2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座 第二十二講 園冪定理.doc
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2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座 第二十二講 園冪定理 相交弦定理、切割線(xiàn)定理、割線(xiàn)定理統(tǒng)稱(chēng)為圓冪定理.圓冪定理實(shí)質(zhì)上是反映兩條相交直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的性質(zhì)定理,其本質(zhì)是與比例線(xiàn)段有關(guān). 相交弦定理、切割線(xiàn)定理、割線(xiàn)定理有著密切的聯(lián)系,主要體現(xiàn)在: 1.用運(yùn)動(dòng)的觀(guān)點(diǎn)看,切割線(xiàn)定理、割線(xiàn)定理是相交弦定理另一種情形,即移動(dòng)圓內(nèi)兩條相交弦使其交點(diǎn)在圓外的情況; 2.從定理的證明方法看,都是由一對(duì)相似三角形得到的等積式. 熟悉以下基本圖形、基本結(jié)論: 【例題求解】 【例1】 如圖,PT切⊙O于點(diǎn)T,PA交⊙O于A(yíng)、B兩點(diǎn),且與直徑CT交于點(diǎn)D,CD=2,AD=3,BD=6,則PB= . 思路點(diǎn)撥 綜合運(yùn)用圓冪定理、勾股定理求PB長(zhǎng). 注:比例線(xiàn)段是幾何之中一個(gè)重要問(wèn)題,比例線(xiàn)段的學(xué)習(xí)是一個(gè)由一般到特殊、不斷深化的過(guò)程,大致經(jīng)歷了四個(gè)階段: (1)平行線(xiàn)分線(xiàn)段對(duì)應(yīng)成比例; (2)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例; (3)直角三角形中的比例線(xiàn)段可以用積的形式簡(jiǎn)捷地表示出來(lái); (4)圓中的比例線(xiàn)段通過(guò)圓冪定理明快地反映出來(lái). 【例2】 如圖,在平行四邊形ABCD中,過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓交AD于點(diǎn)E,且與CD相切,若AB=4,BE=5,則DE的長(zhǎng)為( ) A.3 B.4 C. D. 思路點(diǎn)撥 連AC,CE,由條件可得許多等線(xiàn)段,為切割線(xiàn)定理的運(yùn)用創(chuàng)設(shè)條件. 注:圓中線(xiàn)段的算,常常需要綜合相似三角形、直角三角形、圓冪定理等知識(shí),通過(guò)代數(shù)化獲解,加強(qiáng)對(duì)圖形的分解,注重信息的重組與整合是解圓中線(xiàn)段計(jì)算問(wèn)題的關(guān)鍵. 【例3】 如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,AB是∠O的直徑,PA是過(guò)A點(diǎn)的直線(xiàn),∠PAC=∠B. (1)求證:PA是⊙O的切線(xiàn); (2)如果弦CD交AB于E,CD的延長(zhǎng)線(xiàn)交PA于F,AC=8,CE:ED=6:5,,AE:BE=2:3,求AB的長(zhǎng)和∠ECB的正切值. 思路點(diǎn)撥 直徑、切線(xiàn)對(duì)應(yīng)著與圓相關(guān)的豐富知識(shí).(1)問(wèn)的證明為切割線(xiàn)定理的運(yùn)用創(chuàng)造了條件;引入?yún)?shù)x、k處理(2)問(wèn)中的比例式,把相應(yīng)線(xiàn)段用是的代數(shù)式表示,并尋找x與k的關(guān)系,建立x或k的方程. 【例4】 如圖,P是平行四邊形AB的邊AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn),DP與AC、BC分別交于點(diǎn)E、E,EG是過(guò)B、F、P三點(diǎn)圓的切線(xiàn),G為切點(diǎn),求證:EG=DE 思路點(diǎn)撥 由切割線(xiàn)定理得EG2=EFEP,要證明EG=DE,只需證明DE2=EFEP,這樣通過(guò)圓冪定理把線(xiàn)段相等問(wèn)題的證明轉(zhuǎn)化為線(xiàn)段等積式的證明. 注:圓中的許多問(wèn)題,若圖形中有適用圓冪定理的條件,則能化解問(wèn)題的難度,而圓中線(xiàn)段等積式是轉(zhuǎn)化問(wèn)題的橋梁. 需要注意的是,圓冪定理的運(yùn)用不僅局限于計(jì)算及比例線(xiàn)段的證明,可拓展到平面幾何各種類(lèi)型的問(wèn)題中. 【例5】 如圖,以正方形ABCD的AB邊為直徑,在正方形內(nèi)部作半圓,圓心為O,DF切半圓于點(diǎn)E,交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F,BF=4. 求:(1)cos∠F的值;(2)BE的長(zhǎng). 思路點(diǎn)撥 解決本例的基礎(chǔ)是:熟悉圓中常用輔助線(xiàn)的添法(連OE,AE);熟悉圓中重要性質(zhì)定理及角與線(xiàn)段的轉(zhuǎn)化方法.對(duì)于(1),先求出EF,F(xiàn)O值;對(duì)于(2),從△BE F∽△EAF,Rt△AEB入手. 注:當(dāng)直線(xiàn)形與圓結(jié)合時(shí)就產(chǎn)生錯(cuò)綜復(fù)雜的圖形,善于分析圖形是解與圓相關(guān)綜合題的關(guān)鍵,分析圖形可從以下方面入手: (1)多視點(diǎn)觀(guān)察圖形.如本例從D點(diǎn)看可用切線(xiàn)長(zhǎng)定理,從F點(diǎn)看可用切割線(xiàn)定理. (2)多元素分析圖形.圖中有沒(méi)有特殊點(diǎn)、特殊線(xiàn)、特殊三角形、特殊四邊形、全等三角形、相似三角形. (3)將以上分析組合,尋找聯(lián)系. 學(xué)力訓(xùn)練 1.如圖,PT是⊙O的切線(xiàn),T為切點(diǎn),PB是⊙O的割線(xiàn),交⊙O于A(yíng)、B兩點(diǎn),交弦CD于點(diǎn)M,已知CM=10,MD=2,PA=MB=4,則PT的長(zhǎng)為 . 2.如圖,PAB、PCD為⊙O的兩條割線(xiàn),若PA=5,AB=7,CD=11,則AC:BD= . 3.如圖,AB是⊙O的直徑,C是AB延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn),CD是⊙O的切線(xiàn),D為切點(diǎn),過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線(xiàn)交CD于點(diǎn)F,若AB=CD=2,則CE= . 4.如圖,在△ABC中,∠C=90,AB=10,AC=6,以AC為直徑作圓與斜邊交于點(diǎn)P,則BP的長(zhǎng)為( ) A.6.4 B.3.2 C .3.6 D.8 5.如圖,⊙O的弦AB平分半徑OC,交OC于P點(diǎn),已知PA、PB的長(zhǎng)分別為方程的兩根,則此圓的直徑為( ) A. B. C. D. ⌒ ⌒ ⌒ 6.如圖,⊙O的直徑Ab垂直于弦CD,垂足為H,點(diǎn)P是AC上一點(diǎn)(點(diǎn)P不與A、C兩點(diǎn)重合),連結(jié)PC、PD、PA、AD,點(diǎn)E在A(yíng)P的延長(zhǎng)線(xiàn)上,PD與AB交于點(diǎn)F,給出下列四個(gè)結(jié)論:①CH2=AHBH;②A(yíng)D=AC:③AD2=DFDP;④∠EPC=∠APD,其中正確的個(gè)數(shù)是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 7.如圖,BC是半圓的直徑,O為圓心,P是BC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn),PA切半圓于點(diǎn)A,AD⊥BC于點(diǎn)D. (1)若∠B=30,問(wèn)AB與AP是否相等?請(qǐng)說(shuō)明理由; (2)求證:PDPO=PCPB; (3)若BD:DC=4:l,且BC=10,求PC的長(zhǎng). 8.如圖,已知PA切⊙O于點(diǎn)A,割線(xiàn)PBC交⊙O于點(diǎn)B、C,PD⊥AB于點(diǎn)D,PD、AO的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)E,連CE并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)F,連AF. (1)求證:△PBD∽△PEC; (2)若AB=12,tan∠EAF=,求⊙O的半徑的長(zhǎng). 9.如圖,已知AB是⊙O的直徑,PB切⊙O于點(diǎn)B,PA交⊙O于點(diǎn)C,PF分別交AB、BC于E、D,交⊙O于F、G,且BE、BD恰哈好是關(guān)于x的方程 (其中為實(shí)數(shù))的兩根. (1)求證:BE=BD;(2)若GEEF=,求∠A的度數(shù). 10.如圖,△ABC中,∠C=90,O為AB上一點(diǎn),以O(shè)為圓心,OB為半徑的圓與AB相交于點(diǎn)E,與AC相切于點(diǎn)D,已知AD=2,AE=1,那么BC= . 11.如圖,已知A、B、C、D在同一個(gè)圓上,BC=CD,AC與BD交于E,若AC=8,CD=4,且線(xiàn)段BE、ED為正整數(shù),則BD= . 12.如圖,P是半圓O的直徑BC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn),PA切半圓于點(diǎn)A,AH⊥BC于H,若PA=1,PB+PC=(>2),則PH=( ) A. B. C. D. 13.如圖,△ABC是⊙O的內(nèi)接正三角形,弦EF經(jīng)過(guò)BC的中點(diǎn)D,且EF∥AB,若AB=2,則DE的長(zhǎng)為( ) A. B. C. D.1 14.如圖,已知AB為⊙O的直徑,C為⊙O上一點(diǎn),延長(zhǎng)BC至D,使CD=BC,CE⊥AD于E,B E交⊙O于F,AF交CE于P,求證:PE=PC. 15.已知:如圖,ABCD為正方形,以D點(diǎn)為圓心,AD為半徑的圓弧與以BC為直徑的⊙O相交于P、C兩點(diǎn),連結(jié)AC、AP、CP,并延長(zhǎng)CP、AP分別交AB、BC、⊙O于E、H、F三點(diǎn),連結(jié)OF. (1)求證:△AEP∽△CEA;(2)判斷線(xiàn)段AB與OF的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論; (3)求BH:HC 16.如圖,PA、PB是⊙O的兩條切線(xiàn),PEC是一條割線(xiàn),D是AB與PC的交點(diǎn),若PE=2,CD=1,求DE的長(zhǎng). 17.如圖,⊙O的直徑的長(zhǎng)是關(guān)于x的二次方程(是整數(shù))的最大整數(shù)根,P是⊙O外一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作⊙O 的切線(xiàn)PA和割線(xiàn)PBC,其中A為切點(diǎn),點(diǎn)B、C是直線(xiàn)PBC與⊙O的交點(diǎn),若PA、PB、PC的長(zhǎng)都是正整數(shù),且PB的長(zhǎng)不是合數(shù),求PA+PB+PC 的值. 參考答案- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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