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2019-2020年九年級數(shù)學上冊 第2章 命題與證明 第2章綜合 名師教案 湘教版 【教學目標】 1. 了解命題的概念，知道什么是命題，真命題、假命題、逆命題，能區(qū)分命題的題設和結論，會把一個命題寫成“如果……，那么……”的形式。 2. 了解定義、公理、定理的概念以及公理與定理的區(qū)別，能舉例將所學過的定理、公理進行說明，能較準確地表達學過的定義、定理等。 3. 了解證明的必要性、公理的方法，綜合證明的格式，理解推理中要步步有據，會根據題意畫出圖形，寫出已知、求證，并完成一個簡單命題的證明。 4. 通過舉反例判定一個命題是假命題，能掌握用反證法證明的思想方法。 二. 重點、難點： 1. 教學重點： 理解證明的必要性；了解定義、命題的概念并會判斷真假命題，理解本節(jié)所給出的公理及相關定理。 2. 教學難點： 對證明的邏輯推理過程要熟練掌握，并能較嚴密地寫出證明過程。 3. 思想方法： 經歷探索、猜測、證明的過程，體會證明的必要性，發(fā)展學生初步的演繹推理能力；分析、解決問題時強調轉化的思想、化難為易、轉化的方式有代換轉化，已知與未知的轉化、特殊與一般的轉化等。 三. 主要內容： （一）本章知識結構圖 （二）基本內容 1. 理解推理證明的必要性 2. 定義： 對一個概念的特征本質的描述，稱為它的定義。 3. 命題： （1）定義：判斷一件事情的句子，叫做命題。 （2）結構：每個命題都由條件和結論兩部分組成。 命題一般可以寫作“如果……，那么……”或“若……，則……”的形式。 （3）分類：命題包括真命題和假命題兩類。 4. 公理、定理、證明： 人們在長期實踐中總結出來的公認的真命題，稱為公理。 通過推理論證、判斷其為真命題，稱為定理。 推理的過程叫做證明。 5. 命題與逆命題： 兩個命題中，如果一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論和條件，那么這兩個命題稱為互逆命題。 其中一個命題稱為另一個命題的逆命題。 任何一個命題都有其逆命題，但一個真命題的逆命題不一定是真命題，所以，不是所有的定理都有其逆定理。 6. 證明的一般步驟： （1）弄清題意，能正確畫出圖形。 （2）根據題意和圖形，寫出“已知”和“求證”。 （3）條理清晰地寫出證明過程。 （4）檢查表達過程是否正確、完善。 【典型例題】 例1. 請寫出下列命題的逆命題，并判斷是真命題還是假命題。 （1）直角都相等。 （2）如果兩個數(shù)中有一個數(shù)是正數(shù)，那么這兩個數(shù)之和是正數(shù)。 （3）對角相等的平行四邊形是矩形。 分析：寫逆命題應先弄清命題的條件和結論。 解：（1）相等的角是直角。（假命題） （2）如果兩個數(shù)之和是正數(shù)，那么兩個數(shù)中有一個數(shù)是正數(shù)。（真命題） （3）矩形是對角相等的平行四邊形。（假命題） 說明：一個命題是真命題，它的逆命題不一定是真命題。 例2. 有一次四人游泳比賽，比賽前，四名選手A、B、C、D進行預測性會談，A說：“我肯定得第一名”，B說：“我絕對不會得最末名”，C說：“我不可能是第一名，也不會得最后一名”，D說：“那只有我是最末的！”。經過比賽成績揭曉，發(fā)現(xiàn)他們之中只有一位預測錯誤，請指出是哪一位選手？ 分析：我們先將四人談話內容列出表格，再來討論。 解：從表中可看出D沒有估計錯誤。 如果D預測錯誤，那么自然另有一個選手預測錯了，否則就不會出現(xiàn)最末名；如果C預測錯誤，則他在這次比賽中應得第一名或第四名，但在此情況下，第一名和第四名已分別由A和D占據；如果B預測錯誤，則他只能是第四名，這里D也成了預測者，但按條件，預測錯誤的只有一人。 因此預測錯誤的只能是A，他應是第二名或第三名。 這樣，名次可能是： （1）第一名：B，第二名：A，第三名：C，第四名：D； （2）第一名：B，第二名：C，第三名：A，第四名：D。 這類題型主要是訓練同學們的邏輯推理能力，讓同學們看到邏輯推理在解決問題的價值，同時體驗到用邏輯思維方法成功的快樂。 例3. 有一矩形鋼板ABNM，現(xiàn)加工成零件形狀，如圖，按規(guī)定∠ADE、∠BCE應分別是45和55，檢驗工人量得∠DEC＝95，就非常肯定地判定這個零件不合格，你能說明這是為什么嗎？ 分析：這也是一道訓練邏輯思維的題目，零件是否合格、取決于角度之間是否相等。 即若∠ADE＋∠BCE＝∠DEC，則零件合格，否則零件不合格。 解：過E作EF∥AD ∴∠ADE＝∠FED 又AM∥BN，∴EF∥BC ∴∠FEC＝∠ECB 現(xiàn)量得∠DEC＝95 ∴這個零件不合格 例4. 如圖，已知AB∥CD，EF交CD于H，交AB于I，EG⊥AB，垂足為G，若∠GHE＝125，求∠FEG的度數(shù)。 分析：略 解：∵AB∥CD，∠CHE＝125（已知） ∴∠AIE＝∠CHE＝120 又EG⊥AB（已知） ∴∠EGI＝90（垂直定義） 又∠AIE是△EIG的一個外角 ∴∠AIE＝∠FEG＋∠EGI 例5. 證明：順次連接對角線互相垂直的四邊形各邊中點得到的四邊形是矩形。 已知：如圖，四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，對角線AC⊥BD。 求證：四邊形EFGH是矩形。 分析：要證四邊形EFGH是矩形，先需證明它是平行四邊形。 由于E、F、G、H分別是各邊中點。 由三角形中位線定理易證EFGH是平行四邊形，再根據AC⊥BD去證明EFGH中有一個角為直角即可。 證明：∵E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點（已知） ∴四邊形EFGH是平行四邊形 又∵AC⊥BD，EF∥AC ∴∠1＝90 又EH∥BD（三角形中位線定理） ∴∠2＋∠1＝180 即∠2＝90 ∴四邊形EFGH是矩形 例6. 先閱讀第（1）問的題目及證明過程，然后完成（2）問的問題。 （1）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＋BC，E為CD中點。 求證：AE⊥BE 證明：過點E作EF∥BC交AB于F ∵E是CD的中點 ∴F是AB的中點 ∴EF是梯形ABCD的中位線 （2）在第（1）題的證明過程中，第_________步（填寫（1）題中證明步驟中的序號），我們用到了定理：“如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形?！? 現(xiàn)在請你證明這個定理（要求寫出已知、求證和證明）。 解：本題（1）中第<4>步的理由是定理“如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。”，證明如下： 求證：△ACB是直角三角形。 分析：略 證明：∵CD是AB邊上的中線 即∠ACB＝90 ∴△ACB是直角三角形 說明：這類閱讀理解題近年來越來越常見，主要考查同學們閱讀理解和自學能力，希望同學們加強這方面的訓練。