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2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題 理 (IV) 一、選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的） 1.已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則的虛部是 A．1 B． C．－1 D． 2.利用反證法證明“若，則且”時，下列假設(shè)正確的是 A．且 B．且 C．或 D．或 3.若，則的值為 A．1 B．7 C．20 D．35 4. 展開式中，含項的系數(shù)為 A． 30 B．70 C．90 D．－150 5.下面四個命題：其中正確的有 ①是兩個相等的實數(shù)，則是純虛數(shù)；②任何兩個復(fù)數(shù)不能比較大?。? ③若，，且，則；④兩個共軛虛數(shù)的差為純虛數(shù)． A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 6.在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，由曲線，，和x軸所圍成的封閉圖形的面積為 A． B． C. D． 7.已知，則的值等于 A．64 B．32 C. 63 D．31 8.現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張，從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為 A．232 B．252 C. 472 D．484 9.設(shè)三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，函數(shù)的圖象的一部分如圖所示，則 A.f(x)的極大值為，極小值為 B. f(x)的極大值為，極小值為 C. f(x)的極大值為，極小值為 D. f(x)的極大值為，極小值為 10. 在平面直角坐標(biāo)系中，滿足，，的點的集合對應(yīng)的平面圖形的面積為；類似的，在空間直角坐標(biāo)系中，滿足,，， 的點的集合對應(yīng)的空間幾何體的體積為 A . B. C. D. 11. 函數(shù) A.極大值為，極小值為B.極大值為，極小值為 C.極大值為，極小值為 D.極大值為，極小值為， 12.設(shè)函數(shù)在上存在導(dǎo)函數(shù)，對于任意的實數(shù)，都，當(dāng)時，，若，則實數(shù)的最小值為 A． B． C． D． 二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分） 13.若函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是　 ?。? 14.將9個相同的小球放入3個不同的盒子，要求每個盒子中至少有1個小球，且每個盒子中的小球個數(shù)都不相同，則共有________種不同的放法.　 　　 　　 　 15.設(shè)且，若能被整數(shù)，則　 ?。? 16.如圖所示的數(shù)陣中，第20行第2個數(shù)字是　 ?。? 三、解答題（共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟） 17. （10分）已知復(fù)數(shù)滿足（其中為虛數(shù)單位） （Ⅰ）求； （Ⅱ）若為純虛數(shù)，求實數(shù)的值。 18. （12分）已知函數(shù)． （Ⅰ）求曲線在點處的切線方程； （Ⅱ）求曲線的單調(diào)區(qū)間及在上的最大值． 19. （12分）已知（，）展開式的前三項的二項式系數(shù)之和 為16，所有項的系數(shù)之和為1. （Ⅰ）求和的值； （Ⅱ）展開式中是否存在常數(shù)項？若有，求出常數(shù)項；若沒有，請說明理由； （Ⅲ）求展開式中二項式系數(shù)最大的項. 20. （12分）由四個不同的數(shù)字1，2，4，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).（最后的結(jié)果用數(shù)字表達(dá)） （Ⅰ）若,其中能被5整除的共有多少個？ （Ⅱ）若，其中能被3整除的共有多少個？ （Ⅲ）若，其中的偶數(shù)共有多少個？ （Ⅳ）若所有這些三位數(shù)的各位數(shù)字之和是252，求． 21. （12分）已知， （其中）. （Ⅰ）求及； （Ⅱ）試比較與的大小，并用數(shù)學(xué)歸納法給出證明過程. 22. （12分）已知函數(shù). （Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性； （Ⅱ）當(dāng)函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍. 試卷答案 1.C 2.C 3.D 4.B 5.A 6.A 7.C 8.C 9.D 10.B 11.B 12.A 13. 14.18 15.12 16. 17. (1) (2) 18. (1)； (2)單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間為,最大值為17. 19.（1）由題意，，即. 解得，或（舍去），所以. 因為所有項的系數(shù)之和為1，所以，解得. （2）因為，. 令，解得，所以展開式中不存在常數(shù)項. （3）由展開式中二項式系數(shù)的性質(zhì)，知展開式中中間兩項的二項式系數(shù)最大，二項式系數(shù)最大的兩項為：； . 20.解：（1）若x=5，則四個數(shù)字為1，2，4，5； 又由要求的三位數(shù)能被5整除，則5必須在末尾， 在1、2、4三個數(shù)字中任選2個，放在前2位，有A32=6種情況， 即能被5整除的三位數(shù)共有6個； （2）若x=9，則四個數(shù)字為1，2，4，9； 又由要求的三位數(shù)能被3整除，則這三個數(shù)字為1、2、9或2、4、9， 取出的三個數(shù)字為1、2、9時，有A33=6種情況， 取出的三個數(shù)字為2、4、9時，有A33=6種情況， 則此時一共有6+6=12個能被3整除的三位數(shù)； （3）若x=0，則四個數(shù)字為1，2，4，0； 又由要求的三位數(shù)是偶數(shù)，則這個三位數(shù)的末位數(shù)字為0或2或4， 當(dāng)末位是0時，在1、2、4三個數(shù)字中任選2個，放在前2位，有A32=6種情況， 當(dāng)末位是2或4時，有A21A21A21=8種情況， 此時三位偶數(shù)一共有6+8=14個， （4）若x=0，可以組成C31C31C21=332=18個三位數(shù)，即1、2、4、0四個數(shù)字最多出現(xiàn)18次， 則所有這些三位數(shù)的各位數(shù)字之和最大為（1+2+4）18=126，不合題意，故x=0不成立； 當(dāng)x≠0時，可以組成無重復(fù)三位數(shù)共有C41C31C21=432=24種，共用了243=72個數(shù)字，則每個數(shù)字用了=18次， 則有252=18（1+2+4+x），解可得x=7． 21. （1）取x=1，則a0=2n； 取x=2，則a0+a1+a2+a3++an=3n，∴Sn=a1+a2+a3++an=3n-2n； （2）要比較Sn與（n-2）2n+2n2的大小， 即比較：3n與（n-1）2n+2n2的大小， 當(dāng)n=1時，3n＞（n-1）2n+2n2； 當(dāng)n=2，3時，3n＜（n-1）2n+2n2； 當(dāng)n=4，5時，3n＞（n-1）2n+2n2 猜想：當(dāng)n≥4時，3n＞（n-1）2n+2n2， 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： 由上述過程可知，n=4時結(jié)論成立， 假設(shè)當(dāng)n=k，（k≥4）時結(jié)論成立，即3k＞（k-1）2k+2k2， 兩邊同乘以3得：3k+1＞3 [（k-1）2k+2k2]=k2k+1+2（k+1）2+[（k-3）2k+4k2-4k-2] 而（k-3）2k+4k2-4k-2=（k-3）2k+4（k2-k-2）+6=（k-3）2k+4（k-2）（k+1）+6＞0 ∴3k+1＞（（k+1）-1）2k+1+2（k+1）2 即n=k+1時結(jié)論也成立，∴當(dāng)n≥4時，3n＞（n-1）2n+2n2成立． 22.（1）解：由題意得 ①當(dāng)時，令，則；令，則， ∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增； ②當(dāng)時，令，則或， （?。┊?dāng)時，令，則或；令，則， ∴在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減； （ⅱ）當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞增； （ⅲ）當(dāng)時，令，則或；令，則， ∴在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減； （2）由（1）得當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴在處取得極大值， ∵，∴此時不符合題意； 當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，∴此時不符合題意； 當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減； ∴的處取得極大值，∵，∴此時不符合題意； 當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， ∵，，∴在上有一個零點， （?。┊?dāng)時，令，當(dāng)時， ∵， ∴在上有一個零點，∴此時符合題意； （ⅱ）當(dāng)時，當(dāng)時，， ∴在上沒有零點，此時不符合題意； 綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.