7　第1課時(shí)　相似三角形中特殊線段的性質(zhì) 知識(shí)點(diǎn)　對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)角平分線、對(duì)應(yīng)中線的比 1．已知△ABC∽△DEF，若△ABC與△DEF的相似比為，則△ABC與△DEF對(duì)應(yīng)角平分線的比為(　　) A. B. C. D. 2．如圖4－7－1，△ABC∽△A′B′C′，AD，BE分別是△ABC的高和中線，A′D′，B′E′分別是△A′B′C′的高和中線，且AD＝4，A′D′＝3，BE＝6，則B′E′的長(zhǎng)為(　　) 圖4－7－1 A. B. C. D. 3．已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它們的對(duì)應(yīng)角平分線，已知AD＝8 cm，A′D′＝3 cm，則△ABC與△A′B′C′的對(duì)應(yīng)高的比為_(kāi)_______． 4．已知△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′是它們的對(duì)應(yīng)中線，已知＝，B′D′＝4，則BD的長(zhǎng)是________． 5．如圖4－7－2是一個(gè)照相機(jī)成像的示意圖，如果底片AB寬40 mm，焦距是60 mm，求所拍攝的2 m外景物的寬CD. 圖4－7－2 6．已知△ABC∽△A′B′C′且相似比為，△A′B′C′∽△A″B″C″且相似比為，則△ABC與△A″B″C″的相似比為(　　) A. B. C. D.或 7．如圖4－7－3所示，某校宣傳欄后面2 m處種了一排樹(shù)，每隔2 m一棵，共種了6棵，小勇站在距宣傳欄中間位置的垂直距離3 m處，正好看到這排樹(shù)兩端的樹(shù)干，其余的4棵樹(shù)均被擋住，那么宣傳欄的長(zhǎng)為_(kāi)_______m．(不計(jì)宣傳欄的厚度) 圖4－7－3　　圖4－7－4 8．[xx安順] 如圖4－7－4，矩形EFGH內(nèi)接于△ABC，且邊FG落在BC上，若AD⊥BC，BC＝3，AD＝2，EF＝EH，則EH的長(zhǎng)為_(kāi)_______． 9．某高中學(xué)校為高一新生設(shè)計(jì)的學(xué)生板凳的正面示意圖如圖4－7－5所示．其中BA＝CD，BC＝20 cm，BC，EF平行于地面AD且到地面AD的距離分別為40 cm，8 cm，為使板凳兩腿底端A，D之間的距離為50 cm，那么橫梁EF應(yīng)為多長(zhǎng)？(材質(zhì)及其厚度等暫忽略不計(jì)) 圖4－7－5 10．如圖4－7－6，△ABC是一張銳角三角形的硬紙片，AD是邊BC上的高，BC＝40 cm，AD＝30 cm，從這張硬紙片上剪下一個(gè)長(zhǎng)HG是寬HE的2倍的矩形EFGH，使它的一邊EF在BC上，頂點(diǎn)G，H分別在AC，AB上，AD與HG的交點(diǎn)為M. (1)求證：＝； (2)求矩形EFGH的周長(zhǎng)． 圖4－7－6 11．如圖4－7－7所示，有一偵察員在距敵方200 m的A處發(fā)現(xiàn)敵人的一座建筑物DE，但不知其高度，又不能靠近建筑物測(cè)量，機(jī)靈的偵察員將食指豎直舉在右眼前，閉上左眼，并將食指前后移動(dòng)，使食指恰好能將建筑物遮?。舸藭r(shí)眼睛到食指的距離約為40 cm，食指的長(zhǎng)約為8 cm，你能根據(jù)上述條件計(jì)算出敵方建筑物DE的高度嗎？請(qǐng)寫(xiě)出你的推理過(guò)程． 圖4－7－7 12．一塊三角板的一條直角邊AB的長(zhǎng)為1.5 m，面積為1.5 m2，要把它加工成一個(gè)面積盡可能大的正方形桌面，甲、乙兩名同學(xué)的加工方法如圖4－7－8①②所示，請(qǐng)你用學(xué)過(guò)的知識(shí)說(shuō)明哪名同學(xué)的加工方法更好．(加工損耗忽略不計(jì)，計(jì)算結(jié)果中的分?jǐn)?shù)可保留) 圖4－7－8 13．從三角形(不是等腰三角形)一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對(duì)邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的完美分割線． (1)如圖4－7－9①，在△ABC中，CD為角平分線，∠A＝40，∠B＝60，求證：CD是△ABC的完美分割線； (2)如圖②，在△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD是以CD為底邊的等腰三角形，求完美分割線CD的長(zhǎng)． 圖4－7－9  詳解 1．A 2．D　[解析] ∵△ABC∽△A′B′C′，AD，BE分別是△ABC的高和中線，A′D′，B′E′分別是△A′B′C′的高和中線，∴＝.∵AD＝4，A′D′＝3，BE＝6，∴＝，解得B′E′＝. 3.　4.6 5．解：由題意，可知△ABE∽△DCE， ∴＝，解得CD＝. 答：所拍攝的2 m外景物的寬CD為 m. 6．C　[解析] 設(shè)△ABC，△A′B′C′，△A″B″C″的一組對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)分別為x，y，z. ∵△ABC∽△A′B′C′且相似比為， △A′B′C′∽△A″B″C″且相似比為， ∴＝，＝，即x＝，z＝， ∴＝，即△ABC與△A″B″C″的相似比為.故選C. 7．6　 8． 9．解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CM∥BA，分別交EF，AD于點(diǎn)N，M，過(guò)點(diǎn)C作CP⊥AD，分別交EF，AD于點(diǎn)Q，P. 由題意，得四邊形ABCM是平行四邊形， ∴EN＝AM＝BC＝20 cm， ∴MD＝AD－AM＝50－20＝30(cm)． 由題意知CP＝40 cm，PQ＝8 cm， ∴CQ＝32 cm. ∵EF∥AD，∴△CNF∽△CMD， ∴＝，即＝， 解得NF＝24(cm)． ∴EF＝EN＋NF＝20＋24＝44(cm)． 答：橫梁EF應(yīng)為44 cm. 10．解：(1)證明：(證法一)∵四邊形EFGH為矩形，∴EF∥GH，∴△AHG∽△ABC. ∵AD⊥BC，EF∥GH，∴AM⊥HG， ∴＝； (證法二)∵四邊形EFGH為矩形， ∴EF∥GH， ∴△AHG∽△ABC，△AHM∽△ABD， ∴＝，＝，∴＝. (2)由(1)得＝. 設(shè)HE＝x cm，則HG＝2x cm， ∵AD⊥BC，∴DM＝HE， ∴AM＝AD－DM＝AD－HE＝(30－x)cm. 可得＝，解得x＝12，2x＝24. 故矩形EFGH的周長(zhǎng)為2(12＋24)＝72(cm)． 11．解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，并延長(zhǎng)交DE于點(diǎn)F. ∵BC∥DE， ∴AF⊥DE，∠D＝∠ABC，∠AED＝∠ACB， ∴△ADE∽△ABC，∴＝， ∴DE＝＝＝40(m)． 答：敵方建筑物DE的高度為40 m. 12．解：由AB＝1.5 m，S△ABC＝1.5 m2，得BC＝2 m. 在題圖①中，設(shè)甲同學(xué)加工的正方形桌面的邊長(zhǎng)為x m. ∵DE∥AB，∴Rt△CDE∽R(shí)t△CBA， ∴＝， 即＝，解得x＝； 如圖，在題圖②中，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC，交AC于點(diǎn)H，交DE于點(diǎn)P. AC＝＝＝2.5(m)， BH＝＝＝1.2(m)． 設(shè)乙同學(xué)加工的正方形桌面的邊長(zhǎng)為y m. ∵DE∥AC， ∴△BDE∽△BAC， ∴＝， 即＝，解得y＝. ∵＝>，即x>y， ∴x2>y2， ∴甲同學(xué)的加工方法更好． 13．解：(1)證明：∵∠A＝40，∠B＝60， ∴∠ACB＝80，∴△ABC不是等腰三角形． ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝40， ∴∠ACD＝∠A＝40， ∴△ACD是等腰三角形． ∵∠BCD＝∠A＝40，∠CBD＝∠ABC， ∴△BCD∽△BAC， ∴CD是△ABC的完美分割線． (2)由題意得△BCD∽△BAC， ∴＝. ∵AC＝AD＝2，BC＝， 設(shè)BD＝x，則AB＝x＋2， ∴＝， 解得x＝－1， ∵x＞0，∴BD＝x＝－1. ∵△BCD∽△BAC，∴＝. ∵AC＝2，BC＝，BD＝－1， ∴CD＝＝2＝－.