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魯棒優(yōu)化設(shè)計的多目標(biāo)遺傳算法 摘要： 現(xiàn)實 世界中的多目標(biāo)工程 的優(yōu)化 設(shè)計問題往往 存在著不可控制的 參數(shù)變化。解決這些問題的目的是為了獲得 良好的 解決方案 ,并就目的和可行性而言，這些解決方案應(yīng)該盡量的好，與此同時對于參數(shù)的變化 是 不敏感 的 。這樣的解決方法可以被稱為 魯棒最優(yōu)解決方案 。為了調(diào)查研究最優(yōu)方案的性能和 魯棒性 之間的權(quán)衡關(guān)系，我們提出了一個新的健全的多目標(biāo)的遺傳算法來優(yōu)化兩個目標(biāo)：一個是適應(yīng) 度 值，另外一個是 魯棒性 指數(shù)， 在多目標(biāo)和原始優(yōu)化問題 的 可行性方面 ，適應(yīng)度值是 一種評定設(shè)計的解決方案性能的 數(shù)值 ，而 魯棒性 指數(shù)，基 于非梯度為基礎(chǔ)的參數(shù)靈敏度估計的方法，是一種在數(shù)量上評估設(shè)計方案 魯棒 性的措施。這種多目標(biāo)的遺傳算法并不需要一個假設(shè)的無法控制的參數(shù)概率分布，也不利用這些參數(shù)的梯度信息，三個距離度量可用于獲得系統(tǒng)的 魯棒性 指標(biāo)和有效的解決辦法。為了能夠更好的說明它的應(yīng)用， 多目標(biāo)遺傳算法可以應(yīng)用于來自 文獻 中的兩個研究深入的工程設(shè)計的問題。 類別和學(xué)科的描述 ： 化非線性程序 關(guān)鍵詞：多目標(biāo)遺傳算法， 魯棒性 設(shè)計優(yōu)化， 魯棒性 和性能的權(quán)衡 一 在現(xiàn)實世界中，有許多的工程優(yōu)化的問題，由于其他不確定性，使得這些問題的參數(shù) 有著無法控制的變化，這些變化可以顯著的降低這優(yōu)化的方案的性能，甚至還能改變所獲得方案的可行性，這些變化的意義 在工程設(shè)計問題上尤為 重要 ，這往往在有界可行域或者在最優(yōu)解的邊界所處的可行的領(lǐng)域范圍內(nèi)。在文獻中已經(jīng)有很多的方法和方案來獲得穩(wěn)健的設(shè)計解決方法，這就是說， 這些 可行的設(shè)計方案 在他們的目標(biāo)中很 適應(yīng) ，并且這些方案的客觀的表現(xiàn)或者可行性（或者兩者）對于參數(shù)的變化不敏感，一般而言，這些方法可以被分為兩類：隨機的方法和確定性的方法，隨機的方法使用變量參數(shù)的概率信息，例如，他們的期望值和方差 ,以最大限度降低解決方案的 靈敏度。 (如帕金森疾病學(xué)組 ，可 進行可行性魯棒性 優(yōu)化 —— 也稱為可靠性優(yōu)化。 同時，金和森得霍夫提出 了 一個進化性的 的方案來處理在使用偏差信息時的性能和 魯棒性 的權(quán)衡問題。 隨機方法的主要缺點是對于無法控制的參數(shù)的概率分布是已知的或者是假設(shè)的，但是在現(xiàn)實的工程設(shè)計的問題中，事先獲得這樣的信息是很困難（甚至是不可能的事情）。 另一方面，確定性方法使用參數(shù)的梯度信息獲得了 魯棒性 的最佳的設(shè)計方案， 方法的目的在于獲得最佳的解決方案來滿足額外的 魯棒性 規(guī)定的約束，這往往由決策者規(guī)定 的 。 在這論文中，我們 提出了一個新的確定性的方法來調(diào)查研究最佳解決方法的性能和 魯棒性 的權(quán)衡關(guān)系，是基于多目標(biāo)的遺傳算法。我們追求的目標(biāo)是同時優(yōu)化： 1）最佳解決方法的 性能的 度量，比如，適應(yīng)度的價值，這解釋了原來的優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)和約束的價值。 2） 最佳解決方法的 魯棒性 的度量， 魯棒性 指數(shù)，最初是由 出來的， 它的推廣使用是通過使用 兩種額外的距離規(guī)范 。這種確定性的方法是用非梯度基礎(chǔ)來對參數(shù)敏感度進行估計， 對于參數(shù)， 這可以應(yīng)用于 無法分辨的 目標(biāo)函數(shù)或者約束函數(shù)的優(yōu)化問題 ，任何的多目標(biāo)遺傳算法都可以在文獻中應(yīng)用到這 種方法。 在 者試圖獲得對參數(shù)變化不敏感最佳解決方案 ,換言之， 魯棒性 的要求在他們的方法中被認(rèn)為是一種約束，相反，我們把 魯棒性 視為我們的目標(biāo)之一，并且形成了一個新的雙目標(biāo)的 魯棒性 優(yōu)化問題（這個問題不管這個原始的問題有多少目的），來調(diào)查研究解決方案的 魯棒性 和性能的關(guān)系，這個穩(wěn)健的多目標(biāo)遺傳算法旨在同時最大化的提高性能和 魯棒性 ，本論文的其他的組織文本如下：在第二部分，我們將展示最初的優(yōu)化問題并且解釋一些定義和專業(yè)術(shù)語，基于 對于目標(biāo)和可行性的描述，我們將在第三節(jié)展示出我們的新方法 ，在第四節(jié)我們將展示解決兩個測試問題的應(yīng)用，隨后將討論其結(jié)果，本文將以對于第五節(jié)的總結(jié)來結(jié)束。 二 在這部分中，我們將正式的定義問題并且在這篇論文中解釋一些文中有使用的定義和專有名詞。 多目標(biāo)問題的一般的公式如下所示： 的下標(biāo)表示 變形的行向量 ） ， ?注意的是，本身具有無法控制的設(shè)計變量可以包括在 x 和 ?p 中，大寫和小寫的 個問題有 們認(rèn)為所有的約束可以代表不平等 的函數(shù)，在這論文中，我們把 1中所示的優(yōu)化問題叫做原始問題。 在 常這個原始的問題有更多的最優(yōu)解決方案， 這些最優(yōu)的解決方案組成起來叫做 ?，在 都有討論到。 在下面，我們將簡單的描述在論文中所遇到的專業(yè)詞匯。 標(biāo)稱參數(shù)數(shù)值 是參數(shù)向量值， ?中的問題，參數(shù)變量記作 ?p。 標(biāo)稱 的 ?p=?1中涉及到的優(yōu)化問題的 ? 讓 棒性 中想要分析的設(shè)計解決方案， f=fm=數(shù)的 標(biāo)稱 數(shù)值，并且 g=gl=稱 數(shù)值。 容忍 區(qū)域是 在 ?通過一組 ?是關(guān)于決策者所想要的魯棒最優(yōu)方案不要太敏感的程度 ， 并且 有一系列 ?p 的數(shù)值來形成 ?個區(qū)域通常被 ?個關(guān)系式中，分別是 ?p 的最大上限和最小下限，簡單點說，這個 容忍 區(qū)域是被認(rèn)為是對稱的，因為這可以有多于一個的無法控制的參數(shù)，并且這些參數(shù)有著不同的區(qū)間值，我們通常校正我們的公差區(qū)域來形成一個超正方形。 參數(shù)變化空間：一個 這個空間的 軸是參數(shù)的變化 ? 可以接受的性能變化區(qū)域 ?代表著最大的可接受的性能變化，并被 選擇，看圖表一的具體表示。 合適 度數(shù)值 一種結(jié)合目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)的程度上，度量解決方法性能的數(shù)值，這個 合適 度數(shù)值從多目標(biāo)遺傳算法中獲得，比如 以在我們的方法中作為 適應(yīng) 度數(shù)值老用。 魯棒性 數(shù)值是計算關(guān)于 ?p 在半徑的外部超球狀的規(guī)范的公差區(qū)域的一個在最差敏感區(qū)域的半徑，在我們的方法中，這被用來作為我們 魯棒性 的測量方法，我們將在第三部分進一步的討論它。 三 多目標(biāo)遺傳算法 首先我們討論了多目標(biāo)的優(yōu)化的方法，隨后我們討論了關(guān)于優(yōu)化的可行性方面和兩者相結(jié)合的方法。 考慮到可接受的性能變化區(qū)域（ A?解決方法 有一套的在目標(biāo)函數(shù)中的諸如 ?p 的變化量，因為 ?p 仍然在 f 的范圍之內(nèi)，一套的 ?p 在 ?p 的空間內(nèi)形成了一個超區(qū)域，叫做敏感性區(qū)域（ 這個區(qū)域的范圍如下可見： 圖表一所示的是 于解決方法 上可見，這 部的點和在邊界上的點分別的對應(yīng)著 部的， 和邊界上的點。 實質(zhì)上， 前 的 解決方案 們可以使用 個設(shè)計的 魯棒性 越好，但是在一般情況下， 對稱的，這就是意味著 設(shè)計在 ?正如在圖一的 但是在其他的方向（比如圖一的 相對不敏感的，為了克服不對稱的問題，一個不太好敏感性的區(qū)域可以被用來估計 敏感度不太好的區(qū)域是對稱的超球形的接近 圖上，這個區(qū)域是可以最近的接觸原始 如在圖標(biāo) 2所示，是一個 雙參數(shù)的例子。 因為 么它的半徑 R 而不是它的大小可以被用來作為衡量其 魯棒性 的措施，它用來衡量設(shè)計的整體的 魯棒性 ，這個區(qū)域的半徑可以通過解決單目標(biāo)的優(yōu)化問題來計算，如下面所示： 在這個問題上，設(shè)計的變量是 ?p，目標(biāo)函數(shù)是這個區(qū)域的半徑， 同等的約束函數(shù)是 相應(yīng)所 產(chǎn)生的矢量 ?f，它處在可接受性能變量的區(qū)域的邊界上，這個區(qū)域評估方法的具體的討論已經(jīng)在其他地方給出了。 一個類似的方法可以用在可行性的 魯棒性 優(yōu)化上，對于設(shè)計 說，所有的 ?成了可行性敏感區(qū)域，這些點所對應(yīng)的約束函數(shù)值是 g。這就意味著這個可行性敏感區(qū)域內(nèi)的 ?變 設(shè)計可行性。 可行性的 因為 相同的 ?最差情況下的估計的半徑，正如表2所示的 半徑 見下面： 比如，在圖 2 所示的例子中， 棒性 指數(shù) 半徑 棒性 ，但是不表示一個于設(shè)計解決方法有關(guān)的物理結(jié)構(gòu)， 對于 行性能和 魯棒性 的權(quán)衡分析師很困難的，比如，如果 R，那么一個人不會決定是否一個設(shè)計方案是穩(wěn)健還是不穩(wěn)健，為了解決這個困難，我們使用規(guī)范的公差區(qū)域的外部的球星空間的半徑， R，正如參照 魯棒性 要求。我們定義 魯棒性 指數(shù)為 η =R/并且使用這個 魯棒性 指數(shù)最為在我們多目標(biāo)遺傳算法中的兩個目標(biāo)中的一個， 中計算的優(yōu)化方法，因為 果 η =R/1，那么這個設(shè)計的 。 的值 記得我們在本篇論文的目標(biāo)是最大限度地提高設(shè)計的性能和魯棒性。系統(tǒng)的魯棒性指數(shù)作為一種魯棒性設(shè)計解決方案的一種措施。因此我們還需要對于設(shè)計解決方案的整體性能有另一個措施。 在多目標(biāo)的優(yōu)化問題中，多目標(biāo)遺傳算法 是獲得 多數(shù)的多目標(biāo)遺傳算法把一個適應(yīng)度的值或者等級分配給在整體中的每一個可供選擇的解決方法，以表示一種相對好的東西，解釋了目標(biāo) 值 和約束函數(shù)，所以適應(yīng)度值可以從多目標(biāo)遺傳算法中獲得，比如來自 的等級數(shù)值，可以在我們的方法中被用來 作為性能的衡量措施，適應(yīng)度的值越小，解決方法的性能越好，更多關(guān)于如何獲得適應(yīng)度的數(shù)值的細(xì)節(jié)問題可以參見 23. 注意到不同的多目標(biāo)遺傳算法的方法可以產(chǎn)生不同的解決方案，但是，這兒我們的目標(biāo)并不是闡述一個新的遺傳算法或者區(qū)分多目標(biāo)遺傳算法中的不同之處。 考慮到對于一個設(shè)計解決方案性能和魯棒性的兩個措施，正如我們之前所討論的，我們可以闡述我們的問題，它有兩個目標(biāo)，一個是性能，一個是設(shè)計解決方法的魯棒性，對于穩(wěn)健的多目標(biāo)的優(yōu)化的問題的公式如下所示： 這里的適應(yīng)度數(shù)值 數(shù)的一個函數(shù)，這可以在 1中被計算出來的，魯棒性η可以從 5中計算出來。 在圖 4中，一個優(yōu)化的方案，和一個內(nèi)外的結(jié)構(gòu)，可以被用來解決 6中的問題，外部的子問題可以同時的把適應(yīng)性的數(shù)值 可以把魯棒性指數(shù)變到最大，我們使用內(nèi)部的子問題來計算關(guān)于 ?的值。 我們以叫做 x 的數(shù)值開始，在外部的子問題上，并且把它送到內(nèi)部的子問題中，這個 標(biāo)稱數(shù)值 在內(nèi)部的子問題中 是確定的 ，然后我們優(yōu)化半徑 個最優(yōu)的數(shù)值 上面的思想中 ， 對于所有的設(shè)計變量這將反復(fù)的進行 。 我們現(xiàn)在討論了應(yīng)用在魯棒的多目標(biāo)遺傳算法中的適應(yīng)性分配的步驟，簡單點說，多目標(biāo)遺傳算法的細(xì)節(jié)并沒有在這里討論，而關(guān)注的重點卻在魯棒的 多目標(biāo)遺傳算法上了，遺傳算法要求對于所有的候選的解決方法有一個梯度的適應(yīng)性的數(shù)值，在適應(yīng)性分配步驟上主要的步驟如下： 步驟一，評估原始 步驟二，計算每一個候選問題的魯棒性指數(shù) η 。 步驟三， 基于原問題的目標(biāo)之進行非占優(yōu)排序 ，考慮到 它的 等級和約束的 違反程度 把適應(yīng)性 f 分配給候選的解決方法。 步驟四， 基于魯棒性指數(shù) η 和適應(yīng)性數(shù)值 f 作為目標(biāo)函數(shù)，進行 非占優(yōu)排序 選擇，在本質(zhì)上，這就是雙目標(biāo)的 非占優(yōu)排序 的分類。 步驟五，基于來自步驟四的非受控性等級，分配一個適應(yīng)性數(shù)值，并且繼續(xù)的強調(diào)遺傳 算法直到達成一致。 在 5中，我們可以使用三個不同的 ,2或者無窮大，不同的 會影響在設(shè)計解決方案中的魯棒性指數(shù)的數(shù)值，正如在 5中所示的那樣， A,B,1棒性的措施可以在某一個特定的距離標(biāo)準(zhǔn)中表示清楚。 在這部分，我們將要闡述對于兩個測試問題在我們提出的解決方案中的應(yīng)用。 我們使用來描述 自工程設(shè)計優(yōu)化文獻中。 這個問題在于設(shè)計一個雙條的構(gòu)架，可以用來在節(jié)點 個構(gòu)架在圖中所示由兩個節(jié)點所組成，這個目標(biāo)函數(shù)就是最小的降低兩個連接的體積，并且最小的降低他們當(dāng)中的應(yīng)力，這個變量時跨區(qū)域的鏈接，這個約束函數(shù)是，最大的應(yīng)力是 100000kn/于 y 來說的范圍是 個問題的公式就是下面所示的： 在設(shè)計的變化量中的已知的變量以這樣的形式來設(shè)定， ?且 ?y=可接受的性能變化量 ? 圖 7所示的是 以看出適應(yīng)度值的所有解決方案都有最好的解適應(yīng)度值，比如它有一個魯棒指數(shù)η大于 1的數(shù)，在另一方面我們可以看到一個有較小適應(yīng)度數(shù)值的解決方案，決策者有可能不會選著來自 優(yōu)解決方案，因為這些解決方案可能是更加的有魯棒性而不是必要性。 圖 8通過比較 6中所示的和對于目標(biāo)函數(shù)來說的定位的多目標(biāo)遺傳算法獲得的 優(yōu)解決方案，并且這些解決方案可以通過傳統(tǒng)的遺傳算法獲得，但是這些遺傳算法并不考慮魯棒 性，我們觀察到通過 得的 優(yōu)解決方案與最初的相差甚遠(yuǎn)，正如預(yù)料的那樣，這倒是我們得出結(jié)論，通過多目標(biāo)遺傳算法得來的名義 圖 9比較了魯棒性指數(shù)和使用不同的距離矩陣獲得的 如 9所示的，在關(guān)于魯棒性指數(shù)的解決方案中存在著一些的重復(fù)。 圖 10 比較了名義的 優(yōu)解決方案和通過使用 準(zhǔn)距離矩陣的多數(shù)的魯棒性設(shè)計和最初的解決方案差之甚遠(yuǎn)，這些原始的解決方案屬于名義的 的前面并 不是最有魯棒性的，最后注意到，并沒有魯棒性的解決方案可以獲得的。 從對于這個例子的模擬結(jié)果來看，我們可以得出結(jié)論的是計算出來的魯棒性指數(shù)在很多程度上取決于所用的距離矩陣，這也在說明，使用 得的設(shè)計解決方案的魯棒性在很大程度上取決于所用來計算魯棒性指數(shù)的距離矩陣的種類。 本篇論文展示了確定性的魯棒性多目標(biāo)遺傳算法，這多目標(biāo)的遺傳算法提供了一套的解決方案，這些方案對于性能和魯棒性來說是 優(yōu)解，適應(yīng)度數(shù)值解釋了原始問題的目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)的問題，這魯棒性指數(shù)也解釋了在目標(biāo)函數(shù)和約束 函數(shù)中的變量，這展示了在性能和設(shè)計解決方案中的折中，多目標(biāo)遺傳 算法使用了一個內(nèi)外的優(yōu)化結(jié)構(gòu)來解決了整個問題，并且內(nèi)外的優(yōu)化的子問題可以使用雙重的遺傳算法來得以解決， 任何多目標(biāo)遺傳算法可以使用我們這個方法，這個方法并不要求一個假象的無法控制的參數(shù)的概率分布，也不需要使用這些參數(shù)的梯度信息，這三個不同的歐幾里得的距離矩陣在連接多目標(biāo)遺傳算法中可以被使用來計算魯棒性指數(shù)。 這個方法應(yīng)用到兩個工程測試 的 問題上，魯棒性的多目標(biāo)遺傳算法的結(jié)果與名義的 決方法進行了比較，通過多目標(biāo)遺傳算法的魯棒性設(shè)計解決方案在很大程度上在性能上比 標(biāo)稱的 案要差點，但是同時，它們兩個對于在設(shè)計參數(shù)的變化方面是不敏感的，在兩個測試問題中，可以發(fā)現(xiàn)，關(guān)于目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)的性能，最好的設(shè)計解決方案并不是最具有魯棒性的，魯棒性的多目標(biāo)遺傳算法可以用來弱化設(shè)計方案和魯棒性性能的權(quán)衡的問題，因此可以在選擇具有魯棒性的最好的解決方案中幫助 于模擬的結(jié)果，我們可以得出結(jié)論，設(shè)計的魯棒性在很大程度上取決于所用來計算魯棒性指數(shù)的距離矩陣的類別。 這篇論文所展示的內(nèi)容一部分上得到了 印第安頭領(lǐng)師 的幫助，美國海軍研究辦公室 給與了這個組織資金上的幫助，這個工作部分上也得到了美國科學(xué)基金會的幫助和支持， 在本文所表達的關(guān)于基金會方面，他們的 支持并不能完全的 體現(xiàn)來自他們的幫助和支持。