《九年級數(shù)學 第2講 二次函數(shù)探究-二次函數(shù)與等腰三角形的綜合問題教案.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《九年級數(shù)學 第2講 二次函數(shù)探究-二次函數(shù)與等腰三角形的綜合問題教案.doc（15頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

知識講解 二次函數(shù)與等腰三角形的綜合問題 知識點 二次函數(shù)綜合；等腰三角形的性質(zhì)與判定；相似三角形的性質(zhì)； 教學目標 1. 熟練運用所學知識解決二次函數(shù)綜合問題 2．靈活運用數(shù)形結合思想 教學重點 巧妙運用數(shù)形結合思想解決綜合問題； 教學難點 靈活運用技巧及方法解決綜合問題； 知識講解 1.一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)且a≠0），那么y叫做x的二次函數(shù)，它是關于自變量的二次式，二次項系數(shù)必須是非零實數(shù)時才是二次函數(shù)，這也是判斷函數(shù)是不是二次函數(shù)的重要依據(jù)．當b=c=0時，二次函數(shù)y=ax2是最簡單的二次函數(shù)． 2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的三種表達形式分別為：一般式：y=ax2+bx+c，通常要知道圖像上的三個點的坐標才能得出此解析式；頂點式：y=a（x－h(huán)）2+k，通常要知道頂點坐標或?qū)ΨQ軸才能求出此解析式；交點式：y=a（x－x1）（x－x2），通常要知道圖像與x軸的兩個交點坐標x1，x2才能求出此解析式；對于y=ax2+bx+c而言，其頂點坐標為（－，）．對于y=a（x－h(huán)）2+k而言其頂點坐標為（h，k），由于二次函數(shù)的圖像為拋物線，因此關鍵要抓住拋物線的三要素：開口方向，對稱軸，頂點． 考點2 等腰三角形的性質(zhì) 1.等腰三角形的兩個底角度數(shù)相等（簡寫成“等邊對等角”）。 2.等腰三角形的頂角的平分線，底邊上的中線，底邊上的高重合（簡寫成“等腰三角形的三線合一性質(zhì)”）。 3.等腰三角形的兩底角的平分線相等（兩條腰上的中線相等，兩條腰上的高相等）。 4.等腰三角形底邊上的垂直平分線到兩條腰的距離相等。 5.等腰三角形的一腰上的高與底邊的夾角等于頂角的一半。 6.等腰三角形底邊上任意一點到兩腰距離之和等于一腰上的高（需用等面積法證明）。 7.等腰三角形是軸對稱圖形，（不是等邊三角形的情況下）只有一條對稱軸，頂角平分線所在的直線是它的對稱軸，等邊三角形有三條對稱軸。 8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方 9.等腰三角形的腰與它的高的直接的關系是：腰大于高。間接的關系是：腰的平方等于高的平方加底的一半的平方。 考點3 探究等腰三角形的一般思路 探究等腰三角形的存在性問題時，具體方法如下： （1）假設結論成立； （2）找點：當所給定長未說明是等腰的底還是腰時，需分情況討論，具體方法如下： ①當定長為腰時，找已知直線上滿足條件的點時，以定長的某一端點為圓心，以定長為半徑畫弧，若所畫弧與數(shù)軸或拋物線有交點且交點不是定長的另一端點時，交點即為所求的點；若所畫弧與數(shù)軸或拋物線無交點或交點是定長的另一端點時，滿足條件的點不存在； ②當定長為底邊時，根據(jù)尺規(guī)作圖作出定長的垂直平分線，若作出的垂直平分線與數(shù)軸或拋物線有交點，則交點即為所求的點，若作出的垂直平分線與數(shù)軸或拋物線無交點，則滿足條件的點不存在。 以上方法即可找出所有符合條件的點； （3）計算：在求點坐標時，大多時候利用相似三角形求解，如果圖形中沒有相似三角形，可以通過添加輔助線構造相似三角形，有時也可利用直角三角形的性質(zhì)進行求解。 例題精析 例1 如圖，拋物線y＝- x2+ x-4與x軸相交于點Ａ、Ｂ，與y軸相交于點Ｃ，拋物線的對稱軸與x軸相交于點Ｍ。Ｐ是拋物線在x軸上方的一個動點（點Ｐ、Ｍ、Ｃ不在同一條直線上）。分別過點Ａ、Ｂ作直線ＣＰ的垂線，垂足分別為Ｄ、Ｅ，連接ＭＤ、ＭＥ。 （1）求點Ａ、Ｂ的坐標（直接寫出結果），并證明△ＭＤＥ是等腰三角形； （2）△ＭＤＥ能否為等腰直角三角形？若能，求此時點Ｐ的坐標，若不能，說明理由； （3）若將“Ｐ是拋物線在x軸上方的一個動點（點Ｐ、Ｍ、Ｃ不在同一條直線上）”改為“Ｐ是拋物線在x軸下方的一個動點”，其他條件不變，△ＭＤＥ能否為等腰直角三角形？若能，求此時點Ｐ的坐標（直接寫出結果），若不能，說明理由。  例2如圖，已知拋物線y=﹣x2+bx+4與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，若已知A點的坐標為A（﹣2，0）． （1）求拋物線的解析式及它的對稱軸方程； （2）求點C的坐標，連接AC、BC并求線段BC所在直線的解析式； （3）試判斷△AOC與△COB是否相似？并說明理由； （4）在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使△ACQ為等腰三角形？若不存在，求出符合條件的Q點坐標；若不存在，請說明理由．  例3如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸的一個交點為A（3，0），與y軸的交點為B（0，3），其頂點為C，對稱軸為x=1． （1）求拋物線的解析式； （2）已知點M為y軸上的一個動點，當△ABM為等腰三角形時，求點M的坐標； （3）將△AOB沿x軸向右平移m個單位長度（0＜m＜3）得到另一個三角形，將所得的三角形與△ABC重疊部分的面積記為S，用m的代數(shù)式表示S．  例4在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=x2﹣（m+n）x+mn（m＞n）與x軸相交于A、B兩點（點A位于點B的右側），與y軸相交于點C． （1）若m=2，n=1，求A、B兩點的坐標； （2）若A、B兩點分別位于y軸的兩側，C點坐標是（0，﹣1），求∠ACB的大小； （3）若m=2，△ABC是等腰三角形，求n的值．  例5如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點M（﹣2，），頂點坐標為N（﹣1，），且與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點． （1）求拋物線的解析式； （2）點P為拋物線對稱軸上的動點，當△PBC為等腰三角形時，求點P的坐標； （3）在直線AC上是否存在一點Q，使△QBM的周長最?。咳舸嬖?，求出Q點坐標；若不存在，請說明理由．  課程小結 有針對性的對等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)及二次函數(shù)的基礎知識進行復習，有助于為研究二次函數(shù)與等腰三角形的綜合問題提供有利的依據(jù)。在探究二次函數(shù)與等腰三角形的綜合問題時，抓住已有的信息及條件在函數(shù)圖像中構造出等腰三角形，并能運用等腰三角形的性質(zhì)解決問題，掌握此類問題的解題思路及技巧是解決問題的關鍵。 例1【規(guī)范解答】（1）拋物線解析式為y=﹣x2+ x﹣4，令y=0，即﹣x2+ x﹣4=0，解得x=1或x=5， ∴A（1，0），B（5，0）． 如答圖1所示， 分別延長AD與EM，交于點F；∵AD⊥PC，BE⊥PC，∴AD∥BE，∴∠MAF=∠MBE； 在△AMF與△BME中，∠MAF=∠MBE，MA=MB,∠AMF=∠BME；∴△AMF≌△BME（ASA）， ∴ME=MF，即點M為Rt△EDF斜邊EF的中點，∴MD=ME，即△MDE是等腰三角形 （2）能；拋物線解析式為y=﹣x2+ x﹣4=﹣（x﹣3）2+ ，∴對稱軸是直線x=3，M（3，0）； 令x=0，得y=﹣4，∴C（0，﹣4）△MDE為等腰直角三角形，有3種可能的情形； ①若DE⊥EM，由DE⊥BE，可知點E、M、B在一條直線上，而點B、M在x軸上，因此點E必然在x軸上， 由DE⊥BE，可知點E只能與點O重合，即直線PC與y軸重合，不符合題意，故此種情況不存在； ②若DE⊥DM，與①同理可知，此種情況不存在； ③若EM⊥DM，如答圖2所示 設直線PC與對稱軸交于點N，∵EM⊥DM，MN⊥AM，∴∠EMN=∠DMA在△ADM與△NEM中，∠EMN=∠DMA，EM=DM,∠ADM=∠NEM=135；∴△ADM≌△NEM（ASA），∴MN=MA 拋物線解析式為y=﹣x2+x﹣4=﹣（x﹣3）2+，故對稱軸是直線x=3，∴M（3，0），MN=MA=2， ∴N（3，2）設直線PC解析式為y=kx+b，∵點N（3，2），C（0，﹣4）在拋物線上， ∴ ，解得k=2，b=﹣4，∴y=2x﹣4，將y=2x﹣4代入拋物線解析式得2x﹣4=﹣x2+x﹣4 解得x=0或x=，當x=0時，交點為點C；當x=時，y=2x﹣4=3 ∴P（ ，3）綜上所述，△MDE能成為等腰直角三角形，此時點P坐標為（ ，3） （3）能；如答題3所示，設對稱軸與直線PC交于點N； 與（2）同理，可知若△MDE為等腰直角三角形，直角頂點只能是點M；∵MD⊥ME，MA⊥MN，∴∠DMN=∠EMB 在△DMN與△EMB中，∠DMN=∠EMB，MD=MB,∠MDN=∠MEB=45；∴△DMN≌△EMB（ASA）， ∴MN=MB；∴N（3，﹣2） 設直線PC解析式為y=kx+b，∵點N（3，﹣2），C（0，﹣4）在拋物線上， ∴，解得k=，b=﹣4，∴y=x﹣4， 將y=x﹣4代入拋物線解析式得x﹣4=﹣x2+x﹣4， 解得x=0或x= ， 當x=0時，交點為點C； 當x= 時，y=x﹣4=，∴P（，） 綜上所述，△MDE能成為等腰直角三角形，此時點P坐標為（ ， ） 【總結與反思】 （1）在拋物線解析式中，令y=0，解一元二次方程，可求得點A、點B的坐標； 如答圖1所示，作輔助線，構造全等三角形△AMF≌△BME，得到點M為為Rt△EDF斜邊EF的中點，從而得到MD=ME，問題得證； （2）首先分析，若△MDE為等腰直角三角形，直角頂點只能是點M；如答圖2所示，設直線PC與對稱軸交于點N，首先證明△ADM≌△NEM，得到MN=AM，從而求得點N坐標為（3，2）；其次利用點N、點C坐標，求出直線PC的解析式；最后聯(lián)立直線PC與拋物線的解析式，求出點P的坐標； （3）當點P是拋物線在x軸下方的一個動點時，解題思路與（2）完全相同； 例2【規(guī)范解答】（1）∵拋物線y=﹣x2+bx+4的圖象經(jīng)過點A（﹣2，0）， ∴﹣（﹣2）2+b（﹣2）+4=0，解得：b=，∴拋物線解析式為 y=﹣x2+x+4， 又∵y=﹣x2+x+4=﹣（x﹣3）2+，∴對稱軸方程為：x=3． （2）在y=﹣x2+x+4中，令x=0，得y=4，∴C（0，4）；令y=0，即﹣x2+x+4=0，整理得x2﹣6x﹣16=0，解得：x=8或x=﹣2，∴A（﹣2，0），B（8，0）． 設直線BC的解析式為y=kx+b， 把B（8，0），C（0，4）的坐標分別代入解析式，得： ，解得k=，b=4，∴直線BC的解析式為：y=x+4． （3）可判定△AOC∽△COB成立．理由如下：在△AOC與△COB中， ∵OA=2，OC=4，OB=8，∴，又∵∠AOC=∠BOC=90，∴△AOC∽△COB． （4）∵拋物線的對稱軸方程為：x=3，可設點Q（3，t），則可求得： AC===，AQ==，CQ==． ①當AQ=CQ時，有=，25+t2=t2﹣8t+16+9，解得t=0， ∴Q1（3，0）； ②當AC=AQ時，有=，t2=﹣5，此方程無實數(shù)根，∴此時△ACQ不能構成等腰三角形； ③當AC=CQ時，有=，整理得：t2﹣8t+5=0，解得：t=4， ∴點Q坐標為：Q2（3，4+），Q3（3，4﹣）． 綜上所述，存在點Q，使△ACQ為等腰三角形，點Q的坐標為：Q1（3，0），Q2（3，4+），Q3（3，4﹣）． 【總結與反思】 （1）利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，利用配方法或利用公式x=求出對稱軸方程； （2）在拋物線解析式中，令x=0，可求出點C坐標；令y=0，可求出點B坐標．再利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式； （3）根據(jù)，∠AOC=∠BOC=90，可以判定△AOC∽△COB； （4）本問為存在型問題．若△ACQ為等腰三角形，則有三種可能的情形，需要分類討論，逐一計算，避免漏解． 例3【規(guī)范解答】解：（1）由題意可知，拋物線y=ax2+bx+c與x軸的另一個交點為（﹣1，0），則 ，解得．故拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3． （2）①當MA=MB時，M（0，0）； ②當AB=AM時，M（0，﹣3）； ③當AB=BM時，M（0，3+3）或M（0，3﹣3）． 所以點M的坐標為：（0，0）、（0，﹣3）、（0，3+3）、（0，3﹣3）． （3）平移后的三角形記為△PEF．設直線AB的解析式為y=kx+b，則 ，解得．則直線AB的解析式為y=﹣x+3． △AOB沿x軸向右平移m個單位長度（0＜m＜3）得到△PEF，易得直線EF的解析式為y=﹣x+3+m． 設直線AC的解析式為y=k′x+b′，則，解得． 則直線AC的解析式為y=﹣2x+6．連結BE，直線BE交AC于G，則G（，3）． 在△AOB沿x軸向右平移的過程中． ①當0＜m≤時，如圖1所示．設PE交AB于K，EF交AC于M．則BE=EK=m，PK=PA=3﹣m， 聯(lián)立，解得，即點M（3﹣m，2m）． 故S=S△PEF﹣S△PAK﹣S△AFM=PE2﹣PK2﹣AF?h=﹣（3﹣m）2﹣m?2m=﹣m2+3m． ②當＜m＜3時，如圖2所示．設PE交AB于K，交AC于H．因為BE=m，所以PK=PA=3﹣m， 又因為直線AC的解析式為y=﹣2x+6，所以當x=m時，得y=6﹣2m，所以點H（m，6﹣2m）． 故S=S△PAH﹣S△PAK=PAPH﹣PA2=﹣（3﹣m）（6﹣2m）﹣（3﹣m）2=m2﹣3m+． 綜上所述，當0＜m≤時，S=﹣m2+3m；當＜m＜3時，S=m2﹣3m+． 【總結與反思】（1）根據(jù)對稱軸可知，拋物線y=ax2+bx+c與x軸的另一個交點為（﹣1，0），根據(jù)待定系數(shù)法可得拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3． （2）分三種情況：①當MA=MB時；②當AB=AM時；③當AB=BM時；三種情況討論可得點M的坐標． （3）平移后的三角形記為△PEF．根據(jù)待定系數(shù)法可得直線AB的解析式為y=﹣x+3．易得直線EF的解析式為y=﹣x+3+m．根據(jù)待定系數(shù)法可得直線AC的解析式．連結BE，直線BE交AC于G，則G（，3）．在△AOB沿x軸向右平移的過程中．分二種情況：①當0＜m≤時；②當＜m＜3時；討論可得用m的代數(shù)式表示S． 例4【規(guī)范解答】解：（1）∵y=x2﹣（m+n）x+mn=（x﹣m）（x﹣n），∴x=m或x=n時，y都為0， ∵m＞n，且點A位于點B的右側，∴A（m，0），B（n，0）． ∵m=2，n=1，∴A（2，0），B（1，0）． （2）∵拋物線y=x2﹣（m+n）x+mn（m＞n）過C（0，﹣1），∴﹣1=mn，∴n=﹣， ∵B（n，0），∴B（﹣，0）．∵AO=m，BO=﹣，CO=1 ∴AC==，BC==，AB=AO+BO=m﹣， ∵（m﹣）2=（）2+（）2，∴AB2=AC2+BC2，∴∠ACB=90． （3）∵A（m，0），B（n，0），C（0，mn），且m=2，∴A（2，0），B（n，0），C（0，2n）． ∴AO=2，BO=|n|，CO=|2n|，∴AC==，BC==|n|，AB=xA﹣xB=2﹣n． ①當AC=BC時，=|n|，解得n=2（A、B兩點重合，舍去）或n=﹣2； ②當AC=AB時，=2﹣n，解得n=0（B、C兩點重合，舍去）或n=﹣； ③當BC=AB時，|n|=2﹣n，當n＞0時，n=2﹣n，解得n=，當n＜0時，﹣n=2﹣n，解得n=﹣． 綜上所述，n=﹣2，﹣，﹣，時，△ABC是等腰三角形． 【總結與反思】 （1）已知m，n的值，即已知拋物線解析式，求解y=0時的解即可．此時y=x2﹣（m+n）x+mn=（x﹣m）（x﹣n），所以也可直接求出方程的解，再代入m，n的值，推薦此方式，因為后問用到的可能性比較大． （2）求∠ACB，我們只能考慮討論三角形ABC的形狀來判斷，所以利用條件易得﹣1=mn，進而可以用m來表示A、B點的坐標，又C已知，則易得AB、BC、AC邊長．討論即可． （3）△ABC是等腰三角形，即有三種情形，AB=AC，AB=BC，AC=BC．由（2）我們可以用n表示出其三邊長，則分別考慮列方程求解n即可． 例5【規(guī)范解答】解：（1）由拋物線頂點坐標為N（﹣1，），可設其解析式為y=a（x+1）2+， 將M（﹣2，）代入，得=a（﹣2+1）2+，解得a=﹣， 故所求拋物線的解析式為y=﹣x2﹣x+； （2）∵y=﹣x2﹣x+，∴x=0時，y=，∴C（0，）．y=0時，﹣x2﹣x+=0， 解得x=1或x=﹣3，∴A（1，0），B（﹣3，0），∴BC==2． 設P（﹣1，m），顯然PB≠PC，所以 當CP=CB時，有CP==2，解得m=； 當BP=BC時，有BP==2，解得m=2． 綜上，當△PBC為等腰三角形時， 點P的坐標為（﹣1，+），（﹣1，﹣），（﹣1，2），（﹣1，﹣2）； （3）由（2）知BC=2，AC=2，AB=4，所以BC2+AC2=AB2，即BC⊥AC． 連結BC并延長至B′，使B′C=BC，連結B′M，交直線AC于點Q，∵B、B′關于直線AC對稱， ∴QB=QB′，∴QB+QM=QB′+QM=MB′，又BM=2，所以此時△QBM的周長最?。? 由B（﹣3，0），C（0，），易得B′（3，2）．設直線MB′的解析式為y=kx+n， 將M（﹣2，），B′（3，2）代入，得，解得，即直線MB′的解析式為y=x+． 同理可求得直線AC的解析式為y=﹣x+．由，解得，即Q（﹣，）． 所以在直線AC上存在一點Q（﹣，），使△QBM的周長最?。? 【總結與反思】 （1）先由拋物線的頂點坐標為N（﹣1，），可設其解析式為y=a（x+1）2+，再將M（﹣2，）代入，得=a（﹣2+1）2+，解方程求出a的值即可得到拋物線的解析式； （2）先求出拋物線y=﹣x2﹣x+與x軸交點A、B，與y軸交點C的坐標，再根據(jù)勾股定理得到BC==2．設P（﹣1，m），顯然PB≠PC，所以當△PBC為等腰三角形時分兩種情況進行討論：①CP=CB；②BP=BC； （3）先由勾股定理的逆定理得出BC⊥AC，連結BC并延長至B′，使B′C=BC，連結B′M，交直線AC于點Q，由軸對稱的性質(zhì)可知此時△QBM的周長最小，由B（﹣3，0），C（0，），根據(jù)中點坐標公式求出B′（3，2），再運用待定系數(shù)法求出直線MB′的解析式為y=x+，直線AC的解析式為y=﹣x+，然后解方程組，即可求出Q點的坐標 ．