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第6章IIR數(shù)字濾波器的原理及設(shè)計(jì)6.1概述6.1.1IIR數(shù)字濾波器的差分方程和系統(tǒng)函數(shù)我們已經(jīng)知道IIR數(shù)字濾波器是一類遞歸型的線性時(shí)不變因果系統(tǒng)，其差分方程可以寫為：（6.1）,,進(jìn)行z變換，可得：于是得到IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：(6.2),,,6.1.2IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法對(duì)(6.2)式的有理函數(shù)的分子、分母多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，可以得到：(6.3)其中ci為零點(diǎn)而di為極點(diǎn)。H(z)的設(shè)計(jì)就是要確定系數(shù)、或者零極點(diǎn)、，以使濾波器滿足給定的性能指標(biāo)。一般有三種方法。,,,,,,1.零極點(diǎn)位置累試法IIR系統(tǒng)函數(shù)在單位圓內(nèi)的極點(diǎn)處出現(xiàn)峰值、在零點(diǎn)處出現(xiàn)谷值,因此可以根據(jù)此特點(diǎn)來設(shè)置H(z)的零極點(diǎn)以達(dá)到簡(jiǎn)單的性能要求。所謂累試，就是當(dāng)特性尚未達(dá)到要求時(shí)，通過多次改變零極點(diǎn)的位置來達(dá)到要求。當(dāng)然這種方法只適用于簡(jiǎn)單的、對(duì)性能要求不高的濾波器的設(shè)計(jì)。,2.借助于模擬濾波器的理論和設(shè)計(jì)方法來設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器模擬濾波器的逼近和綜合理論已經(jīng)發(fā)展得相當(dāng)成熟，產(chǎn)生了許多效率很高的設(shè)計(jì)方法，很多常用濾波器不僅有簡(jiǎn)單而嚴(yán)格的設(shè)計(jì)公式，而且設(shè)計(jì)參數(shù)已圖表化，設(shè)計(jì)起來方便準(zhǔn)確。,,,,,,,,,,,,而數(shù)字濾波器就其濾波功能而言與模擬濾波器是相同的,因此，完全可以借助于模擬濾波器的理論和設(shè)計(jì)方法來設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器。在IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)中，較多地采用了這種方法。,,,,,3.用優(yōu)化技術(shù)設(shè)計(jì)系統(tǒng)函數(shù)H(z)的系數(shù)、或者零極點(diǎn)、等參數(shù)，可以采用最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法來確定。最優(yōu)化設(shè)計(jì)法的第一步是要選擇一種誤差判別準(zhǔn)則，用來計(jì)算誤差和誤差梯度等。,第二步是最優(yōu)化過程，這個(gè)過程的開始是賦予所設(shè)計(jì)的參數(shù)一組初值，以后就是一次次地改變這組參數(shù)，并一次次計(jì)算H(z)的特性與所要求的濾波器的特性之間的誤差，當(dāng)此誤差達(dá)到最小值時(shí)，所得到的這組參數(shù)即為最優(yōu)參數(shù)，設(shè)計(jì)過程也就到此完成。,,,,,,,,,,,,,這種方法能夠精確地設(shè)計(jì)許多復(fù)雜的濾波器，但是往往計(jì)算很復(fù)雜，需要進(jìn)行大量的迭代運(yùn)算，故必須借助于計(jì)算機(jī)，因而優(yōu)化設(shè)計(jì)又叫做IIR濾波器的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)(CAD)。第一種方法的算法簡(jiǎn)單、設(shè)計(jì)粗糙，在這里不具體討論了；第三種方法所涉及的內(nèi)容很多，并且需要最優(yōu)化理論作為基礎(chǔ)，因此在本章中只能作簡(jiǎn)要介紹；本章將著重討論用得最多的第二種方法。,,,,,,6.1.3借助于模擬濾波器的理論和方法的設(shè)計(jì)原理利用模擬濾波器來設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，要先根據(jù)濾波器的性能指標(biāo)設(shè)計(jì)出相應(yīng)的模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)，然后由Ha(s)經(jīng)變換而得到所需要的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。常用的變換方法有沖激響應(yīng)不變法和雙線性變換法。,,,,6.2模擬低通濾波特性的逼近模擬濾波器的設(shè)計(jì)包括逼近和綜合兩大部分，其中逼近部分是與數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)有關(guān)的。本節(jié)要討論的是，在已知模擬低通濾波器技術(shù)指標(biāo)的情況下，如何設(shè)計(jì)其系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)，使其逼近所要求的技術(shù)指標(biāo)。,,,,,,模擬系統(tǒng)的頻率響應(yīng)Ha(jΩ)是沖激響應(yīng)ha(t)的傅里葉變換，Ha(jΩ)的模表征系統(tǒng)的幅頻特性，下面要討論如何根據(jù)幅頻特性指標(biāo)來設(shè)計(jì)系統(tǒng)函數(shù)。圖6.1中用虛線畫出的矩形表示一個(gè)理想的模擬低通濾波器的指標(biāo)，是以平方幅度特性|Ha(jΩ)|2來給出的。,,Ωc是截止頻率，當(dāng)0≤ΩΩc時(shí)，|Ha(jΩ)|2=0，是阻帶。圖6.1中的實(shí)的曲線表示一個(gè)實(shí)際的模擬低通濾波器的平方幅度特性，我們的設(shè)計(jì)工作就是要用近似特性來盡可能地逼近理想特性。通常采用的典型逼近有Butterworth逼近、Chebyshev逼近和Cauer逼近（也叫橢圓逼近〕。,,,,,,6.2.1Butterworth低通濾波特性的逼近對(duì)于Butterworth濾波器有：（6.4）滿足此平方幅度特性的濾波器又叫做B型濾波器。這里N為正整數(shù)，為B型濾波器的階次，為截止頻率。,,6.2.1.1B型濾波特性1.最平坦函數(shù)B型濾波器的幅頻特性是隨?增大而單調(diào)下降的。在?=0附近以及?很大時(shí)幅頻特性都接近理想情況，而且在這兩處曲線趨于平坦，因此B型特性又叫做最平坦特性。,,,2.3db帶寬由(6.4)式可知，當(dāng)Ω=Ωc時(shí)，=，而因此截止頻率又叫做3db帶寬或者半功率點(diǎn)。,,,,,,,,圖6.1Butterworth低通濾波器的平方幅度特性,3.N的影響在通帶內(nèi)，01，故N越大，隨?增大而下降越快。,,,因此，N越大，B型濾波器的幅頻特性越接近理想的矩形形狀；而不同的N所對(duì)應(yīng)的特性曲線都經(jīng)過Ωc處的半功率點(diǎn)。離Ωc越近，幅頻特性與理想特性相差越大。,6.2.1.2由得到Ha(s),B型濾波器的極點(diǎn)由于Ha(s)是s的實(shí)系數(shù)有理函數(shù)，故有：，令s=jΩ,則有：，而(6.5)由(6.4)式和(6.5)式有：用s代替上式中的j?:(6.6),,,,,,,圖6.2階次N對(duì)B型特性的影響,,(6.6)式的極點(diǎn)為：p=0,1,…,2N-1作為–1的2N次方根，αp均勻地分布在單位圓上，幅角間隔為π/N；它們關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，卻沒有一個(gè)在實(shí)軸上。顯然，將的模乘上，再將其按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，就得到sp。因此，sp均勻地分布在半徑為的圓周上，其位置關(guān)于虛軸對(duì)稱，卻沒有一個(gè)在虛軸上，這就是說，2N個(gè)極點(diǎn)sp在s平面的左、右兩半平面各有N個(gè)。,,,,這2N個(gè)極點(diǎn)是Ha(s)Ha(-s)的極點(diǎn)，考慮到系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)的極點(diǎn)必須在左半平面系統(tǒng)才是穩(wěn)定的，因而將左半s平面的N個(gè)極點(diǎn)sk（k=0,1,…,N-1)分給Ha(s)，這樣，右半平面的N個(gè)極點(diǎn)-sk就正好是Ha(s)的極點(diǎn)。因此有：(6.8),,這個(gè)式子中的常數(shù)是為了使(6.5)式滿足而加入的。這N個(gè)極點(diǎn)s0、s1、…、sN-1在s平面的左半平面而且以共軛形式成對(duì)出現(xiàn)，當(dāng)N為奇數(shù)時(shí),有一個(gè)在實(shí)軸上(為-)。,,,,6.2.1.3一般情況下的B型低通濾波器,圖6.3一般情況下低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo),,,,,,此時(shí)，應(yīng)該將角頻率?標(biāo)稱化，通常以Ω1為基準(zhǔn)頻率，則標(biāo)稱化角頻率為：Ω’=Ω/Ω1。于是通帶邊界的標(biāo)稱化角頻率為Ω1’=1，并且在通帶有0≤Ω’≤1，在過渡帶和阻帶則有?’>1。以下為了方便起見，仍用不帶撇的?表示標(biāo)稱化的角頻率。頻率標(biāo)稱化后，B型濾波器的平方幅度特性仍如(6.2)式所示，只是式中的參數(shù)和N都需要由圖6.3給出的指標(biāo)來確定。,,,,,（6.4）式可以寫成：(6.10)當(dāng)Ω=Ω1=1時(shí)，上式為：(6.11)令(6.12)則由(6.11)式可得：,,,,,,,,,當(dāng)時(shí)有：(6.13)故(6.14)由(6.14)式可求出N，再將其代入(6.12)式，即可求得。,,,,,6.4沖激響應(yīng)不變法本節(jié)和下一節(jié)所討論的問題是，在已知模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)的情況下，如何求相應(yīng)的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。s是模擬復(fù)頻率，Ha(s)也是模擬濾波器的沖激響應(yīng)ha(t)的拉氏變換。,6.4.1沖激響應(yīng)不變法的變換方法模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)通常可以表示為：(6.62),,而且一般都滿足M0,r>1；當(dāng)?<0,r<1。,,,(6.75)式既表示了數(shù)字角頻率與模擬角頻率之間的關(guān)系，也表示了z平面的幅角ω與s平面的虛部Ω之間的關(guān)系。由(6.75)式還可以知道，s平面上?由-π/Ts到π/Ts這一條狀區(qū)域映射到z平面上?由-到的區(qū)域，即整個(gè)z平面；s平面上的水平線Ω=-π/Ts映射到z平面上的射線ω=-π，而當(dāng)這條射線按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)的s平面上的水平線就向上平移。,上面所闡述的不僅是模擬域s平面與數(shù)字域z平面之間的映射關(guān)系，而且也是模擬濾波器的頻率與用沖激響應(yīng)不變法所得到的數(shù)字濾波器的頻率之間的關(guān)系。s平面與z平面的映射關(guān)系保證了將穩(wěn)定的模擬濾波器變換為穩(wěn)定的數(shù)字濾波器。,,圖6.14模擬復(fù)頻率s與數(shù)字復(fù)頻率z之間的映射關(guān)系,例6.6用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)一個(gè)三階Butteworth數(shù)字低通濾波器，抽樣頻率為fs=1.2kHz,截止頻率為=400Hz。解：此數(shù)字濾波器的截止頻率：Ωc=2πfc=2π400=800π弧度/s這也是模擬濾波器的截止頻率，于是可以寫出模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù):,其中，，現(xiàn)在進(jìn)行部分分式分解，令(*2),,,,,,可以得到：根據(jù)(*1)式和(*2)式，再將A、B、C代入，便得到：,,,,,上式中Ts=1/fs=1/1200（秒）。,,6.5雙線性變換法6.5.1雙線性變換關(guān)系的導(dǎo)出模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)可以變換為：這里為了方便說明，已令M=N。,,,由此式可以看出，模擬濾波器的基本單元是積分器，因此，只要設(shè)法用某種數(shù)字網(wǎng)絡(luò)來代替此基本單元，就能夠?qū)⒛M濾波器轉(zhuǎn)變成相應(yīng)的數(shù)字濾波器。模擬濾波器基本單元的系統(tǒng)函數(shù)為：則其沖激響應(yīng)為：,,,,設(shè)有一信號(hào)(t≥0）輸入到該積分器系統(tǒng)，則其輸出也即對(duì)的響應(yīng)為：設(shè)01,即單位圓外?=0，即虛軸r=1,即單位圓?<0，即左半平面r<1,即單位圓內(nèi),因此，用雙線性變換法，穩(wěn)定的模擬濾波器導(dǎo)出的數(shù)字濾波器也必定是穩(wěn)定的。但是，與沖激響應(yīng)不變法不同的是，在雙線性變換下，模擬濾波器的復(fù)頻率s與相應(yīng)的數(shù)字濾波器的復(fù)頻率z之間的映射是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。,,圖6.16雙線性變換法s平面與z平面之間的映射關(guān)系,6.5.3頻率預(yù)畸變下面討論s平面的虛軸與z平面的單位圓的映射關(guān)系，也即模擬濾波器的角頻率?與相應(yīng)的數(shù)字濾波器的角頻率?之間的關(guān)系。在(6.84)式中令?=0，便可得到：或（6.85）,,,圖6.17ω與Ω之間的非線性關(guān)系,?與?的關(guān)系是非線性的，但是，s平面上的虛軸一一對(duì)應(yīng)地映射到了z平面單位圓的一周之上，因此，采用雙線性變換法，不存在頻域混疊失真的問題。由雙線性變換所引起的模擬濾波器頻率?與數(shù)字頻率?之間的非線性關(guān)系，使得所得到的數(shù)字濾波器的相位頻率特性產(chǎn)生失真；,但對(duì)于幅度頻率特性，可以通過頻率預(yù)畸變來校正。實(shí)際上，只要首先根據(jù)所要求的數(shù)字濾波器的各關(guān)鍵頻率，按照(6.85)式轉(zhuǎn)變成相應(yīng)的模擬頻率，再根據(jù)這些頻率指標(biāo)來設(shè)計(jì)模擬濾波器，則最后轉(zhuǎn)換成的數(shù)字濾波器的各關(guān)鍵頻率就會(huì)正好映射到所要求的位置上。,6.5.4雙線性變換法的特點(diǎn)1．模擬濾波器經(jīng)過雙線性變換后，不存在頻率特性的混疊失真，因而對(duì)模擬濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)Ha(?)無限帶要求，而且能夠直接用于設(shè)計(jì)低通、高通、帶通、帶阻等各種類型的數(shù)字濾波器。,2．與沖激響應(yīng)不變法中模擬頻率與數(shù)字頻率之間的線性關(guān)系ω=ΩTs不同的是，雙線性變換法中模擬濾波器的頻率與所轉(zhuǎn)換成的數(shù)字濾波器的頻率之間是非線性關(guān)系，但是，如果事先進(jìn)行頻率預(yù)畸變，這種非線性關(guān)系不會(huì)使所設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器的幅頻特性受到影響。3．雙線性變換方法比較容易，不需要將模擬系統(tǒng)函數(shù)進(jìn)行部分分式分解。,因此，雙線性變換法是用得很普遍、并且很有效的一種方法；只是，由于頻率的非線性關(guān)系會(huì)產(chǎn)生相頻特性失真，所以若對(duì)數(shù)字濾波器的相位特性要求較嚴(yán)，則不宜采用這種變換方法。,最后必須強(qiáng)調(diào)說明一下用雙線性變換法來設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器時(shí)各種頻率之間的關(guān)系。我們?cè)诳紤]一個(gè)數(shù)字濾波器的頻域特性時(shí)，所采用的頻率變量可以是數(shù)字頻率?，也可以是模擬頻率。模擬角頻率?=2?f，f是以赫茲(Hz)為單位的真正具有物理意義的頻率變量。?與?的關(guān)系為?=?Ts，Ts為抽樣周期。,數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)=，是?的周期函數(shù)，以2?為周期；是?的周期函數(shù)，周期為Ωs=2π/Ts。上述這些關(guān)系與數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法無關(guān)。如果數(shù)字濾波器是用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的，則模擬濾波器的頻率變量也就是數(shù)字濾波器的模擬頻率變量；如果數(shù)字濾波器是用雙線性變換法來設(shè)計(jì)的，那末模擬濾波器的頻率變量并不是數(shù)字濾波器的模擬頻率變量。,,,,,我們?cè)?.5.2節(jié)中所述的雙線性變換法s平面與z平面的映射關(guān)系實(shí)際上是被變換的模擬濾波器的復(fù)頻率s與所得到的數(shù)字濾波器的復(fù)頻率z之間的關(guān)系，(6.85)式中的?也是此模擬濾波器的角頻率，并不是數(shù)字濾波器的模擬角頻率。為了便于區(qū)分，應(yīng)該將(6.85)式中的模擬濾波器角頻率用Ω’來表示，即為：；而數(shù)字濾波器的數(shù)字角頻率?與其本身的模擬角頻率Ω之間仍然是上面所述的那種線性關(guān)系，即有：?=?Ts。,,