2.4.2二次函數(shù)的應用 一、教學目標 1.經歷探索T恤衫銷售過程中最大利潤等問題的過程，體會二次函數(shù)是一類最優(yōu)化問題的數(shù)學模型,感受數(shù)學的應用價值. 2.掌握實際問題中變量之間的二次函數(shù)關系，并運用二次函數(shù)的知識求出實際問題的最大值、最小值． 二、課時安排 1課時 三、教學重點 運用二次函數(shù)的知識求出實際問題的最大值、最小值． 四、教學難點 運用二次函數(shù)的知識求出實際問題的最大值、最小值． 五、教學過程 （一）導入新課 某超市有一種商品，進價為2元，據市場調查，銷售單價是13元時，平均每天銷售量是50件，而銷售價每降低1元，平均每天就可以多售出10件. 若設降價后售價為x元，每天利潤為y元，則y與x之間的函數(shù)關系是怎樣的？ （二）講授新課 活動1：小組合作 二次函數(shù)y=a(x-h)2+k(a 0)，頂點坐標為（h,k）,則 ①當a>0時，y有最小值k； ②當a<0時，y有最大值k 【探究】某商店經營T恤衫,已知成批購進時單價是2.5元.根據市場調查,銷售量與銷售單價滿足如下關系:在一段時間內,單價是13.5元時,銷售量是500件,而單價每降低1元,就可以多售出200件. 請你幫助分析，銷售單價是多少時,可以獲利最多? 【解析】設銷售單價為x (x≤13.5)元,那么 銷售量可以表示為 : 件; 每件T恤衫的利潤為: 元; 所獲總利潤可以表示為: 元; 即y=-200x2+3 700x-8 000=-200(x-9.25)2+9 112.5 ∴當銷售單價為 元時,可以獲得最大利潤, 最大利潤是 元. 活動2：探究歸納 先將實際問題轉化為數(shù)學問題，再將所求的問題用二次函數(shù)關系式表達出來，然后利用頂點坐標公式或者配方法求出最值，有時必須考慮其自變量的取值范圍，根據圖象求出最值. （三）重難點精講 例題2（武漢中考）某賓館有50個房間供游客住宿，當每個房間的房價為每天180元時，房間會全部住滿．當每個房間每天的房價每增加10元時，就會有一個房間空閑．賓館需對游客居住的每個房間每天支出20元的各種費用．根據規(guī)定，每個房間每天的房價不得高于340元．設每個房間的房價每天增加x元（x為10的整數(shù)倍）． (1)設一天訂住的房間數(shù)為y，直接寫出y與x的函數(shù)關系式及自變量x的取值范圍. (2)設賓館一天的利潤為w元，求w與x的函數(shù)關系式. (3)一天訂住多少個房間時，賓館的利潤最大？最大利潤是多少元？ 【解析】 （1）y=50- ； （2）w=（180+x-20）y=（180+x-20）（50-）= （3）因為w= 所以x==170時，w有最大值，而170>160,故由函數(shù) 性質知x=160時，利潤最大，此時訂房數(shù)y=50- =34， 此時的利潤為10 880元. 例題3（青海中考）某水果批發(fā)商場經銷一種水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克，經市場調查發(fā)現(xiàn)，在進價不變的情況下，若每千克漲價1元，銷售量將減少10千克. （1）現(xiàn)該商場要保證每天盈利1 500元，同時又要顧客得到實惠，那么每千克應漲價多少元？ （2）若該商場單純從經濟利益角度考慮，這種水果每千克漲價多少元，能使商場獲利最多？ 【解析】（1）設每千克應漲價x元，列方程得： (5+x)(200－10x)=1 500， 解得：x1=10， x2=5.因為要顧客得到實惠，5＜10 所以 x=5. 答：每千克應漲價5元. （2）設商場每天獲得的利潤為y元，則根據題意，得 y=( x +5)(200－10x)= －10x2+150x+1 000， 當x=時,y有最大值. 因此，這種水果每千克漲價7.5元，能使商場獲利最多 （四）歸納小結 “何時獲得最大利潤” 問題解決的基本思路. 1.根據實際問題列出二次函數(shù)關系式. 2.根據二次函數(shù)的最值問題求出最大利潤 （五）隨堂檢測 1.（株洲中考）某廣場有一噴水池，水從地面噴出，如圖，以水平地面為軸，出水點為原點，建立平面直角坐標系，水在空中劃出的曲線是拋物線y=-（x-2）2+4（單位：米）的一部分，則水噴出的最大高度是( ) A.4米 B.3米 C.2米 D.1米 2.（德州中考）為迎接第四屆世界太陽城大會，德州市把主要路段路燈更換為太陽能路燈．已知太陽能路燈售價為5 000元/個，目前兩個商家有此產品．甲商家用如下方法促銷：若購買路燈不超過100個，按原價付款；若一次性購買100個以上，則購買的個數(shù)每增加一個，其價格減少10元，但太陽能路燈的售價不得低于3 500元/個．乙商家一律按原價的80℅銷售．現(xiàn)購買太陽能路燈x個，如果全部在甲商家購買，則所需金額為y1元；如果全部在乙商家購買，則所需金額為y2元. （1）分別求出y1，y2與x之間的函數(shù)關系式. （2）若市政府投資140萬元，最多能購買多少個太陽能路燈？ 3.桃河公園要建造圓形噴水池.在水池中央垂直于水面處安裝一個柱子OA,O恰在水面中心,OA=1.25m.由柱子頂端A處的噴頭向外噴水,水流在各個方向沿形狀相同的拋物線落下,為使水流形狀較為漂亮,要求設計成水流在距離OA 1m處達到最大高度2.25m. 如果不計其他因素,那么水池的半徑至少要多少米,才能使噴出的水流不致落到池外？ 4．（青島中考）某市政府大力扶持大學生創(chuàng)業(yè)．李明在政府的扶持下投資銷售一種進價為每件20元的護眼臺燈．銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的關系可近似地看作一次函數(shù)： （1）設李明每月獲得利潤為w（元），當銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？ （2）如果李明想要每月獲得2 000元的利潤，那么銷售單價應定為多少元？ （3）根據物價部門規(guī)定，這種護眼臺燈的銷售單價不得高于32元，如果李明想要每月獲得的利潤不低于2 000元，那么他每月的成本最少需要多少元？ （成本＝進價銷售量） 【答案】 1. 【解析】選A. 拋物線的頂點坐標為（2,4），所以水噴出的最大高度是4米. 2. 【解析】（1）由題意可知， 當x≤100時，購買一個需5 000元，故y1=5 000x 當x>100時，因為購買個數(shù)每增加一個，其價格減少10元但售價不得低于3 500元/個，所以x≤ 即100<x≤250時，購買一個需5 000-10(x-100)元，故y1=6 000x-10x2； 當x>250時，購買一個需3 500元，故y1=3 500x; (2) 當0≤x≤100時，y1=5 000x≤500 000<1 400 000； 當100<x≤250時， y1=6 000x-10x2=-10(x-300)2+900 000<1 400 000； ∴由得到x=400 由得到 故選擇甲商家，最多能購買400個太陽能路燈 3. 【解析】建立如圖所示的坐標系,根據 題意得,點A(0,1.25),頂點B(1,2.25). 設拋物線的表達式為y=a(x-h)2+k,由待定系數(shù)法可求得拋物線表達式為:y=-(x-1)2+2.25. 當y=0時,得點C(2.5,0);同理,點D(-2.5,0). 根據對稱性,那么水池的半徑至少要2.5m, 才能使噴出的水流不致落到池外. 4.解析：（1）由題意，得：w = (x－20)y =(x－20)(-10x+500) =-10x2+700x-10 000 當 時，w有最大值. 答：當銷售單價定為35元時，每月可獲得最大利潤． （2）由題意，得： 解這個方程得：x1 = 30，x2 = 40． 答：李明想要每月獲得2 000元的利潤，銷售單價應定為30元或40元. （3）∵ ∴拋物線開口向下. ∴當30≤x≤40時，w≥2 000． ∵x≤32， ∴當30≤x≤32時，w≥2 000． 設成本為P（元），由題意，得：P=20（-10x+500)= -200x+10 000, ∵k=-200＜0，∴P隨x的增大而減小. ∴當x = 32時，P最?。? 600. 答：想要每月獲得的利潤不低于2 000元，每月的成本最少需要3 600元． 六．板書設計 2.4.2二次函數(shù)的應用 探究： 例題2： 例題3： “何時獲得最大利潤” 問題解決的基本思路. 1.根據實際問題列出二次函數(shù)關系式. 2.根據二次函數(shù)的最值問題求出最大利潤 七、作業(yè)布置 課本P49練習 練習冊相關練習 八、教學反思