《巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)（24頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、鞍山科技大學(xué)電信學(xué)院電子教研室 第五章IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)電子教案 二、巴特沃斯（Butterworth）低通濾波器的設(shè)計(jì) 巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù)定義為 （5-8） 其中C為一常數(shù)參數(shù)，N為濾波器階數(shù)，為歸一化低通截止頻率, 。 式中N為整數(shù)，是濾波器的階次。 N=4 N=10 N=2 1 0.707 圖5-5 巴特沃斯低通濾波器的振幅特性 巴特沃斯低通濾波器在通帶內(nèi)具有最大平坦

2、的振幅特性，這就是說，N階低通濾波器在處幅度平方函數(shù)的前2N-1階導(dǎo)數(shù)等于零，在阻帶內(nèi)的逼近是單調(diào)變化的。巴特沃斯低通濾波器的振幅特性如圖5-5所示。 濾波器的特性完全由其階數(shù)N決定。當(dāng)N增加時(shí)，濾波器的特性曲線變得更陡峭，這時(shí)雖然由（5-8）式?jīng)Q定了在處的幅度函數(shù)總是衰減3dB，但是它們將在通帶的更大范圍內(nèi)接近于1，在阻帶內(nèi)更迅速的接近于零，因而振幅特性更接近于理想的矩形頻率特性。濾波器的振幅特性對參數(shù)N的依賴關(guān)系如圖5-5所示。 設(shè)歸一化巴特沃斯低通濾波器的歸一化頻率為，歸一化傳遞函數(shù)為，其中，則由（5-6）式和（5-8）式得： 由于 1 圖5-6 巴特沃斯低通濾波器指標(biāo)

3、 （5-9） 所以巴特沃斯濾波器屬于全極點(diǎn)濾波器。 1、常用設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器指標(biāo) ：通帶截止頻率； ：通帶衰減，單位：dB； ：阻帶起始頻率； ：阻帶衰減，單位：dB。 說明： （1）衰減在這里以分貝（dB）為單位；即 （2）當(dāng)時(shí)為通常意義上的截止頻率。 （3）在濾波器設(shè)計(jì)中常選用歸一化的頻率，即 2、巴特沃斯低通濾波器設(shè)計(jì)實(shí)質(zhì) 根據(jù)設(shè)計(jì)指標(biāo)要求，，，確定歸一化巴特沃斯低通濾波器幅度平方函數(shù)中的待定系數(shù)C及濾波器的階數(shù)N；然后再根據(jù)幅度平方函數(shù)確定巴特沃斯低通濾波器的傳遞函數(shù)H(s)。 （1

4、）將實(shí)際頻率歸一化得，，再根據(jù)已知的，，幅度平方函數(shù) 確定C和N。 （2） 求C和N 由并帶入 ，，，得 即 因?yàn)?，所? 由兩邊取對數(shù)得： 其中 這樣可以求出C和N。 注意：當(dāng)時(shí)，，即C=1，此時(shí)巴特沃斯濾波器只剩下一個(gè)參數(shù)N。 （3）確定巴特沃斯濾波器的傳遞函數(shù)H(p)。 由于 由，解得極點(diǎn)為： 將p左半平面的極點(diǎn)賦予即 其中 為了便于設(shè)計(jì)，工程上已將當(dāng)時(shí)，各階巴特沃斯低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)設(shè)計(jì)成表格供查閱，該表如表5-1所示。在表5-1中的函數(shù)被稱為歸一化巴特沃斯原型低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)。 表5-1 歸一化巴特沃斯模擬低通濾波器系統(tǒng)函

5、數(shù)表 階次 歸一化系統(tǒng)函數(shù) 1 2 3 4 5 （4）去掉歸一化影響 上面設(shè)計(jì)中采用歸一化的頻率即，而實(shí)際中截止頻率為，所以要進(jìn)行如下的變量代換： 即 綜上，歸納出設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器的方法如下： （1）計(jì)算歸一化頻率，。 （2） 根據(jù)設(shè)計(jì)要求按照和其中計(jì)算巴特沃斯濾波器的參數(shù)C和階次N；注意當(dāng)時(shí) C=1。 （3）利用N查表獲得歸一化巴特沃斯低通原型濾波器的系統(tǒng)函數(shù)； （4）令中的得到截止頻率為的巴特沃斯低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。 例5-2 已知濾波器的3dB截止頻率為50H

6、z，試求一個(gè)二階巴特沃斯低通濾波器的實(shí)現(xiàn)方案。 解： 根據(jù)題義，濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)為：截止頻率；階數(shù)N=2；查表得歸一化低通巴特沃斯原型濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為： rad/s，代入得： 例5-3 試設(shè)計(jì)一個(gè)巴特沃斯低通濾波器，要求截止頻率，通帶最大衰減，阻帶起始頻率，阻帶最小衰減。 解：已知，，， （1）計(jì)算歸一化頻率，。 （2）計(jì)算出巴特沃斯濾波器的階次N及C 則 選擇N=5。 （3）利用N查表獲得歸一化巴特沃斯低通原型濾波器的系統(tǒng)函數(shù)； （4）去掉歸一化影響 三、切比雪夫（Chebyshev）濾波器設(shè)計(jì) 0 N為奇數(shù) (a) 1 0 N為偶數(shù)

7、 (b) 1 圖5-7 切比雪夫I型濾波器的振幅特性 （a）N=3，2dB通帶波紋的切比雪夫振幅特性 （b）N=4，2dB通帶波紋的切比雪夫振幅特性 0 N為奇數(shù) (a) 1 0 N為偶數(shù) (b) 1 圖5-8 切比雪夫II型濾波器的振幅特性 巴特沃斯濾波器的頻率特性曲線，無論在通帶內(nèi)還是阻帶內(nèi)都是頻率的單調(diào)函數(shù)。因此，當(dāng)通帶的邊界處滿足指標(biāo)要求時(shí)，通帶內(nèi)肯定會有裕量。所以，更有效的設(shè)計(jì)方法應(yīng)該是將精確度均勻的分布在整個(gè)通帶或阻帶內(nèi)，或者同時(shí)分布在兩者之內(nèi)。這樣就可用較低階數(shù)的系統(tǒng)滿足要求。這可通過選擇具有等波紋特性的逼近函數(shù)來達(dá)到。 切比雪夫?yàn)V波器的振幅特性就

8、具有這種等波紋特性。它有兩種類型：振幅特性在通帶內(nèi)是等波紋的，在阻帶內(nèi)是單調(diào)的稱為切比雪夫I型濾波器；振幅特性在通帶內(nèi)是單調(diào)的，在阻帶內(nèi)是等波紋的稱為切比雪夫II型濾波器。采用何種形式的切比雪夫?yàn)V波器取決于實(shí)際用途。圖5-7和圖5-8分別畫出了N為奇數(shù)、偶數(shù)時(shí)的切比雪夫I、II型濾波器的頻率特性。 1、切比雪夫I型濾波器的基本特點(diǎn) 現(xiàn)在介紹切比雪夫I型濾波器的設(shè)計(jì)，切比雪夫歸一化濾波器的幅度平方函數(shù)為 （5-11） 為小于1的正數(shù)，表示通帶內(nèi)振幅波動的程度。越大，波動也越大。為對截止頻率的歸一化頻率，為截止頻率，也是濾波器的通帶帶寬（注：切比雪

9、夫?yàn)V波器的通帶帶寬并不一定是3dB帶寬）。是N階切比雪夫多項(xiàng)式，定義為 （5-12） 表5-2 切比雪夫多項(xiàng)式展開式 其中為反余弦函數(shù)；為雙曲余弦函數(shù)；為反雙曲余弦函數(shù)；它們的定義如（5-13）式和（5-14）式所示 N 0 1 x 2 3 4 （5-13） （5-14） （5-12）式可展開為多項(xiàng)式的形式如表5-2所示： 由表5-2可歸納出各階切比雪夫多項(xiàng)式的遞推公式為 （5-15） 圖5-9示出了N=0，4，5時(shí)切比雪夫多項(xiàng)式的特

10、性。由圖5-9可見： 1. 切比雪夫多項(xiàng)式的零值在的間隔內(nèi)。 1 -1 1 x 圖5-9 切比雪夫多項(xiàng)式曲線 2. 當(dāng)x<1時(shí)，，且具有等波紋幅度特性。 3. 在的區(qū)間外，是雙曲余弦函數(shù)，隨著x而單調(diào)增加。 再看函數(shù)，是小于1的實(shí)數(shù)，的值在之內(nèi)，將在0至之間改變。而的函數(shù)值在之內(nèi)，將在1至之間改變。然后將取倒數(shù)，即可得（5-11）式的切比雪夫I型濾波器幅度平方函數(shù)。 根據(jù)以上所述，在，在接近1處振蕩，其最大值為1，最小值為。在此范圍之外，隨著增大，，則很快接近于零。圖5-7畫出了切比雪夫I型濾波器振幅特性曲線，從中可以看出：振幅特性的起伏為1～，因，所以在時(shí)，，即切比雪夫I

11、型濾波器的截止頻率并不對應(yīng)3dB的衰減。 2、切比雪夫I型濾波器設(shè)計(jì)方法 由（5-11）式可知，要確定切比雪夫?yàn)V波器的幅度平方函數(shù)，需要確定三個(gè)參數(shù)：及N。下面研究如何確定這三個(gè)參數(shù)，具體步驟如下： (1) 將實(shí)際頻率歸一化得 ， 再根據(jù)已知的，，幅度平方函數(shù) 確定和N。 (2)確定和N。 定義通帶波紋(即通帶衰減)（以分貝為單位）為： 代入 ，，，得 即 因?yàn)?，，所? 則 其中 這樣可以求出和N，其中。 在已知、、的情況

12、下，就可以根據(jù)幅度平方函數(shù)求出濾波器的零點(diǎn)和極點(diǎn)，從而確定濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。 表5-3 歸一化切比雪夫原型濾波器分母多項(xiàng)式設(shè)計(jì)系數(shù) n 波紋（） 1 2.8627752 2 1.5162026 1.4256245 3 0.7156938 1.5348954 1.2529130 4 0.3790506 1.0254553 1.7168662 1.1973856 5 0.17892340 0.7525181 1.3095747 1.9373675 1.1724909 波紋（）

13、1 1.9652267 2 1.1025103 1.0977343 3 0.4913067 1.2384092 0.9883412 4 0.2756276 0.7426194 1.4539248 0.9528114 5 0.1228267 0.5805342 0.9743961 1.6888160 0.9368201 波紋（） 1 1.3075603 2 0.6367681 0.8038164 3 0.3268901 1.0221903 0.7378216 4

14、 0.2057651 0.5167981 1.2564819 0.7162150 5 0.0817225 0.4593491 0.6934770 1.4995433 0.7064606 為了設(shè)計(jì)方便，工程上已將截止頻率的切比雪夫低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)設(shè)計(jì)為表格供設(shè)計(jì)時(shí)查閱。歸一化原型切比雪夫低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)如（5-18）式所示，設(shè)計(jì)表格如表5-3所示。 （5-18） 再次強(qiáng)調(diào)，表5-3是歸一化的結(jié)果，對于具體的，其系統(tǒng)函數(shù)可由（5-19）式得到。 （5-19） 綜上所述，設(shè)計(jì)切比

15、雪夫低通濾波器的基本步驟如下： （1）計(jì)算歸一化頻率，。 （2）根據(jù)通帶波紋（通帶衰減）db，按照式計(jì)算； （3）根據(jù)阻帶起始頻率，阻帶衰減和。按照其中式計(jì)算濾波器的階數(shù)N； （4）根據(jù)濾波器階數(shù)N，查表得歸一化原型切比雪夫?yàn)V波器系統(tǒng)函數(shù)；根據(jù)的低頻特性求出待定系數(shù)，注：當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，。 （5）去掉歸一化影響 根據(jù)截止頻率，按照式計(jì)算切比雪夫?yàn)V波器的系統(tǒng)函數(shù)； 例5-4 已知通帶波紋為1db，截止頻率，阻帶截止頻率，阻帶衰減大于15db，試設(shè)計(jì)滿足上述性能指標(biāo)的切比雪夫Ⅰ型低通濾波器。 解：已知，，， （1）計(jì)算歸一化頻率，。 （2）計(jì)算。 （3）計(jì)

16、算濾波器的階數(shù)N； 選定 N=3。 （4）根據(jù)濾波器階數(shù)N，查表得歸一化原型切比雪夫?yàn)V波器系統(tǒng)函數(shù)； 因?yàn)楫?dāng)N為奇數(shù)時(shí)， 即 所以 （5）去掉歸一化影響 5.3其它各型濾波器設(shè)計(jì) 一、 模擬高通濾波器設(shè)計(jì) 由于濾波器的幅頻特性都是偶函數(shù)，所以模擬低通濾波器和模擬高通濾波器的幅頻特性如圖5-10（a）和（b）所示。 1 1 圖（a） 模擬低通濾波器的幅頻特性 圖（b） 模擬高通濾波器的幅頻特性 圖5-10 模擬高通濾波器設(shè)計(jì) 其中：和分別是模擬低通濾波器和高通濾波器的歸一化頻率； 表5

17、-4 和間的關(guān)系 觀察圖5-10（a）和（b）可知模擬低通濾波器和高通濾波器的歸一化頻率存在如下關(guān)系如表5-4所示。從而有： 0 （5-20） 通過式5-20可將高通濾波器的歸一化頻率轉(zhuǎn)化為低通濾波器的歸一化頻率，同時(shí)通帶和阻帶衰減和保持不變。 若令高通濾波器和低通濾波器的傳遞函數(shù)分別為和，其中，則 即 由于是偶函數(shù)所以 上式即為將模擬低通濾波器變換為高通濾波器的變換關(guān)系。 在經(jīng)過去歸一化得 （5-21） 這樣即得到模擬高通濾波器

18、的傳遞函數(shù)。 由模擬低通濾波器變換為高通濾波器的方法歸納如下： 1、將頻率歸一化； 2、將高通濾波器的指標(biāo)映射為低通濾波器的指標(biāo)； 3、根據(jù)低通濾波器的指標(biāo)設(shè)計(jì)低通濾波器； 4、根據(jù)求高通濾波器的傳遞函數(shù)。 例5-5 設(shè)計(jì)一高通模擬濾波器，要求，，，，用巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)。 解 1、 先將頻率歸一化，得， 2、 利用作頻率轉(zhuǎn)化將高通濾波器的指標(biāo)映射為低通濾波器的指標(biāo)，得 ， 由已知知 ， 3、 根據(jù)上述低通濾波器的指標(biāo)設(shè)計(jì)低通巴特沃斯濾波器，得 C=1，N=5，查表可得歸一化轉(zhuǎn)移函數(shù)為 4、 根據(jù)求高通濾波器的傳遞函

19、數(shù)，其中帶入上式得 二、帶通濾波器設(shè)計(jì) 模擬帶通濾波器的四個(gè)頻率參數(shù)分別是，，，。其中，分別是通帶下限和上限截止頻率。，分別是阻帶的下限、上限頻率，下面進(jìn)行歸一化處理。 定義通帶帶寬，并以該頻率為參考頻率對軸作歸一化處理，即 ，，， 再定義阻帶中心頻率，歸一化為：。 歸一化頻率的帶通濾波器幅頻特性如圖5-11（b）所示，低通濾波器的幅頻特性如圖5-11（b）所示。 (a) 低通濾波器的幅頻特性 （b）帶通濾波器的幅頻特性 圖5.2.2 帶通濾波器的幅頻特性 表5-5 和間的關(guān)系 表5-5給出了和間的關(guān)系 0 0

20、 由上圖可知： 1、 由于在軸上有即，也就是說在軸上關(guān)于的對稱點(diǎn)為；則在之間的任意一點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)應(yīng)為； 2、在之間的任意一點(diǎn)映射為軸上的對應(yīng)點(diǎn)在之間的，映射為，于是得到和間的對應(yīng)關(guān)系為： 由于，，所以有 參見表(5-22) 從而實(shí)現(xiàn)帶通濾波器與低通濾波器講的頻率變換。我們利用低通濾波器的指標(biāo)，，，，可以設(shè)計(jì)出低通濾波器的傳遞函數(shù)。并設(shè)帶通濾波器的傳遞函數(shù)為，其中，，則 即 去掉歸一化影響得 所以 這樣，

21、所求的帶通濾波器的傳遞函數(shù)就可以求出。注意，N階低通濾波器轉(zhuǎn)換到帶通后，階次變?yōu)?N。 現(xiàn)歸納模擬帶通濾波器設(shè)計(jì)方法如下： 1、將頻率歸一化； 2、將帶通濾波器的指標(biāo)映射為低通濾波器的指標(biāo)； 3、根據(jù)低通濾波器的指標(biāo)設(shè)計(jì)低通濾波器； 4、根據(jù)求帶通濾波器的傳遞函數(shù)。 例5-6 設(shè)計(jì)一切比雪夫帶通濾波器，要求帶寬為200HZ，中心頻率為1000HZ，通帶衰減不大于1dB，在頻率小于830 HZ或大于1200 Hz衰減不小于15 dB。 解 由題意可知，，，，，。 1、將頻率歸一化，有，，，有和，可求出，。 2、利用求低通濾波器的指標(biāo)，參見圖7.2.2的對應(yīng)關(guān)系，得

22、 ， ， 注意： （1）可以直接給出不需要計(jì)算，這是由變換方法本社決定的。 （2）在一般情況下，和會稍有些不同，我們可以取的絕對值較小者，即，至此我們得到了設(shè)計(jì)低通濾波器的全部指標(biāo)，即，，，。 3、根據(jù)上述指標(biāo)設(shè)計(jì)切比雪夫低通濾波器，得 注意： 取。根據(jù)N及查表得歸一化切比雪夫低通濾波器為 因?yàn)楫?dāng)N為奇數(shù)時(shí)即 所以 即 4、求帶通傳遞函數(shù) 5.3 從模擬濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的方法 從模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器

23、就是要由模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)進(jìn)一步求得。歸根結(jié)底是一個(gè)由s平面到z平面的變換。這個(gè)變換應(yīng)遵循兩個(gè)基本的目標(biāo)。 (1) H(z)的頻響必須要模仿的頻響，也即s平面的虛軸jΩ應(yīng)該映射到z平面的單位圓上。 (2) 的因果穩(wěn)定性，通過映射后仍應(yīng)在所得到的H(z)中保持，也即s平面的左半平面應(yīng)該映射到z平面單位圓以內(nèi)。 從模擬濾波器映射(變換)成數(shù)字濾波器有四種方法：(1)微分-差分變換法；(2)脈沖響應(yīng)不變變換法；(3)雙線性變換法；(4)匹配z變換法。由于(1)，(4)兩種方法都有一定的局限性，工程上常用的是脈沖響應(yīng)不變變換法和雙線性變換法兩種。 圖5-10 脈沖響應(yīng)

24、不變法示意圖 一、脈沖響應(yīng)不變變換法 1. 變換原理 脈沖響應(yīng)不變變換法又稱為標(biāo)準(zhǔn)z變換法。它是保證從模擬濾波器變換所得的數(shù)字濾波器的單位取樣響應(yīng)h(n)是相應(yīng)的模擬濾波器的單位脈沖響應(yīng)的等間隔取樣值，即 (5-20) 如圖5-10所示，這T為取樣周期。 的拉氏變換為 h(nT)的z變換即為數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。 z變換和拉氏變換之間的關(guān)系可知 （5-21） 即時(shí)域的取樣，使連續(xù)時(shí)間信號的拉氏變換在s平面上沿虛軸周期延拓，然后再經(jīng)過的映射關(guān)系，將映射到z平面上，即得H(z)。 第二章討論的映射關(guān)

25、系表明:s平面上每一寬為的條帶，都將重疊地映射到整個(gè)z平面上。而每一條帶的左半部分映射在z平面單位圓以內(nèi)，條帶的右半部分映射到單位圓外。s平面的虛軸映射到單位圓上，但是軸上的每一段的虛軸，都對應(yīng)于繞單位圓一周。所以按照脈沖響應(yīng)不變變換法，從s平面到z平面的映射不是單值關(guān)系，千萬不可錯(cuò)誤地認(rèn)為經(jīng)過的簡單代數(shù)變換即可由得到 H(z)。這里除了這一變換之外，還同時(shí)含有將以為周期對作周期圖5-11 脈沖響應(yīng)不變法s平面與z平面關(guān)系 延拓的過程。脈沖響應(yīng)不變變換法s平面與z平面的映射關(guān)系如圖5-11所示。 由(5-21)式可得數(shù)字濾波器與模擬濾波器頻率響應(yīng)之間關(guān)系為 即數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是模

26、擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓。如果模擬濾波器的頻響是限帶于折疊頻率之內(nèi)的，即 圖5-12 脈沖響應(yīng)不變法中的頻率混疊現(xiàn)象 這時(shí)才使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以內(nèi)，重現(xiàn)模擬濾波器的頻率響應(yīng)而不產(chǎn)生混疊失真。 但是任何實(shí)際的模擬濾波器，都不是帶寬絕對有限的，因此，通過脈沖響應(yīng)不變變換法所得的數(shù)字濾波器就不可避免地要出現(xiàn)頻譜的混疊失真，如圖5-12所示。只有當(dāng)模擬濾波器頻響在折疊頻率以上衰減很大，混疊失真很小時(shí)，采用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器才能滿足精度的要求。 應(yīng)該注意，在設(shè)計(jì)中，當(dāng)濾波器的指標(biāo)用數(shù)字域頻率給定時(shí)，不能用減小T的辦法解決混疊問題。如設(shè)計(jì)一截止頻率為的低通濾

27、波器，則要求相應(yīng)模擬濾波器的截止頻率為，T減小時(shí)，只有讓同倍數(shù)的增大，才能保證給定的不變。T減小使帶域加寬了，但也同倍數(shù)加寬，所以如果在帶域外有非零的值，即，則不論如何減小T，由于與T成同樣倍數(shù)變化，總還是，不能解決混疊問題； 2. 模擬濾波器的數(shù)字化 在脈沖響應(yīng)不變變換法設(shè)計(jì)中，由一個(gè)較為復(fù)雜的模擬系統(tǒng)函數(shù)(或脈沖響應(yīng))求出數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)(或單位取樣響應(yīng))是一個(gè)很麻煩的變換過程。因?yàn)槌朔e的z變換并不等于各部分變換的乘積，所以在這里不宜采用級聯(lián)分解。但各項(xiàng)和的z變換是線性關(guān)系，因而用部分分式表達(dá)系統(tǒng)函數(shù)，特別適合于對復(fù)雜模擬系統(tǒng)函數(shù)的變換?，F(xiàn)實(shí)的系統(tǒng)通常是分母的階數(shù)N高于分子的階數(shù)M，

28、這時(shí)系統(tǒng)若只有單極點(diǎn)(若不是單極點(diǎn)情況，則求逆拉氏變換要復(fù)雜一些)，則可將模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)表達(dá)為如下的部分分式形式 (5-22) 相應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)是 式中是單位階躍響應(yīng)。根據(jù)脈沖響應(yīng)不變變換法的意義，數(shù)字濾波器的單位取樣響應(yīng)是 數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)則為 (5-23) 將上式與(5-22)式相比可見，由至間的變換關(guān)系為 （5-24） (5-24)式說明： (1)與H(z)的各部分分式的系數(shù)是相同的均為； (2

29、)極點(diǎn)是以的關(guān)系進(jìn)行映射的。的極點(diǎn)變成了H(z)的的極點(diǎn)； (3)與H(z)間的零點(diǎn)沒有一一對應(yīng)的關(guān)系，一般說來，它是由極點(diǎn)和各系數(shù)決定的一個(gè)函數(shù)關(guān)系。 3. 脈沖響應(yīng)不變法的修正 由（5-21）時(shí)可知：時(shí)域取樣后的頻譜幅值是原來信號頻譜特性幅值的1/T倍，頻率將以為周期進(jìn)行延拓。由于取樣時(shí)間一般很小，會造成1/T較大，即取樣后的信號頻譜幅值過大，為了修正這一問題，雷道和戈?duì)柕绿岢鲈谶M(jìn)行時(shí)域取樣時(shí)取，這樣(5-23)式修正為 （5-24） 根據(jù)以上分析可知，脈沖響應(yīng)不變變換法的設(shè)計(jì)步驟可以不必再經(jīng)歷的過

30、程，而是直接將寫成許多單極點(diǎn)的部分分式之和的形式，然后將各個(gè)部分分式用(5-24)式的關(guān)系進(jìn)行替代，即可得所需的數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)。 脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)步驟 1、按照給定的數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)，利用模擬濾波器設(shè)計(jì)技術(shù)設(shè)計(jì)原型模擬濾波器，得。（如果是非低通濾波器則需進(jìn)行變換） 2、把分解成部分分式求和形式，其中：是系統(tǒng)極點(diǎn)。（求出極點(diǎn)和系數(shù) ） 3、用變換式：對進(jìn)行變換，得數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)。 例5-7 已知模擬濾波器的系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 試使用脈沖響應(yīng)不變法將上述傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)字濾波器的傳遞函數(shù)。 解； 1、將化成部分因式和的形式： 2、系統(tǒng)的極點(diǎn)為： ，

31、 3、根據(jù)（5-24）式可知脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 例5-8已知數(shù)字系統(tǒng)采樣頻率為500Hz。要求所設(shè)計(jì)的低通數(shù)字濾波器的3dB截止頻率為50Hz。試采用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)一個(gè)二階數(shù)字巴特沃斯低通濾波器。 解： 1、 根據(jù)題義，數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)為：截止頻率50Hz；階數(shù)N=2；采樣頻率500Hz。選擇濾波器逼近函數(shù)為Butterworth二階函數(shù)； 查表得： ，代入得： 2、求系統(tǒng)的極點(diǎn)：，將 部分分式展開得： 3、，得和代入變換式，進(jìn)行變換得： 4、整理成標(biāo)準(zhǔn)形式得： 4. 脈沖

32、響應(yīng)不變法的優(yōu)缺點(diǎn) 脈沖響應(yīng)不變法的一個(gè)重要特點(diǎn)是頻率坐標(biāo)的變化是線性的，即。因此，如果模擬濾波器的頻響是限帶于折疊頻率以內(nèi)的話，則通過變化后所得的數(shù)字濾波器的頻響可以不失真的反映原頻率響應(yīng)的關(guān)系 脈沖響應(yīng)不變法最大缺點(diǎn)是有頻譜周期延拓效應(yīng)，因此只能用于限帶的頻響特性，如衰減特性較好的低通或帶通濾波器的設(shè)計(jì)。對于高通、帶通濾波器，由于它們在高頻部分不衰減，當(dāng)一定要追求頻率響應(yīng)線性而采用脈沖響應(yīng)不變法時(shí)，必須先對模擬高通、帶阻濾波器加一保護(hù)濾波器，濾掉高于折疊頻率以上的頻率，然后再轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)字濾波器以避免混疊失真。 二、雙線性變換法 1. 變換原理 雙線性變換法是使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)與

33、模擬濾波器的頻率響應(yīng)相似的一種變換方法。為了克服脈沖響應(yīng)不變法的多值映射這一缺點(diǎn)，我們首先把整個(gè)s平面壓縮變換到某一中介的平面的一橫帶里（寬度為，即從到），然后再通過上面討論過的標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系將此橫帶變換到整個(gè)z平面上去，這樣就使s平面與z平面是一一對應(yīng)的關(guān)系，消除了多值變換性，也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象，基本原理如圖5-13所示。 將s平面整個(gè)平面壓縮到平面的到，可采用以下的變換關(guān)系 （5-25） 圖5-13 雙線性變換法的映射關(guān)系 其中C為常數(shù)；這樣經(jīng)（5-25）式變?yōu)?，變?yōu)?，可將上式寫? 令，則可得

34、 （5-26） 再將平面通過以下標(biāo)準(zhǔn)變化關(guān)系映射到z平面 （5-27） 這樣（5-26）式可表示為 （5-28） （5-29） 2. 變換常數(shù)C的選擇 為了使模擬濾波器與數(shù)字濾波器在低頻處有較確切的對應(yīng)關(guān)系，即在低頻處有，當(dāng)較小時(shí)有 由（5-25）式可知 因而得 （5-30） 則（5-28）和（5-29）式可重新寫成：

35、 （5-31） 即 （5-32） 3. 逼近情況 雙線性變換具備模擬域到數(shù)字域映射變換的總要求，現(xiàn)分析如下： （1）將代入到(5-32)式則得 或 （5-34） 由上式可見，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。這就是說雙線性變換把s左半平面映射在單位圓的內(nèi)部；把s平面的整個(gè)軸映射成單位圓，把s右半平面映射在單位圓的外部。 (2)令，，則由(5-32)式得 圖5-14 雙

36、線性變換的頻率間非線性關(guān)系 所以 由此得出模擬濾波器的頻率和數(shù)字濾波器頻率的關(guān)系式為 (5-35) 這一公式的關(guān)系如圖5-14所示。可以看出，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，。這就是說：s平面的原點(diǎn)映射為z平面(1，0)點(diǎn)，而s平面的正虛軸和負(fù)虛軸分別映射成z平面單位圓的上半圓和下半圓。 由上所述，可得如下結(jié)論： a．模擬濾波器中最大和最小值將保留在數(shù)字濾波器中，因此模擬濾波器的通帶或阻帶變換成數(shù)字濾波器的通帶或阻帶。 b．如果模擬濾波器是穩(wěn)定的，則通過雙線性變換后所得的數(shù)字濾波器也一定是穩(wěn)定的。

37、 c．由于s平面的整個(gè)虛軸映射為z平面上的單位圓，因此雙線性變換法確實(shí)消除了脈沖響應(yīng)不變變換法所存在的混疊誤差，所以逼近是良好的。但由(5-35)式可見，在頻率與間存在嚴(yán)重的非線性。 4. 模擬濾波器的數(shù)字化 由于雙線性變換法中，s與z之間有簡單的代數(shù)關(guān)系，故可由模擬系統(tǒng)函數(shù)通過代數(shù)置換直接得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。即 (5-36) 可見數(shù)字濾波器的極點(diǎn)數(shù)等于模擬濾波器的極點(diǎn)數(shù)。 頻率響應(yīng)也可用直接置換得到 (5-37) 這一公式可用于將濾波器的數(shù)字域指標(biāo)，轉(zhuǎn)換為模擬域指標(biāo)。 再者

38、，可在未進(jìn)行雙線性變換前把原模擬系統(tǒng)函數(shù)分解成并聯(lián)或級聯(lián)子系統(tǒng)函數(shù)，然后再對每個(gè)子系統(tǒng)函數(shù)分別加以雙線性變換。就是說，所有的分解，都可以就模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)來進(jìn)行，因?yàn)槟M濾波器已有大量圖表可供利用，且分解模擬系統(tǒng)函數(shù)比較容易。 5. 優(yōu)缺點(diǎn) 圖5-15 理想微分器經(jīng)雙線性變換后的幅頻響應(yīng)產(chǎn)生畸變 雙線性變換法的主要優(yōu)點(diǎn)是消除了脈沖響應(yīng)不變變換法所固有的混疊誤差。這是由于s平面的整個(gè)軸單值地對應(yīng)于z平面單位圓一周的緣故。數(shù)字域頻率與模擬域頻率關(guān)系已在(5-35)式中示出，并已畫于圖5-14上。由圖可見，在零頻附近，模擬頻率與數(shù)字頻率的關(guān)系接近于線性。T值愈小，即取樣頻率愈

39、高，則成線性關(guān)系的頻率范圍愈大。當(dāng)進(jìn)一步增大時(shí)，增長變慢，二者不再是線性關(guān)系了。最后當(dāng)時(shí)，終止在折疊頻率處，從而雙線性變換不會出現(xiàn)由于高頻部分超過折疊頻率而混疊到低頻部分去的現(xiàn)象。這意味著，模擬濾波器全部頻率響應(yīng)特性被壓縮于等效的數(shù)字頻率范圍之內(nèi)。由圖5-14還可以看出，雙線性變換消除混疊的這個(gè)特點(diǎn)是靠頻率的嚴(yán)重非線性而得到的。 雙線性變換法的缺點(diǎn)是頻率與間的非線性。這種非線性關(guān)系要求被變換的連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的幅度響應(yīng)必須是分段常數(shù)型的(某一段頻率范圍幅度響應(yīng)近似于某一常數(shù))，不然所映射出的數(shù)字頻率響應(yīng)相對于原來的模擬頻率響應(yīng)會產(chǎn)生變形。例如，雙線性變換不能將模擬微分器變換成數(shù)字微分器如圖5-1

40、5所示，但是對于低通、高通、帶通、帶阻模擬濾波器，頻率響應(yīng)都是分段常數(shù)型的，可采用雙線性變換，只要截止頻率點(diǎn)映射正確，即可消除變換中所帶來的頻率間的非線性畸變。實(shí)際解決雙線性變換中的頻率非線性關(guān)系的方法有兩種。 （1）在低頻段，模擬與數(shù)字兩濾波器的頻率關(guān)系處于近似的線性范圍之內(nèi)，故可忽略非線性影響。 （2）采用補(bǔ)償?shù)霓k法，也可稱為預(yù)畸的方法 預(yù)畸設(shè)計(jì)法如圖5-16所示。設(shè)所希望的數(shù)字濾波器的四個(gè)截止頻率為、、、。利用(5-35)式的頻率變換關(guān)系，求出對應(yīng)的四個(gè)模擬截止頻率為，，，，而模擬濾波器就按此畸變了的截止頻率組進(jìn)行設(shè)計(jì)。對這個(gè)模擬濾波器作雙線性變換，便可得到具有要求的截止頻

41、率、、、的數(shù)字濾波器。 預(yù)畸變特征 圖5-16 雙線性變換時(shí)頻率的預(yù)畸變 模擬與數(shù)字兩域頻率間的非線性關(guān)系還會造成變換后濾波器的相位特性失真。對線性相位特性的模擬濾波器進(jìn)行雙線性變換后所得的數(shù)字濾波器就不再保持線性相位特性了。 例5-9 已知某模擬濾波器的系統(tǒng)傳遞函數(shù)為，使用雙線性變換法將上述傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)，采樣周期T=0.5s 。 解： 例5-10 用雙線性變換法設(shè)計(jì)一個(gè)二階巴特沃斯數(shù)字低通濾波器，采樣頻率為fs=1.2kHz，截止頻率為fC=400Hz。 解： 1. 求數(shù)字頻率 2. 預(yù)畸變 3. 查表得歸一化巴特沃斯低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為： 令得 4. 雙變換后為：