M M半徑半徑r r的取的取值范圍值范圍. .222(x2)yrr0 .2222xy1(ab0)ab2.2【解析【解析】(1)(1)設(shè)橢圓的焦距為設(shè)橢圓的焦距為2c,2c,因?yàn)橐驗(yàn)?所以所以c=1,c=1,所以所以b=1,b=1,所以橢圓所以橢圓C C：c2a2,a22

37、2xy1.2(2)(2)設(shè)設(shè)A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),由直線由直線l與橢圓與橢圓C C交于兩點(diǎn)交于兩點(diǎn)A A，B B，則，則所以所以(1+2k(1+2k2 2)x)x2 2-2=0,-2=0,則則x x1 1+x+x2 2=0,=0,所以所以|AB|=|AB|=點(diǎn)點(diǎn) 到直線到直線l的距離的距離則則|GH|=|GH|=22ykx,x2y2,1222x x.12k 222288(1k )(1k ).12k12kM( 2 0)，2|2k |d,1k2222k2 r.1k顯然，若點(diǎn)顯然，若點(diǎn)H H也在線段也在線段ABAB上，則由對(duì)稱(chēng)性可知，直線上，

38、則由對(duì)稱(chēng)性可知，直線y=kxy=kx就是就是y y軸，軸，矛盾，所以要使矛盾，所以要使|AG|=|BH|AG|=|BH|，只要，只要|AB|=|GH|AB|=|GH|，所以所以當(dāng)當(dāng)k=0k=0時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)k0k0時(shí)，時(shí)，222228(1k )2k4(r),12k1k2242222422k2(1k )2(3k3k1)r1k12k2k3k1442k2(1),2k3k1r2,24211r2(1)2(1)3,1322kk又顯然又顯然 所以所以綜上，綜上，2421r2(1)2,132kk2r3.2r3.【加固訓(xùn)練【加固訓(xùn)練】已知拋物線已知拋物線C:yC:y=x=x2 2. .過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)M(1,2)M(1,

39、2)的直線的直線l交交C C于于A,BA,B兩點(diǎn)兩點(diǎn). .拋物線拋物線C C在點(diǎn)在點(diǎn)A A處的切線與在點(diǎn)處的切線與在點(diǎn)B B處的切線交于點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)P.P.(1)(1)若直線若直線l的斜率為的斜率為1,1,求求|AB|.|AB|.(2)(2)求求PABPAB的面積的最小值的面積的最小值. .【解析【解析】(1)(1)設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),由題意知，直線由題意知，直線l的方程為的方程為y=x+1,y=x+1,由由 消去消去y y得得x x2 2-x-1=0,-x-1=0,解得解得, ,所以所以|AB|=|AB|=2yx1,yx

40、 ,121515x,x,2215152 |10.22(2)(2)易知直線易知直線l的斜率存在，的斜率存在，設(shè)直線設(shè)直線l的方程為的方程為y=k(x-1)+2,y=k(x-1)+2,設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)A(xA(x3 3,y,y3 3),B(x),B(x4 4,y,y4 4).).由由 消去消去y,y,整理得整理得x x2 2-kx+k-2=0,-kx+k-2=0,x x3 3+x+x4 4=k,x=k,x3 3x x4 4=k-2,=k-2,又又y=(xy=(x2 2)=2x,)=2x,所以拋物線所以拋物線y=xy=x2 2在點(diǎn)在點(diǎn)A A，B B處的切線方程分別為處的切線方程分別為y=2xy=2x3 3x-xx-x3 32 2,y=2x,y=2x4 4x-xx-x4 42 2. .2yk(x1)2,yx ,得兩切線的交點(diǎn)得兩切線的交點(diǎn)所以點(diǎn)所以點(diǎn)P P到直線到直線l的距離的距離又又|AB|=|AB|= =設(shè)設(shè)PABPAB的面積為的面積為S S，所以所以 ( (當(dāng)當(dāng)k=2k=2時(shí)取得等號(hào)時(shí)取得等號(hào)).).所以所以PABPAB面積的最小值為面積的最小值為2.2.kP(,k2).222k4k8d.2 k12234341k(xx )4x x221kk4k8.2311S|AB| d(k2)4224