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2019-2020年九年級數(shù)學上冊 第23章 一元二次方程 23.2 一元二次方程的解法名師教案6 華東師大版 教學目標： 知識技能目標 1.使學生辨清數(shù)字、數(shù)位、數(shù)三者之間的區(qū)別與聯(lián)系，會用含未知數(shù)的代數(shù)式表示關(guān)系式； 2.會根據(jù)所設(shè)的不同意義的未知數(shù)，列出相應的方程，會從多個角度考慮一題多解有關(guān)數(shù)字的應用問題； 3.進一步體會列方程解應用題的要點． 過程性目標 1.使學生用列一元二次方程的方法解有關(guān)數(shù)與數(shù)字之關(guān)系的應用題； 2.通過列方程解應用題，進一步提高學生分析問題、解決問題的能力． 情感態(tài)度目標 1.培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力，提高數(shù)學應用的意識； 2.通過列方程解應用題，獲得成功的體驗和克服困難的經(jīng)歷，增進應用數(shù)學的自信心． 重點和難點： 同上節(jié)課一樣，認真審題，分析題中數(shù)量關(guān)系，適當設(shè)未知數(shù)，尋找等量關(guān)系，列方程既是重點也是難點． 教學過程： 一、創(chuàng)設(shè)情境 1.提問：列方程解應用題的一般步驟是什么？ (1)審題：分析題意，弄清哪些是已知量，哪些是未知量，它們之間的數(shù)量關(guān)系； (2)設(shè)未知數(shù)：未知數(shù)有直接與間接兩種，恰當?shù)脑O(shè)元有利于列方程和解方程，以直接設(shè)未知數(shù)居多； (3)根據(jù)已知條件找出等量關(guān)系列方程； (4)解方程； (5)檢驗并寫出答案． 2.在三位數(shù)345中，3、4、5是這個三位數(shù)的什么？（3是百位數(shù)字， 4是十位數(shù)字，5是個位數(shù)字） 3.如果a，b，c分別表示百位數(shù)字、十位數(shù)字、個位數(shù)字，這個三位數(shù)能不能寫成abc形式？為什么？（在數(shù)學里“abc”表示連乘積．數(shù)字連同它所在的數(shù)位結(jié)合在一起，才表示一個數(shù)． 例如同一個數(shù)字 5，當它在百位上時，這個5表示500；當它在十位上時，這個5表示50；當它在個位上時，這個5表示5．所以如果a=3，b=6， c=5那么abc等于345=60，而不是345．所以這個以 a為百位數(shù)字，b為十位數(shù)字，c為個位數(shù)字的三位數(shù)應該寫成100a+10b+c） 二、探究歸納 例1 兩個連續(xù)奇數(shù)的積是323，求這兩個數(shù)． 分析 考慮本題有三點值得注意： 1.有兩個連續(xù)奇數(shù)： (1)什么是奇數(shù)？不能被2整除的整數(shù)叫做奇數(shù)，例如1，3，5…，一般地，設(shè)n為整數(shù)，則2n-1（或2n+1）表示一個奇數(shù)； (2) -1，-3，-5…；1，3，5…是連續(xù)奇數(shù)，它們之間相差2（或-2）．2n-1與 2n+1是連續(xù)奇數(shù)，2n+1與 2n+3也是連續(xù)奇數(shù)（其中n是任意整數(shù)）．如果規(guī)定了x是奇數(shù)，那么x-2與x是連續(xù)奇數(shù)，x+2與x也是連續(xù)奇數(shù)． 2.本題里，表示應用題全部含義的相等關(guān)系是： (1)兩個連續(xù)奇數(shù)的乘積=323； (2)兩個連續(xù)奇數(shù)之差=2． 3.要求這兩個數(shù)： 顯然，從相等關(guān)系入手由1.得： (1)設(shè)較小奇數(shù)為x，則另一奇數(shù)為x+2； (2)設(shè)較小奇數(shù)為x-1，則另一奇數(shù)為x+1； (3)設(shè)較小奇數(shù)為2x-1，則另一奇數(shù)為2x+1． 從而得出本題的以下三種解法． 解法1 用相等關(guān)系(1)寫出關(guān)系式，用相等關(guān)系(1)列方程． 設(shè)較小的一個奇數(shù)為x，那么較大的一個奇數(shù)為x+2，根據(jù)相等關(guān)系：兩個連續(xù)奇數(shù)的乘積=323，列出方程x(x+2)=323． 整理，得x2+2x-323=0， 解方程，得x1=17，x2=-19． 當x=17時，x+2=19． 當x=-19時，x+2=-17． 檢驗：1719=323；(-19)(-17)= 323．都符合題意 答 這兩個連續(xù)奇數(shù)是17，19或-19，-17． 注 檢驗這一步在解題時可不寫出，但不要忽略這一步． 指導學生討論： (1)不同的設(shè)“元”所產(chǎn)生的解法的優(yōu)劣； (2)為什么有些應用題會有兩組解？ 解法2 設(shè)兩個連續(xù)奇數(shù)為x-1，x+1．根據(jù)題意，得(x+1)(x-1)＝323， 即x2＝324，所以x1＝18，x2＝-18． 由x＝18，得x-1＝17，x+1＝19； 由x＝-18，得x-1＝-19，x+1＝-17． 經(jīng)過檢驗，這兩組答數(shù)都符合題意． 答 這兩個連續(xù)奇數(shù)是17，19或-19，-17． 解法3 設(shè)x是任意整數(shù)，則兩個連續(xù)奇數(shù)為2x-1，2x+1．根據(jù)相等關(guān)系列出方程 (2x-1)(2x+1)= 323． 整理，得 4x2-1=323，x2=81． 解得x1=9，x2=-9； 當x1=9時，2x-1=17，2x+1=19； 當x2=-9時，2x-1=-19，2x+1=-17． 經(jīng)過檢驗，這兩組答數(shù)都符合題意． 答 這兩個連續(xù)奇數(shù)是17，19或-19，-17． 解法4 用相等關(guān)系(2)寫出關(guān)系式，用相等關(guān)系(2)列方程． 設(shè)較大的一個奇數(shù)為x，那么較小的一個奇數(shù)為， 根據(jù)相等關(guān)系列出方程， 解這個方程，得x1=19，x2=-17． 經(jīng)過檢驗，這兩組答數(shù)都符合題意． 答 這兩個連續(xù)奇數(shù)是17，19或-19，-17． 現(xiàn)在從上面的四種解法來分析列方程，解應用題要注意的地方． 第一步：弄清題意．本題需要先弄清什么是奇數(shù)，什么是連續(xù)奇數(shù)，用x表示哪個未知數(shù)？解法1與解法2、3是用x直接表示其中的一個奇數(shù)，而解法3所設(shè)的x表示的是任意整數(shù)，然后，間接地用2x-1，2x+1表示連續(xù)奇數(shù)； 第二步：找相等關(guān)系．因為方程是含有未知數(shù)的等式，所以必須有相等關(guān)系．本題中的“兩個連續(xù)奇數(shù)的乘積等于323”是相等關(guān)系，可是還有一個比較隱蔽的相等關(guān)系是“兩個連續(xù)奇數(shù)之差等于2或-2”； 第三步：根據(jù)相等關(guān)系，寫出需要的代數(shù)式，從而列出方程． 三、實踐應用 例2 有一個兩位數(shù)，它的兩個數(shù)字之和是8，把這個兩位數(shù)的數(shù)字交換位置后所得的數(shù)乘以原來的數(shù)就得到1855，求原來的兩位數(shù)． 解 設(shè)個位數(shù)字為x，則 （注意：引導學生填寫這些表示量的代數(shù)式，這是解應用題的關(guān)鍵，加強訓練） 十位數(shù)字是______．　　　　　　　　　　(8-x) 原來的兩位數(shù)是______．　　　　　　　　(10(8-x)+x) 交換位置后的兩位數(shù)是______．　　　　　(10x+(8-x)) 列方程[10x+(8-x)][10(8-x)+x]=1855． 化簡，得(9x+8)(80-9x)= 1855，720x+640-81x2-72x=1855， 解方程x2-8x+15=0，得x1=3，x2=5． 檢驗：(1)若個位數(shù)字取3，則十位數(shù)字取5，原來的兩位數(shù)是53，交換位置后的兩位數(shù)是35，3553=1855，符合應用題題意． (2)若個位數(shù)字取5，則十位數(shù)字取3，原來的兩位數(shù)是35，交換位置后的兩位數(shù)是53，5335=1855，符合應用題題意． 答 原來的兩位數(shù)是53或35． 說明 本題也可設(shè)十位數(shù)字為x． 例3 有一個兩位數(shù)，個位數(shù)字比十位數(shù)字大1，把它的個位數(shù)字與十位數(shù)字對調(diào)，得到一個新數(shù)，已知新數(shù)與原數(shù)的積為252，求原數(shù)． 分析 此題可從十位數(shù)字與個位數(shù)字的關(guān)系入手，考慮設(shè)十位數(shù)字為x得一種解法；而設(shè)個位數(shù)字為x，則得另一種解法． 解法1 設(shè)十位數(shù)字為x，則其個位數(shù)字為x+1．則原數(shù)為10x+(x+1)＝11x+1，新數(shù)為10(x+1)+x＝11x十10． 根據(jù)題意，得(11x+1)(11x+10)＝252， 即121x2+121x-242＝0， 所以x2+x-2＝0，即x1＝1，x2＝-2． 本題中數(shù)字不能取負值，故x＝1． 因此，所求兩位數(shù)為12． 解法2 設(shè)個位數(shù)字為x，則其十位數(shù)字為x-1． 依題意，得(11x-1)(11x-10)＝252， 即x2-x-2＝0， 所以x1＝2，x2＝-1(舍去)． 因此，所求兩位數(shù)為12． 例4 有兩個數(shù)，一個是兩位數(shù)，另一個是一位數(shù)，其中兩位數(shù)是這個一位數(shù)的平方，如果把這個一位數(shù)放在這個兩位數(shù)的左邊所成的三位數(shù)，比把這個一位數(shù)放在這個兩位數(shù)的右邊所成的三位數(shù)大252，求這個一位數(shù)與兩位數(shù)． 解 設(shè)一位數(shù)為x，則兩位數(shù)為______．　　　(x2) 把一位數(shù)x放在兩位數(shù)x2的左邊，就是把數(shù)字x放在百位而十位和個位數(shù)字不變，它所成的三位數(shù)為______．　　　　　　(100x+x2) 把一位數(shù)x放在兩位數(shù)x2的右邊，就是把數(shù)字x放在個位上，兩位數(shù)x2順序放在百位和十位上，它所成的三位數(shù)為______．(10x2+x) 列方程100x+x2=10x2+x+252． 化簡得9x2-99x+252=0． 解得x1=4，x2=7 檢驗：(1)取一位數(shù)為4，則兩位數(shù)為16，把一位數(shù)放在兩位數(shù)的左邊，所成的三位數(shù)是416． 把一位數(shù)放在兩位數(shù)的右邊，所成的三位數(shù)是164．而416=164+252成立． (2)取一位數(shù)是7，則兩位數(shù)是49．把一位數(shù)放在兩位數(shù)的左邊，所成的三位數(shù)是749，把一位數(shù)放在兩位數(shù)的右邊，所成的三位數(shù)是497．而749=497+252成立． 答 所求的兩個數(shù)是4，16或7，49． 四、交流反思 1.靈活設(shè)元可直接影響方程與解法的難易，故應尋求正確的、合理的設(shè)元列方程方法； 2.解一元二次方程可能得出兩個解，其適合方程但不一定適合應用題．因此，必須檢驗其是否符合實際要求． 五、檢測反饋 1.已知兩個連續(xù)奇數(shù)的積是255，求這兩個奇數(shù). 2.已知三個連續(xù)奇數(shù)的平方和是371，求這三個奇數(shù)． 3.有一個兩位數(shù)，十位數(shù)字比個位數(shù)字大3，而此兩位數(shù)比這兩個數(shù)字之積的二倍多5，求這個兩位數(shù)． 六、布置作業(yè) 習題23．2的8，9.