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命題與證明 一、選擇題 1.下列說法正確的是（ ） A.真命題的逆命題是真命題B.原命題是假命題，則它的逆命題也是假命題 C.定理一定有逆定理D.命題一定有逆命題 【答案】D 【解析】 ：A、真命題的逆命題可能是真命題，也可能是假命題，故A不符合題意； B、原命題是假命題，則它的逆命題可能是假命題，也可能是真命題，故B不符合題意； C、逆定理一定是真命題，定理不一定有逆定理，故C不符合題意； D、任意一個(gè)命題都有逆命題；故D符合題意； 故答案為：D 【分析】根據(jù)把一個(gè)命題的條件和結(jié)論互換就得到它的逆命題，用邏輯方法判斷為正確的命題叫定理，任何命題都有逆命題，對(duì)各選項(xiàng)逐一判斷即可。 2.下列命題為真命題的是（ ）。 A.兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例 B.相似三角形面積之比等于相似比 C.對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形 D.順次連結(jié)矩形各邊的中點(diǎn)所得的四邊形是正方形 【答案】A 【解析】 ：A.根據(jù)平行線分線段成比例定理即可判斷正確，A符合題意； B.相似三角形面積之比等于相似比的平方，故錯(cuò)誤，B不符合題意； C.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故錯(cuò)誤，C不符合題意； D.順次連結(jié)矩形各邊的中點(diǎn)所得的四邊形是正菱形，故錯(cuò)誤，D不符合題意； 故答案為:A. 【分析】A.根據(jù)平行線分線段成比例定理即可判斷對(duì)錯(cuò)； B.根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可判斷對(duì)錯(cuò)； C.根據(jù)菱形的判定即可判斷對(duì)錯(cuò)； D.根據(jù)矩形的性質(zhì)和三角形中位線定理即可判斷對(duì)錯(cuò)； 3.用反證法證明時(shí)，假設(shè)結(jié)論“點(diǎn)在圓外”不成立，那么點(diǎn)與圓的位置關(guān)系只能是（ ） A.點(diǎn)在圓內(nèi)B.點(diǎn)在圓上C.點(diǎn)在圓心上D.點(diǎn)在圓上或圓內(nèi) 【答案】D 【解析】 ：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系只有三種：點(diǎn)在圓內(nèi)、點(diǎn)在圓上、點(diǎn)在圓外， 如果點(diǎn)不在圓外，那么點(diǎn)就有可能在圓上或圓內(nèi) 故答案為D 【分析】運(yùn)用反證法證明，第一步就要假設(shè)結(jié)論不成立，即結(jié)論的反面，要考慮到反面所有的情況。 4.下列語句中，是命題的是（ ） ①若 1=60 ， 2=60 ，則 1= 2；②同位角相等嗎； ③畫線段AB=CD；④一個(gè)數(shù)能被2整除，則它也能被4整除；⑤直角都相等． A.①④⑤B.①②④C.①②⑤D.②③④⑤ 【答案】A 【解析】 ：①若 ∠ 1=60 ° ， ∠ 2=60 ° ，則 ∠ 1= ∠ 2；它是命題； ②同位角相等嗎，不是命題； ③畫線段AB=CD，不是命題； ④一個(gè)數(shù)能被2整除，則它也能被4整除，是命題； ⑤直角都相等．是命題； 故事命題的有：①④⑤ 故答案為：A 【分析】根據(jù)命題是判斷一件事情的語句，構(gòu)成命題必須有已知條件和結(jié)論，逐一判斷即可求解。 5.某屆世界杯的小組比賽規(guī)則：四個(gè)球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽（每?jī)申?duì)賽一場(chǎng)），勝一場(chǎng)得3分，平一場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分，某小組比賽結(jié)束后，甲、乙，丙、丁四隊(duì)分別獲得第一，二，三，四名，各隊(duì)的總得分恰好是四個(gè)連續(xù)奇數(shù)，則與乙打平的球隊(duì)是（ ） A.甲 B.甲與丁 C.丙 D.丙與丁 【答案】B 【解析】 ：小組賽一共需要比賽場(chǎng)， 由分析可知甲是最高分，且可能是9或7分， 當(dāng)甲是9分時(shí)，乙、丙、丁分別是7分、5分、3分， 因?yàn)楸荣愐粓?chǎng)最高得分3分， 所以4個(gè)隊(duì)的總分最多是63=18分， 而9+7+5+3>18，故不符合； 當(dāng)甲是7分時(shí)，乙、丙、丁分別是5分、3分、1分，7+5+3+1<18，符合題意， 因?yàn)槊咳艘獏⒓?場(chǎng)比賽， 所以甲是2勝一平，乙是1勝2平，丁是1平2負(fù)， 則甲勝丁1次，勝丙1次，與乙打平1次， 因?yàn)楸?分，所以丙只能是1勝2負(fù)， 乙另外一次打平是與丁， 則與乙打平的是甲、丁 故答案是B。 【分析】需要推理出甲、乙、丙、丁四人的分?jǐn)?shù)：每個(gè)人都要比賽3場(chǎng)，要是3場(chǎng)全勝得最高9分，根據(jù)已知“甲、乙，丙、丁四隊(duì)分別獲得第一，二，三，四名”和“各隊(duì)的總得分恰好是四個(gè)連續(xù)奇數(shù)”，可推理出四人的分?jǐn)?shù)各是多少，再根據(jù)勝、平、負(fù)一場(chǎng)的分?jǐn)?shù)去討論打平的場(chǎng)數(shù)。 6.甲、乙、丙、丁4人進(jìn)行乒乓球單循環(huán)比賽（每?jī)蓚€(gè)人都要比賽一場(chǎng)），結(jié)果甲勝了丁，并且甲、乙、丙勝的場(chǎng)數(shù)相同，則丁勝的場(chǎng)數(shù)是（ ） A.3B.2C.1D.0 【答案】D 【解析】 ：四個(gè)人共有6場(chǎng)比賽，由于甲、乙、丙三人勝的場(chǎng)數(shù)相同， 所以只有兩種可能性：甲勝1場(chǎng)或甲勝2場(chǎng)； 若甲只勝一場(chǎng)，這時(shí)乙、丙各勝一場(chǎng)，說明丁勝三場(chǎng)，這與甲勝丁矛盾， 所以甲只能是勝兩場(chǎng)， 即：甲、乙、丙各勝2場(chǎng)，此時(shí)丁三場(chǎng)全敗，也就是勝0場(chǎng)． 答：甲、乙、丙各勝2場(chǎng)，此時(shí)丁三場(chǎng)全敗，丁勝0場(chǎng)． 故答案為：D． 【分析】分類討論：甲、乙、丙、丁4人進(jìn)行乒乓球單循環(huán)比賽，故四個(gè)人共有6場(chǎng)比賽，由于甲、乙、丙三人勝的場(chǎng)數(shù)相同，所以只有兩種可能性：①若甲只勝一場(chǎng)，這時(shí)乙、丙各勝一場(chǎng)，說明丁勝三場(chǎng)，這與甲勝丁矛盾；②甲勝兩場(chǎng)，則乙、丙各勝2場(chǎng)，此時(shí)丁三場(chǎng)全敗，也就是勝0場(chǎng)．綜上所述即可得出答案。 7.否定“自然數(shù)a、b、c中恰有一個(gè)偶數(shù)”時(shí)的正確反設(shè)為( ) A.a、b、c都是奇數(shù)B.a、b、c或都是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù) C.a、b、c都是偶數(shù)D.a、b、c中至少有兩個(gè)偶數(shù) 【答案】B 【解析】 a，b，c三個(gè)數(shù)的奇、偶性有以下幾種情況：①全是奇數(shù)；②有兩個(gè)奇數(shù)，一個(gè)偶數(shù)；③有一個(gè)奇數(shù)，兩個(gè)偶數(shù)；④三個(gè)偶數(shù)．因?yàn)橐穸á?，所以假設(shè)應(yīng)為“全是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù)”．故答案為：B.【分析】因?yàn)閍，b，c三個(gè)數(shù)的奇、偶性有以下幾種情況：①全是奇數(shù)；②有兩個(gè)奇數(shù)，一個(gè)偶數(shù)；③有一個(gè)奇數(shù)，兩個(gè)偶數(shù)；④三個(gè)偶數(shù)。根據(jù)命題的否定形式可知“自然數(shù)a、b、c中恰有一個(gè)偶數(shù)”時(shí)的正確反設(shè)為“a、b、c或都是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù)”。 8.對(duì)于命題“已知：a∥b，b∥c，求證：a∥c”．如果用反證法，應(yīng)先假設(shè)（ ） A.a不平行bB.b不平行cC.a⊥cD.a不平行c 【答案】D 【解析】 ：對(duì)于命題“已知：a∥b，b∥c，求證：a∥c”．如果用反證法 應(yīng)先假設(shè)a不平行c 故答案為：D 【分析】根據(jù)反證法的第一步就是假設(shè)結(jié)論的反面，即可得出答案。 9.下列命題是真命題的是（ ） A.如果a+b=0，那么a=b=0B.的平方根是4 C.有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)角是對(duì)頂角D.等腰三角形兩底角相等 【答案】D 【解析】 A、如果a+b=0，那么a=b=0，或a=﹣b，錯(cuò)誤，為假命題； B、 =4的平方根是2，錯(cuò)誤，為假命題； C、有公共頂點(diǎn)且相等的兩個(gè)角是對(duì)頂角，錯(cuò)誤，為假命題； D、等腰三角形兩底角相等，正確，為真命題； 故答案為：D． 【分析】A根據(jù)等式的性質(zhì)判斷；B根據(jù)算術(shù)平方根和平方根判斷；C根據(jù)對(duì)頂角的定義判斷；D根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)判斷. 10.有下列命題： ①若x2=x，則x=1；②若a2=b2 ， 則a=b；③線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等；④相等的弧所對(duì)的圓周角相等；其中原命題與逆命題都是真命題的個(gè)數(shù)是（ ） A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè) 【答案】B 【解析】 ：若x2=x，則x=1或x=0，所以①錯(cuò)誤； 若a2=b2 ， 則a=b，所以②錯(cuò)誤； 線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等，所以③正確； 相等的弧所對(duì)的圓周角相等，所以④正確．四個(gè)命題的逆命題都是真命題． 故答案為：B． 【分析】（1）根據(jù)一元二次方程的根的判別式大于0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根可知，方程漏掉了一個(gè)根； （2）根據(jù)平方根的意義可得a=b； （3）線段的垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等；線段的垂直平分線的判定：到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上； （4）根據(jù)圓周角定理和圓周角和弧之間的關(guān)系可知：相等的弧所對(duì)的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等。 11.下列命題是假命題的是（ ） A.對(duì)頂角相等B.兩直線平行，同旁內(nèi)角相等 C.平行于同一條直線的兩直線平行D.同位角相等，兩直線平行 【答案】B 【解析】 ：A．對(duì)頂角相等是真命題，故本選項(xiàng)正確，A不符合題意； B．兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，B符合題意； C．平行于同一條直線的兩條直線平行是真命題，故本選項(xiàng)正確，C不符合題意； D．同位角相等，兩直線平行是真命題，故本選項(xiàng)正確，D不符合題意． 故答案為：B． 【分析】本題是讓選假命題，也就是在題設(shè)的條件下得到錯(cuò)誤的結(jié)論. 兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)而不是相等. 12.下列語句中，不是命題的是（ ） A.生活在水里的動(dòng)物是魚 B.若直線a∥b，b ∥c，則a∥c C.作已知線段的垂直平分線 D.對(duì)頂角相等 【答案】A 【解析】 ：根據(jù)命題的定義判斷： A、是判斷一件事情的句子，A不符合題意； B、是判斷一件事情的句子，B不符合題意； C、是作圖語句，C符合題意； D、是判斷一件事情的句子，D不符合題意。 故答案為：C。 【分析】命題：一般地，判斷某一件事情的句子叫做命題。命題分真命題和假命題。 二、填空題 13. 命題：“如果m是整數(shù)，那么它是有理數(shù)”，則它的逆命題為：________． 【答案】“如果m是有理數(shù)，那么它是整數(shù)” 【解析】 ：命題：“如果m是整數(shù)，那么它是有理數(shù)”的逆命題為“如果m是有理數(shù)，那么它是整數(shù)”． 故答案為“如果m是有理數(shù)，那么它是整數(shù)”． 【分析】把一個(gè)命題的條件和結(jié)論互換就得到它的逆命題． 14. 下列四個(gè)命題中：①對(duì)頂角相等；②同旁內(nèi)角互補(bǔ)；③全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；④兩直線平行，同位角相等，其中假命題的有________（填序號(hào)） 【答案】② 【解析】 ：①對(duì)頂角相等是真命題；②同旁內(nèi)角互補(bǔ)是假命題；③全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等是真命題；④兩直線平行，同位角相等是真命題；故假命題有②， 故答案為：②． 【分析】要說明一個(gè)命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個(gè)命題是假命題，只需舉出一個(gè)反例即可． 15.寫出命題“兩個(gè)銳角的和是鈍角”是假命題的一個(gè)反例：________ 【答案】?jī)蓚€(gè)銳角的度數(shù)分別為20，30 【解析】 ：若兩個(gè)銳角的度數(shù)分別為20，30 則這兩個(gè)角的和為50，50的角是銳角 故答案為：兩個(gè)銳角的度數(shù)分別為20，30（答案不唯一） 【分析】根據(jù)題意寫出兩個(gè)銳角的和是直角或銳角即可。 16.命題“如果兩個(gè)角都是直角,那么這兩個(gè)角相等”的逆命題________. 【答案】如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是直角。 【解析】 ：∵原命題是：如果兩個(gè)角都是直角,那么這兩個(gè)角相等 ∴它的逆命題是;如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是直角。 【分析】將原命題的題設(shè)和結(jié)論互換，再寫成如果，那么的形式即可。 17.命題“全等三角形的面積相等”的逆命題是________命題.(填“真”或“假”) 【答案】假 【解析】 原命題的逆命題為：面積相等的兩個(gè)三角形為全等三角形，則這個(gè)命題為假命題.【分析】首先將原命題改寫成如果那么的形式，然后根據(jù)原命題與逆用的關(guān)系，將原命題的題設(shè)和結(jié)論交換位置得到其逆命題：面積相等的兩個(gè)三角形為全等三角形；再根據(jù)已有知識(shí)判斷此命題顯然是假命題。 18.把命題“對(duì)頂角相等”改寫成“如果 那么 ”的形式：________． 【答案】如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么它們相等 【解析】 ：題設(shè)為：對(duì)頂角，結(jié)論為：相等， 故寫成“如果 那么 ”的形式是：如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么它們相等， 故答案為：如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么它們相等． 【分析】根據(jù)命題的構(gòu)成可知題設(shè)為：對(duì)頂角，結(jié)論為：相等，所以用“如果 … 那么 … ”的形式可表示為：如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么它們相等。 19.用反證法證明命題：“一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)直角”的過程歸納為以下三個(gè)步驟： ①∠A＋∠B＋∠C＝90＋90＋∠C>180，這與三角形內(nèi)角和為180相矛盾，則∠A＝∠B＝90不成立；②所以一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)直角；③假設(shè)∠A，∠B，∠C中有兩個(gè)角是直角，不妨設(shè)∠A＝∠B＝90.正確順序的序號(hào)排列為________ 【答案】③①② 【解析】 由反證法證明的步驟知，先反證即③，再推出矛盾即①，最后作出判斷，肯定結(jié)論即②，即順序應(yīng)為③①②【分析】根據(jù)反證法的步驟，首先假設(shè)結(jié)論不成立，其次用已學(xué)的知識(shí)或已知條件得到與假設(shè)或已學(xué)的知識(shí)或已知條件相矛盾的結(jié)論，那么原命題成立。所以正確順序的序號(hào)排列③①②。 20. 如圖，圖中二次函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c（a≠0）則下列命題中正確的有________（填序號(hào)） ①abc＞0；②b2＜4ac；③4a﹣2b+c＞0；④2a+b＞c． 【答案】①③④ 【解析】 ：①∵拋物線開口向上，拋物線的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，拋物線與y軸交于y軸負(fù)半軸， ∴a＞0，﹣ ＞0，c＜0， ∴b＜0，abc＞0，①正確； ②∵拋物線與x軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)， ∴△=b2﹣4ac＞0，b2＞4ac，②錯(cuò)誤； ③當(dāng)x=﹣2時(shí)，y=4a﹣2b+c＞0，③正確； ④∵0＜﹣ ＜1， ∴﹣2a＜b＜0， ∴2a+b＞0＞c，④正確． 故答案為：①③④． 【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系以及命題與定理，觀察函數(shù)圖象，根據(jù)二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系逐一分析四條結(jié)論判斷正誤即可. 三、解答題 21.已知命題：“如圖，點(diǎn)B、F、C、E在同一條直線上，則AB∥DE．”判斷這個(gè)命題是真命題還是假命題，如果是真命題，請(qǐng)給出證明；如果是假命題，在不添加其他輔助線的情況下，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)適當(dāng)?shù)臈l件使它成為真命題，并加以證明． 【答案】解：如圖，點(diǎn)B、F、C、E在同一條直線上，則AB∥DE，是假命題，當(dāng)添加：∠B=∠E時(shí)，AB∥DE， 理由：∵∠B=∠E， ∴AB∥DE． 【解析】【分析】根據(jù)平行線的判定定理即可得出結(jié)論。 22. 如圖，四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，在①AB∥CD；②AO=CO；③AD=BC中任意選取兩個(gè)作為條件，“四邊形ABCD是平行四邊形”為結(jié)論構(gòu)造命題． （1）以①②作為條件構(gòu)成的命題是真命題嗎？若是，請(qǐng)證明；若不是，請(qǐng)舉出反例； （2）寫出按題意構(gòu)成的所有命題中的假命題，并舉出反例加以說明．（命題請(qǐng)寫成“如果…，那么…．”的形式） 【答案】（1）解：以①②作為條件構(gòu)成的命題是真命題， 證明：∵AB∥CD， ∴∠OAB=∠OCD， 在△AOB和△COD中， ， ∴△AOB≌△COD（ASA）， ∴OB=OD， ∴四邊形ABCD是平行四邊形 （2）解：根據(jù)①③作為條件構(gòu)成的命題是假命題，即如果有一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等，那么四邊形是平行四邊形，如等腰梯形符合，但不是平行四邊形； 根據(jù)②③作為條件構(gòu)成的命題是假命題，即如果一個(gè)四邊形ABCD的對(duì)角線交于O，且OA=OC，AD=BC，那么這個(gè)四邊形是平行四邊形，如圖， 根據(jù)已知不能推出OB=OD或AD∥BC或AB=DC，即四邊形不是平行四邊形． 【解析】【分析】（1）根據(jù)平行得出全等三角形，即可求出OB=OD，根據(jù)平行四邊形的判定推出即可；（2）根據(jù)等腰梯形和平行四邊形的判定判斷即可． 23. 正方形ABCD和正方形AEFG有公共頂點(diǎn)A，將正方形AEFG繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角∠DAG=α，其中0≤α≤180，連結(jié)DF，BF，如圖． （1）若α=0，則DF=BF，請(qǐng)加以證明； （2）試畫一個(gè)圖形（即反例），說明（1）中命題的逆命題是假命題； （3）對(duì)于（1）中命題的逆命題，如果能補(bǔ)充一個(gè)條件后能使該逆命題為真命題，請(qǐng)直接寫出你認(rèn)為需要補(bǔ)充的一個(gè)條件，不必說明理由． 【答案】（1）證明：如圖1，∵四邊形ABCD和四邊形AEFG為正方形， ∴AG=AE，AD=AB，GF=EF，∠DGF=∠BEF=90， ∴DG=BE， 在△DGF和△BEF中， ， ∴△DGF≌△BEF（SAS）， ∴DF=BF （2）解：圖形（即反例）如圖2， （3）解：補(bǔ)充一個(gè)條件為：點(diǎn)F在正方形ABCD內(nèi)； 即：若點(diǎn)F在正方形ABCD內(nèi)，DF=BF，則旋轉(zhuǎn)角α=0 【解析】【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)證明△DGF≌△BEF即可；（2）當(dāng)α=180時(shí)，DF=BF．（3）利用正方形的性質(zhì)和△DGF≌△BEF的性質(zhì)即可證得是真命題．