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2019年高考數學試題分類匯編 J單元 計數原理（含解析） 目錄 J單元　計數原理 1 J1　基本計數原理 1 J2　排列、組合 1 J3　二項式定理 1 J4 單元綜合 1 J1　基本計數原理 【理江蘇揚州中學高二期末xx】7．某工廠將4名新招聘員工分配至三個不同的車間，每個車間至少分配一名員工，甲、乙 兩名員工必須分配至同一車間，則不同的分配方法總數為 ▲ （用數字作答）． 【知識點】計數原理的應用． 【答案解析】6 解析 ：解：把甲、乙兩名員工看做一個整體，4個人變成了3個，再把這3部分人分到3個為車間，有種方法，根據分步計數原理，不同分法的種數為=6， 故答案為：6． 【思路點撥】把甲、乙兩名員工看做一個整體，4個人變成了3個，再把這3部分人分到3個為車間，即可得出結論． 【理吉林長春十一中高二期末xx】15.將排成一排，要求在排列中，順序為“”或“”（可以不相鄰），這樣的排法有 種． 【知識點】分步計數原理. 【答案解析】40解析 ：解：由題意知本題是一個分步計數問題， 五個字母排成一列，先從中選三個位置給A、B、C且A、B、C有兩種排法，即，然后讓D、E排在剩余兩個位置上，有A22種排法； 由分步乘法計數原理所求排列數為=40． 【思路點撥】先從中選三個位置給A、B、C且A、B、C有兩種排法，即，然后讓D、E排在剩余兩個位置上，有種排法，根據分步計數原理得到結果． J2　排列、組合 【理重慶一中高二期末xx】9、現安排甲乙丙丁戊5名學生分別擔任語文、數學、英語、物理、化學學科的科代表，要求甲不當語文課代表，乙不當數學課代表，若丙當物理課代表則丁必須當化學課代表，則不同的選法共有多少種（ ） A、53 B、67 C、85 D、91 【知識點】排列組合；分類計數原理. 【答案解析】B解析 ：解：由題意可進行如下分類：（1）丙當物理課代表：甲當數學課代表有2種選法；甲不當數學課代表有1種選法；共計3種選法；（2）丙當語文課代表：乙不當數學課代表有3種選法，另外3人全排列，共計種選法；（3）丙當數學課代表：與（2）相同共計種選法；（4）丙當英語課代表：乙當語文課代表有種選法；乙不當語文課代表有種選法；共計14種選法；（5）丙當化學課代表：與（4）相同共計14種選法；綜上所述：共有3+18+18+14+14=67種不同的選法. 故選：B. 【思路點撥】由題意對丙分類討論，依次讓丙去當各科課代表，再求和即可. 【理甘肅蘭州一中高二期末xx】15. 用1、2、3、4、5、6六個數組成沒有重復數字的六位數，其中5、6均排在3的同側，這樣的六位數共有 個（用數字作答）． 【知識點】排列組合；分類計數原理. 【答案解析】480解析 ：解：把3看成特殊元素，優(yōu)先排列： (1)3排在首位或末位時，共有個； （2）3排在第2位或第5位時，共有個； （3）3排在第3位或第4位時，共有個； 所以滿足題意的六位數共有480個. 故答案為：480. 【思路點撥】把3看成特殊元素，優(yōu)先排列,分類相加即可. 【江蘇鹽城中學高二期末xx】11．（理科學生做）現從8名學生中選出4人去參加一項活動，若甲、乙兩名同學不能同時入選，則共有 ▲ 種不同的選派方案.（用數字作答） 【知識點】排列組合及簡單計數問題. 【答案解析】55 解析 ：解：從8名學生中選出4人，共有種選法， 其中甲乙同時參加的有種選法， 所以從8名學生中選出4人，甲乙不同時參加的選法有70-15=55種， 故答案為55． 【思路點撥】所有選法共有種，減去甲乙同時參加的情況種即可. 【理江西鷹潭一中高二期末xx】4．5個人站成一排，若甲、乙兩人之間恰有1人，則不同的站法數有( ) A．18 B．26 C．36 D．48 【知識點】排列、組合的綜合應用. 【答案解析】C解析 ：解：依題意，先分析甲乙兩人，甲乙兩人有2種站法， 再從其他3人中，選出1人，站在甲乙之間，有3種選法，最后用捆綁法， 將甲乙及其中間站的人視為一個元素，與剩余兩人共3個元素全排列，有A33種排列方法；由分步計數原理可得，不同站法有種， 故選C． 【思路點撥】先分析甲乙兩人的站法數目，再從其他3人中，選出甲乙之間的一人，分析其選法，最后用捆綁法，將甲乙及其中間站的人視為一個元素，與剩余兩人共3個元素全排列，由分步計數原理分析可得答案． 【典型總結】本題考查排列、組合的綜合應用，注意分析的順序一般是，先抽取，再排列 【理吉林一中高二期末xx】11. 將5名實習教師分配到高一年級的3個班實習，每班至少1名，則不同的分配方案有（ ） A．30種 B．60種 C．90種 D．150種 【知識點】排列、組合的實際應用．菁優(yōu)網版權 【答案解析】D 解析 ：解：將5名實習教師分配到高一年級的3個班實習，每班至少1名，有2種情況： ①將5名教師分成三組，一組1人，另兩組都是2人，有=15種分組方法， 再將3組分到3個班，共有15?A33=90種不同的分配方案， ②將5名教師分成三組，一組3人，另兩組都是1人，有=10種分組方法， 再將3組分到3個班，共有10?A33=60種不同的分配方案， 共有90+60=150種不同的分配方案， 故選：D． 【思路點撥】根據題意，分兩種情況討論：①將5名教師分成三組，一組1人，另兩組都是2人，②將5名教師分成三組，一組3人，另兩組都是1人，由組合數公式計算可得每種情況下的分配方案數目，由分類計數原理計算可得答案． 【理吉林一中高二期末xx】5. 某同學忘記了自己的QQ號，但記得QQ號是由一個1，一個2，兩個5和兩個8組成的六位數，于是用這六個數隨意排成一個六位數，輸入電腦嘗試，那么他找到自己的QQ號最多嘗試次數為（ ） A．96 B．180 C．360 D．720 【知識點】分步乘法計數原理． 【答案解析】B 解析 ：解：根據題意，其QQ號由共6個數字組成，將這6個數字全排列，有種情況，而這6個數字中有兩個5和兩個8，則共可以組成個六位數， 那么他找到自己的QQ號最多嘗試180次， 故選：B． 【思路點撥】根據題意，先求出組成QQ號碼的4個數字的全排列為，分析可得這6個數字中有兩個5和兩個8，計算可得由這4個數字可以組成的四位數個數，即可得答案． J3　二項式定理 【文江蘇揚州中學高二期末xx】17．（本小題滿分14分） 已知函數（為實數，），． ⑴若，且函數的值域為，求的表達式； ⑵設，且函數為偶函數，求證：． 【知識點】二項式系數的性質；二項式定理的應用． 【答案解析】⑴⑵ -5 解析 ：解：⑴由題意，， 則； ……3分 由通項，則，所以，所以；…7分 ⑵即求展開式中含項的系數， ， ……11分 所以展開式中含項的系數為． ……14分 【思路點撥】（1）根據2n=32求得n的值．在通項，令x的冪指數r=3，可得展開式中含x3項的系數為 ，從而求得m的值． （2）本題即求（1+2x）5（1﹣x）6展開式中含x2項的系數，利用通項公式展開化簡可得展開式中含x2項的系數． 【理重慶一中高二期末xx】5、的展開式中常數項為（ ） A、-40 B、-10 C、10 D、40 【知識點】二項式系數的性質． 【答案解析】D解析 ：解：展開式的通項公式為：令，解得k=2， 即常數項為 故選：D． 【思路點撥】求出二項展開式的通項公式，即可求出常數項． 【理江蘇揚州中學高二期末xx】17．（本小題滿分14分） 已知的展開式的二項式系數之和為，且展開式中含項的系數為． ⑴求的值； ⑵求展開式中含項的系數． 【知識點】二項式系數的性質；二項式定理的應用． 【答案解析】⑴⑵ -5 解析 ：解：⑴由題意，， 則； ……3分 由通項，則，所以，所以；…7分 ⑵即求展開式中含項的系數， ， ……11分 所以展開式中含項的系數為． ……14分 【思路點撥】（1）根據2n=32求得n的值．在通項，令x的冪指數r=3，可得展開式中含x3項的系數為 ，從而求得m的值． （2）本題即求（1+2x）5（1﹣x）6展開式中含x2項的系數，利用通項公式展開化簡可得展開式中含x2項的系數． 【理吉林長春十一中高二期末xx】13.對任意實數，有, 則的值為 . 【知識點】二項式定理的應用;二項展開式的通項公式;求展開式中某項的系數;二項式系數的性質． 【答案解析】 解析 ：解：∵， 則， 故答案為：8． 【思路點撥】由于，根據通項公式求得的值. 【理廣東惠州一中高三一調xx】5．在二項式的展開式中，含的項的系數是（ ） 【知識點】二項展開式通項的公式. 【答案解析】A 解析 ：解：由二項式定理可知，展開式的通項為，則得，所以含項的系數為，故選. 【思路點撥】先由二項式定理得通項，再根據未知量次數建立等式得，將值代回通項得系數. 【典型總結】本題主要考查二項展開式通項的公式. 【江蘇鹽城中學高二期末xx】10．（理科學生做）已知展開式中所有項的二項式系數和為32，則其展開式中的常數項為 ▲ ． 【知識點】二項式定理. 【答案解析】解析 ：解：因為展開式中所有項的二項式系數和為： ，解得，由二項式展開式 整理得：，所以，故，則其展開式中的常數項為：. 故答案為：. 【思路點撥】先由所有項的二項式系數和求出，然后欲求展開式中的常數項，則令x的指數可求得結果. 【理江西鷹潭一中高二期末xx】18．（本小題滿分12分）在二項式的展開式中，前三項的系數成等差數列，求展開式中的二項式系數最大的項. 【知識點】二項式系數的性質．菁 【答案解析】. 解析 ：解：∵二項展開式的前三項的系數分別為1，，n（n﹣1）…2分 ∴2?=1+n（n﹣1）， 解得n=8或n=1（不合題意，舍去）…4分 ∴Tr+1=???=?2﹣r?，當4﹣∈Z時，Tr+1為有理項， 又0≤r≤8且k∈Z，∴r=0，4，8符合要求…8分 故有理項有3項，分別是：T1=x4，T5=x，T9=x﹣2，∵n=8， ∴展開式中共9項，中間一項即第5項的系數最大，…12分 【思路點撥】二項展開式的前三項的系數分別為1，，n（n﹣1）成等差數列，可求得n，利用二項展開式的通項公式即可求得展開式中的有理項和二項式系數最大的項． 【理江西鷹潭一中高二期末xx】14．若，則的值為 . 【知識點】二項式定理的運用；賦值法. 【答案解析】-1 解析 ：解：由題意，令x=0時，則， 令x= 時，則 ∴． 【思路點撥】先令x=0,求出,再令x=,得到恒等式,移項即可得到所求的值． M3 15．觀察下列各式：，，，，，可以得出的一般結論是 . 【知識點】歸納推理． 【答案解析】 解析 ：解：1=12， 2+3+4=32， 3+4+5+6+7=52， 4+5+6+7+8+9+10=72， …， 由上述式子可以歸納：左邊每一個式子均有2n﹣1項，且第一項為n，則最后一項為3n﹣2 右邊均為2n﹣1的平方，即 故答案為： 【思路點撥】分析已知中1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，…，各式子左右兩邊的形式，包括項數，每一個式子第一數的值等，歸納分析后，即可得到結論． 【典型總結】歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發(fā)現某些相同性質；（2）從已知的相同性質中推出一個明確表達的一般性命題（猜想）． 【理吉林一中高二期末xx】15. 設常數，若的二項展開式中項的系數為，則 【知識點】二項式系數的性質． 【答案解析】-2 解析 ：解：，故． 【思路點撥】利用二項展開式的通項公式求得二項展開式中的第r+1項，令x的指數為7求得x7的系數，列出方程求解即可． 【理吉林一中高二期末xx】8. 在的二項式展開式中,常數項是 （　?。? A．504 B．84 C． D． 【知識點】二項式定理. 【答案解析】B 解析 ：解： 由的二項式展開式可得： ，若求常數項，即當=0時，即r=6，故常數項是，故選B. 【思路點撥】由二項式定理可知，求展開式中的常數項即求通項中x的指數是0的項即可. 【理吉林一中高二期末xx】6. 在二項式（的展開式中，各項系數之和為M，各項二項式系數之和為N，且M+N=72，則展開式中常數項的值為（ ） A．18 B．12 C．9 D．6 【知識點】二項式系數的性質． 【答案解析】C 解析 ：解：由二項展開式的性質可得M=4n，N=2n ∴M+N=4n+2n=72 ∴n=3 ∵展開式的通項為= 令可得r=1常數項為T2=3C31=9. 故選C． 【思路點撥】由二項展開式的性質可得M=4n，N=2n，由M+N=4n+2n=72 可得n=3，而展開式的通項為=，令可得r，代入可求. 【理吉林一中高二期末xx】2. 已知等式，則的值分別為（　?。? A． B． C． D． 【知識點】二項式的展開式. 【答案解析】D 解析 ：解：根據題意，由于等式，則，的值分別為,故選D． 【思路點撥】把變形為利用二項式定理展開比較系數即可. 【理吉林一中高二期末xx】1. 已知的展開式的二項式系數之和為32，則展開式中含項的系數是（ ） A．5 B．20 C．10 D．40 【知識點】二項式定理. 【答案解析】C 解析 ：解：根據題意，該二項式的展開式的二項式系數之和為32，則有2n=32，可得n=5，則二項式的展開式為Tr+1= x2（5-r）?x-r=x10-3r，令10-3r=1解得r=3，∴展開式中含x項的系數是，=10,故選C． 【思路點撥】先根據展開式的二項式系數之和求出n的值，然后利用二項式的展開式找出x的指數為1時r的值，從而可求出展開式中含x項的系數．