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1、第一章 行列式 1. 3 證明：.因為：對換改變排列的奇偶性，即一次變換后，奇排列改變?yōu)榕寂帕校寂帕懈淖優(yōu)槠媾帕挟?dāng)n2時，將所有偶排列變?yōu)槠媾帕校瑢⑺衅媾帕凶優(yōu)榕寂帕?因為兩個數(shù)列依然相等，即所有的情況不變。偶排列與奇排列各占一半。 4 （1）不是行列式的項 是行列式的項 因為它的列排排列逆序列=(4321)=3+2+0+0=5為奇數(shù)，應(yīng)帶負號 （2）不是行列式的項 = 因為它的列排排列逆序列(34512)=2+2+2+0+0=6 為偶數(shù)應(yīng)帶正號。 5 解： 利用為正負數(shù)來做，一共六項，為正，則帶正號，為負則帶負號來做。 6 解：（1）因為它是左下三角形

2、 === （2） =+==0 （3）==32 （4）== 7.證明：將行列式轉(zhuǎn)化為若 零元多于個時，行列式可變?yōu)楣士芍辛惺綖?. 8.（1）5=55 習(xí)題一 13 （1） 根據(jù)“定義法” （2） 根據(jù)“降階法” （3） 注：根據(jù)范達蒙行列式原式= -1 = （4） == 14 （1）證明： (2)證明： （3） （4）“遞推法” 1

3、5.(1) =+ =(ab+1)(cd+1)-[a(-d)]=(ab+1)(cd+1)+ad (2) ==(4-6) (-1-15)=32 (3) =++ =-a(c-d) -a(d-b) -a(d-c) =abd = abd(c-b)(d-b)(c-d) (4) = = =( == 16. 范達 行列式V()== （1） 因為為常數(shù)。所以p(x)是n-1次的多項式 （2） 令p(x)=0.得x=.x=......即p(x)的根為 第二章 矩陣代數(shù) 4. 計算下列矩陣乘積 （1） == (2) ==

4、 (3) . (1,-1，2）=（1*2+（-1）*1+2*4,1*1+(-1）*1+2*2，1*0+（-1）*3+2*1= （9，4，1） （4） （x,y,1） =（x,y,1） = （5） = = 5. 設(shè)A=，B=，求 == == == == == 6. (1) A= n=1時 A= n=2時 = = n=3時 =A= = 假設(shè) （1當(dāng)n=1時，= （2假設(shè)當(dāng)n2時（n為自然數(shù)）成立，令n=k，則=成立； 當(dāng)n=k+1時 =A= = =成立 綜上當(dāng)

5、n微自然數(shù)時 當(dāng)n=1時， 當(dāng)n=2時， 當(dāng)n=3時， 假設(shè)= 當(dāng)n=1時 = 假設(shè)n=k+1時 = =成立 綜上當(dāng)n為自然數(shù)時， 當(dāng)A=2時 n=3時 n=4時 n=5時 假設(shè)n時成立 當(dāng)n=3時 假設(shè)n=k時成立 當(dāng)n=k+1時 = 整理得 成立 所以 綜上 = 7、已知B= 證明{E,當(dāng)n為偶數(shù)； B,當(dāng)n為奇數(shù) 證明：∵ ∴ ∴=｛E,當(dāng)n為偶數(shù)； B,當(dāng)n為奇數(shù) 8、證明兩個n階上三角形矩陣的乘積仍為一個上三角

6、形矩陣。 證明：設(shè)兩個n階上三角形矩陣為A,B, 且A= B= 根據(jù)矩陣乘法，有 AB= 則可知AB為上三角形矩陣 同理，可得BA也為上三角形矩陣。 9、若AB=BA,AC=CA,證明：A、B、C為同階矩陣，且A(B+C)=(B+C)A,A(BC)=BCA. 證：設(shè)A=，B=，C= 由題知AB、BA有意義，則可知必有m=s,又由于AB=BA,且AB為mn階矩陣，則可知m=n,所以A、B均為n階矩陣。同理可知A、C均為n階矩陣，故可得A、B、C為同階矩陣 ② ③ 10、已知n階矩陣A和B滿足等式AB=BA，證明： （1） （2） （3

7、） 11、 12、 證明 13、 14、 15、

8、 當(dāng)n=1時， 當(dāng)n=2時， 當(dāng)n=3時， 假設(shè)= 當(dāng)n=1時 = 假設(shè)n=k+1時 = =成立 綜上當(dāng)n為自然數(shù)時， 當(dāng)A=2時 n=3時 n=4時 n=5時 假設(shè)n時成立 當(dāng)n=3時 假設(shè)n=k時成立 當(dāng)n=k+1時 = 整理得 成立 所以 綜上 = 16、（1） 解：設(shè) 由①②③④得： 得 （2）設(shè) 由①②③④，得： 得： （3）設(shè) 由方程組，得： 得 （4）設(shè)

9、 得 得： （5） 設(shè) 得 得 19、 （1） 解： 方程組的解為： （2） 方程組的解為： （3） 方程組的解為： （4） 有且僅有或時，無意義；則其他情況 方程組的解為： （4） （5） 由 得 (6) 24.證：A為對稱矩陣 A=A’ AA=AA’=E AA’(A’) =E(A’) A=(A’) A為可逆對稱矩陣

10、 （A’） =(A)’ A=(A)’ 可逆對稱矩陣的逆矩陣也是對稱矩陣。 25.證：（1）（A）’=(AA)’=A’A’ A為n階對稱矩陣 A’=A （A）’=A A為對稱矩陣 (B)’=(BB)’=B ’B’ B是n階反對稱矩陣 B’=-B （B）’=(BB)’=B’B’ B是n階反對稱矩陣 B’=-B

11、 (B )’=(-B)(-B)=B B是對稱矩陣 （AB-BA）’ =(AB)’-(BA)’ =B’A’-A’B’ =-BA-A (-B) =AB-BA AB-BA為對稱矩陣。 （2）必要性：AB為反對稱矩陣 （AB）’=-AB 又（AB）’=B’A’=-BA AB=BA 充分性: AB=BA

12、 (AB)’=B’A’=-BA AB為反對稱矩陣 綜上所述：AB是反對稱矩陣的充分必要條件是AB=BA。 26.解：設(shè)矩陣X為x= 則= Ax=o =0 即=0 對任意n1矩陣都成立 A=0 27.證：： A為正交矩陣 =A A= = = 又正交矩陣為可逆矩陣 A=A ：

13、 A= = = A = = = = A 28.解： = = 時 依次用V左乘和用U右乘消去 得從而得證 29.解：（1）判斷X可逆即： 因A、C可逆， 則即 則X可逆。 （2）設(shè)則 由 =

14、 =E 30.證明： 31.解：（1） 原式= (2) （3） 第3章 線性方程組 1. 證：假設(shè)線性相關(guān)， 則不會為0，使得 整理得： 又由，故 由于 故由克萊默法則知：

15、 故結(jié)論正確。 2. 解： 得： 3、不一定。原式： 故僅可得到線性無關(guān) 將每個向量任意拆分得到的新向量顯然不一定仍然線性相關(guān) 例如向量成比例或含有零向量 例：或任一一個為零向量 4、不正確 使兩等式成立的兩組系數(shù)一般來說是不相等的，所以不可以做那樣的公式提取 即 5、提示：含有零向量就一定線性相關(guān) 極大線性相關(guān)組中每一向量都無法用其他組中向量給出，因此可用一極大線性無關(guān)組加零向量構(gòu)成向量組 6.證：假設(shè)線性相關(guān)， 由題意知，必存在一組使得

16、 7.證：設(shè) 由于 6、證明：假設(shè)線性相關(guān)，則，線性相關(guān)（部分相關(guān)則全體相關(guān)） 所以存在m+1個不完全為0的數(shù)滿足 本來線性相關(guān)，故可為0，可不為0 （1） 則無法用線性表出 （2） 而線性相關(guān)，根據(jù)定義，至少有一個向量可用其他m-1個向量表出，我們不妨設(shè) 則 這樣得到了的另一種表出式，即表出不唯一 綜上，假設(shè)成立條件下得到的結(jié)論與“可用唯一表出”矛盾 故假設(shè)不成立，線性無關(guān) 7、將A表示為，B表示為 若線性無關(guān)，則必有 同理可證A P117 T8 解：（1） 由此r=3 解：（2）

17、由此r=2 解：（3） 由此r=3 解：（4） 由此r=2 解：（5） 由此r=3 解：（6） 由此r=5 T9 解（1）：設(shè)向量組線性相關(guān)，則 由，得： - 由，得： = ，= 代入式，得： 線性無關(guān) 由此r=4 10（1）證：由線性相關(guān) 則必有一組不全為0的數(shù) 使得 既有： 從中每一個向量中去掉第，就相當(dāng)于在上述方程組中去掉S個方程 剩下的方程仍成立 既有不全為零的數(shù) 使得： 從而：線性相關(guān) 顯然當(dāng)線性無關(guān)時 由上面的證明可知肯定線性無關(guān) （2）由（1）的證明很顯

18、然得到結(jié)論 11、證明：把 作為矩陣A行向量寫成矩陣A 即： 只須證A的行量組線性無關(guān)即可 即證： 顯然A中有一個階子式 而A內(nèi)的所有階子式為0，因為A的行數(shù) 故有，從而結(jié)論成立 12、證：先證當(dāng)可由線性表示出時，的秩小于等于的秩 不妨設(shè)：的極大無關(guān)組為； 的極大無關(guān)組為 只須證：即可 假設(shè) 那么由條件可知：可由線性表出，即存在一矩陣，使得 在上式兩端同右乘一列向量，即得： 只要找到一組不全為0的數(shù)，使得： 成立 就能說明線性相關(guān)，與線性無關(guān)矛盾 事實上：由于，所以上述方程組一定有非0解 故結(jié)論成立，同理可證，從而有 13．證： （1）時，

19、若， 則 說明，向量組B與A可相互線性表示，又由A線性無關(guān)，其秩 所以，從而B線性無關(guān) 反之：若B線性無關(guān)，考察 代入并整理得： 令 由上式可得： 由線性無關(guān)，所以 若，則有非0角 從而 由 故 考查： 即 將代入上式得： 由于線性無關(guān)，也線性無關(guān) 故 而方程組只有0解 而線性無關(guān)只有0解，故結(jié)論成立 14.記住一下常用矩陣秩的性質(zhì) （1） （2） （3）若可逆，則 （4） 證法一：由上述性質(zhì)（4）條， 而 所以 證法二：設(shè)，（A,B同型，所以列 則 顯然的列向量組可由與的極大無關(guān)組線性表出 若設(shè)分別為與的極無關(guān)組

20、 那么的列向量組可由線性表出，所以 14、（第二種）證明：設(shè)有向量組A＝，Ｂ＝ Ａ的行向量組為：，，．．．，　?、? 其極大線性無關(guān)組為： Ｂ的行向量組為：　　?、? 其極大線性無關(guān)組為： Ａ＋Ｂ的行向量組記為： 其中，，．．．，　 　　 則，， 　?、? 有≤③≤．又 即有 習(xí)題三 15、⑴解：對增廣矩陣進行初等變換． Ｂ＝ 則　　無解 ⑵解：對方程組的增廣矩陣進行初等變換． Ｂ＝ 則　　無解 ⑶解：對方程組的增廣矩陣進行初等變換．（課本第１１９頁題目出錯，應(yīng)該為 B= 則有唯一解。即唯一解為（3,2,1,）。 由方程組

21、解得： （4）、解：對方程組的增廣矩陣進行初等變換． B= 則＜6只方程組有無窮多解。 先求它的一個特解，與階梯形矩陣對應(yīng)的方程組為 令上式中的，解得。 于是得到特解： 導(dǎo)出組的方程為： 令解得：. 令解得： 令。解得： 可求得導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系：，， 于是方程組的通解為： 其中為任意常數(shù)． 16.（1）欲使方程有解，須使= 其中A= B= 對B進行初等行變換，過程如下： B=　　交換⑴⑵行 -２⑴行+⑵行　　-１⑴行+⑶行 ⑵行+⑶行 顯然，=５時，==2 此時　　　　 取（3，4） 故　　 （

22、２）同樣地，欲使該方程有解，須使= 　　　其中Ａ=　?。? 對Ｂ進行初等行變換，得 Ｂ=交換⑴⑵行 -⑴行+⑵行 -１⑴行+⑶行 交換⑵⑶行 ⑵行+⑶行 ①＝１時 ?。拢健〈藭r=，故方程有解。 且　　解為 ②＝-２時 Ｂ＝　由于≠，故方程無解。 ③≠１且≠２時，==３，方程有唯一解，且 故　 （此處只考慮＝１及＝-２兩種特殊情形，原因在于，當(dāng)＝１或＝-２時會使得矩陣第二、三行的首先為零，從而引起≠情況的出現(xiàn)） 綜上，①=1時，方程有無窮多解 ②=-２時，方程無解 ③≠１且≠-２時 17.證明：記系數(shù)矩陣為Ａ，增廣矩陣為Ｂ。

23、另外：Ｃ= 假設(shè)＝，可設(shè)Ａ的前ｒ行線性無關(guān)且第（r+1）行可用前ｒ行線性表出，那么對于第（r+1）行中的每一個值都有。但Ｂ與Ａ相比多了一列，有可能使得（當(dāng)然，這種關(guān)系也有可能滿足）。 但當(dāng)這種關(guān)系部滿足時，﹥，故≥，同理≥。 綜上：≥≥ 由于=，故==,方程有解。 18.解：首先明確在平面直角坐標(biāo)系中，直線的方程應(yīng)為Ａx+By=C. 那么 用矩陣表示，即為 若將Ａ.B都看做自變量，將看做系數(shù)，那么，增廣矩陣即為 Ｂ= 由于列向量線向相關(guān)，故=０ 故=0 若為n(n﹥3)點共線，則增廣矩陣B＇= 該矩陣中第３個列向量可用前兩個線向表出，故﹤３。 考慮直線的特殊情形：

24、 當(dāng)該直線經(jīng)過原點（０,０）時，=１；其余情形下，=２ 故，ｎ點共線的充要條件為的秩﹤３ 即的秩﹤３ 19.解：對方程組的增廣矩陣施行初等行變換 B= 初等行變換= 方程組有解的充要條件為== 4 ，則需=０ 解出矩陣對應(yīng)的方程組得： 令=０得到方程組的特解 =（，，，，０） 導(dǎo)出組的方程為　　　　　　　 令=１則得導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為=(1,1,1,1,1) 則方程組通解為=（，，，，０）+k(1,1,1,1,1) 20.證明 （1）方程組的系數(shù)矩陣 == 系數(shù)a,b,c,d,e中有兩個等于-1 即a+1,b+1,c+1,d+1,e+1中有

25、兩個等于0 則=4,因此方程組必有非零解 （2） = 已知任何系數(shù)都不等于-1,且=1 則=0得=4,因此方程組必有非零解. 21. （1）方程組的系數(shù)矩陣通過初等行變換化簡 == 矩陣的秩=2<4,基礎(chǔ)解系由2個線性無關(guān)的解向量構(gòu)成, 矩陣對應(yīng)的方程組 令 代入解得 對應(yīng)的解的向量為 令 代入解得 對應(yīng)的解的向量為 ,是方程組的一個基礎(chǔ)解系 則方程組通解為.其中. 為任意的實數(shù) （2）方程組的系數(shù)矩陣 矩陣的秩=2<4,基礎(chǔ)解系由2個線性無關(guān)的解構(gòu)成 對應(yīng)的方程組為 令 可解得 對應(yīng)的解向量為 令 可解得 對應(yīng)

26、的解向量為 是方程組的一個基礎(chǔ)解系 方程組的通解為 ,其中. 為任意的實數(shù) （3）方程組的系數(shù)矩陣 =4, 基礎(chǔ)解系由2個線性無關(guān)的解向量構(gòu)成 寫出階梯形對應(yīng)的方程組 令解出對應(yīng)的解向量為 令解出對應(yīng)的解向量為 是方程組的一個基礎(chǔ)解系 方程組的通解為 ,其中. 為任意的實數(shù) （4）方程組的系數(shù)矩陣 =3,基礎(chǔ)解系應(yīng)由2個線性無關(guān)的解構(gòu)成 階梯矩陣對應(yīng)的方程組為 令 解得對應(yīng)的解向量為 令 解得對應(yīng)的解向量為 構(gòu)成方程組的一個基礎(chǔ)解系 方程組的通解為 ,其中. 為任意的實數(shù) 22. （1）假設(shè)線性相關(guān) 則存在一組不全為零的一組數(shù)

27、使成立 若則 則是方程的解,與題設(shè)矛盾 21-24頁 第三章 線性方程2.2 習(xí)題三 P121 23-26題 27.解：∵由A2＝A得A（A－E）＝0，再由第26題解得rA＋rA－E≤n 又∵rA＋r（E－A）≥r[A＋﹙E－A﹚] ＝rE＝n 即rA＋rA－E≥n ∴rA＋rA－E＝n 28.證：∵A2＝E ∴（A＋E）（A－E）＝0 ∴r(A＋E)＋r（A－E）≤n r[(A﹢E) ＋(E－A) ]＝r2E＝n≤r（A＋E）＋r(E－A) ＝r（A＋E）＋r（A－E） ∴r（A＋E）＋r（A－E）＝n 29.證:

28、 (1) ①當(dāng)rA＝n時|A|≠0 由AA*＝|A|E知|AA*|＝|AE| |A||A*|＝|A|n，|A*|＝|A|n－1≠0 故A*可 rA*＝n ②當(dāng)rA＝n－1時，|A|≠0 且存在一個（n－1）階的非零子式 從而rA*≥1 ∵AA*＝|A|E＝0 ∴rA＋rA*≤n rA*≤n－rA≤1 ∴rA*＞1 ③當(dāng)rA＝n時知A的所有（n－1）階子式為零 ∴A*＝0 （2）∵當(dāng)rA＝n時（1）中已證 當(dāng)rA＝n－1時rA*＝1 ∴|A|＝0 ∴|A*|＝|A|n－1＝0成立 又∵當(dāng)rA＜n－1時，由（1）中③知|A|＝0 ∴|A*|＝|A|n－1亦成立。

29、 第四章 1、（1）是； （2）、否，因為題中的非零向量可以由不平行于該非零向量的向量通過向量的加法表示出來，所以該非零向量必須也包含在題中的全體向量中才能構(gòu)成實線性空間。 （3）是 （4）是 （5）否，k0＝0的解為k＝0或＝0，k與不具有任意性不滿足線性空間的定義。 2、（1）能 （2）不能 （1）中由x1＋x2＋……＋xn＝0－x1－x2－…－xn－1＝xn得任意一個向量都可以用其余的向量線性表示 而（2）中x1＋x2＋……＋xn＝1 x1＋x2＋……＋xn－1＝1－xn 不滿足（1）中的線性關(guān)系，∴不能構(gòu)成Rn的子空間 3、當(dāng)

30、平面不過原點時，否 當(dāng)平面過原點時，是 解析：當(dāng)平面過原點時，所有的起點位于原點，終點位于給定平面上的所有向量在一個平面上，構(gòu)成了一個二維的向量空間，（比如xoy平面上所有的向量），而當(dāng)給定平面不過原點時，所有的向量構(gòu)成一個體（體分布），是次三維空間中所有向量的一部分，不是閉合的，不能構(gòu)成子空間。 第四章 P139 4.解（1）假設(shè)存在，使得+=0 要使上式對任意的x都成立 則==0 所以，，線性無關(guān) ，為極大線性無關(guān)組 所以，它們的積為2 （2）因為，=2-1

31、 所以，，，1線性相關(guān) 假設(shè)存在，使得+=0 則==0 所以，，1線性無關(guān) 所以，，1為，，1的一個極大線性無關(guān)組 所以，它們的秩為2 （3）假設(shè)存在一組數(shù)使得 對任意的x都成立 所以，線性無關(guān) 它們的秩為n 5證明：因為， = 由上式可得，約 . . . 6, 證明：假設(shè)存在使得 即 即

32、 7、由于＝（＋3） ＝（＋） ∴與均可由與線性表示 ∴它們分別生產(chǎn)的子空間相同即V1＝V2 8、解： （1）因為是對稱的，.∴維數(shù)只取決于對角線和上半（或下半）部分的元素為維 （2）由于反稱矩陣，∴維數(shù)只取決于上半（或下半）部分元素為維。 （3）由于前兩個分量線性相關(guān) ∴維數(shù)為n－1 9、證明，，，組成的一個基，只需證這幾個向量在同一個基下的坐標(biāo)作為行或列的n階行列式不為0 對于（1）即證≠0 對于（2）即證或 求在這個基下的坐標(biāo)。 （1）設(shè)

33、（x1 x2 x3 x4 ） （1 2 1 1）＝x1 （1，1,1,1）＋x2（1,1，-1，-1）＋x3(1,-1,1,1,) ＋x4 （1，-1，-1,1） ∴x1＝ x2＝ x3＝－ x4＝－ ∴坐標(biāo)為﹙，，－，－) (2)設(shè)（x1 x2 x3 x4 ） （1 2 1 1）＝x1 （1，1,0,1）＋x2（2,1，3，1）＋x3(1,1,0,0,) ＋x4（0，1，-1, -1）。 ∴x1＝2 x2＝1 x3＝-3 x4＝2 ∴坐標(biāo)為（2,1，-3,2） 10．（1） ∵

34、[1,x,x,x,x4] [1，1＋x，1＋x＋x，1＋x＋x＋x，1＋1＋x＋x＋x＋x4] ∴舊基底到新基底的過渡矩陣M＝ （2）令： 1＋2x＋3x＋4x＋5x4＝a＋b(1＋x) ＋c(1＋x＋x )＋d(1＋x＋x＋x)＋e（1＋x＋x＋x＋x4）） 用待定系數(shù)法可得： ∴多項式1＋2x＋3x＋4x＋5x4在新基底下的坐標(biāo)為（－1，－1，－1，－1,5） （3）∵多項式在新基底下的坐標(biāo)為（1，2，3，4，5） ∴1＋2(1＋x) ＋3(1＋x＋x )＋4(1＋x＋x＋x)＋5（1＋x＋x＋x＋x4）） ＝15＋14x＋12x＋9x＋5x4 多項式

35、為15＋14x＋12x＋9x＋5x4 11.(1)[，，，]＝＝E 令A(yù)＝[，，，] 根據(jù)過渡矩陣的定義EM＝A 又∵E是單位矩陣 ∴過渡矩陣M＝A＝ A=[η1,η2,η3,η4,]= 設(shè)=（x1,x2,x3,x4）在[1 , 2, 3, 4]下的坐標(biāo)為(y1,y2,y3,y4) (2)單位矩陣E=() 第五章 第五章 1.（1）當(dāng)時 不滿足線性變換條件 當(dāng)時 滿足線性變換條件 （2）當(dāng)時 不滿足線性變換條件 當(dāng)時 滿足線性變換條件 （3） 不滿

36、足線性變換條件 （4） 又 滿足線性變換條件 （5） 又 滿足線性變換條件 （6） 又 滿足線性變換條件 2.證明 是一個線性變換 3.證明： 又 是線性變換 4.不一定 例如 此時是個線性無關(guān)的向量，而線性相關(guān) 5、 （1）解 （2） 解

37、 （3） 解 （4） 解 （5） 解 6、 （1） 解：由題意可知：

38、 （2） 解：由題意可知： （3） 解： 7、 （1） （2） 8、 （1） （2）

39、 9、 10、求下列矩陣的特征根與特征向量 （1） （2）

40、 （3） （4） （5） （6）

41、 （7） 9.（2）解：設(shè)向量組線性相關(guān)，則 則 由（1）+（3）得 ，代入（3）得，代入（4）得， 線性無關(guān) 由此r=4 （3）：線性相關(guān) 由此r=4 10.解：（1）當(dāng)線性相關(guān)時， +++ =0去掉的一列分量也線性相關(guān)；當(dāng)線性無關(guān)時，也線性無關(guān)

42、。 (2)(i):向量互換i，j個分量得則向量同時線性相關(guān)（無關(guān)）。 （ii）：向量用非零常熟乘第i個分量則向量同時線性相關(guān)（無關(guān)）。 （iii）：向量把第i個分量的倍加到第j個分量上則向量同時線性相關(guān)（無關(guān)）。 11.證明：∵向量組 則有 = 是互不相同的n個數(shù)，切，的n個行向量線性無關(guān)。 12.證明：記A的向量組為：， B的向量組為。 A的極大線性無關(guān)組：，B的極大線性無關(guān)組：。 向量組A、B是等價的，每個向量組中的向量都是另一個向量組中向量的線性組合。 既有與線性相關(guān)，同理分別與線性相關(guān)。 則均可由的表示式線性表出。所以與的數(shù)目相同，即，所以向量組與向量組等價時，它

43、們的秩相等。 13.證明：（1）當(dāng)r=s時，充分性證明。，則矩陣必存在可逆矩陣 應(yīng)有又向量組A線性無關(guān)向量組B也是線性無關(guān)的。 必要性證明：有，，。 又向量組A、B均為線性無關(guān)組， (2)當(dāng)對一般的r和s時，充分性證明：，向量組必含一個有r個向量的子組滿足。則有。又向量組A線性無關(guān)向量組B也是線性無關(guān)的。 必要性證明：B是線性無關(guān)組，存在一個向量組，。 若向量組的秩為r，則可用向量組K的子組來代替使其滿足， 則矩陣K的秩。 11.證明： （1）設(shè)為A的特性值， 假設(shè)=0 則A=， 因為0， 所以=0這與A為可逆矩陣相矛盾， 所以假設(shè)不成立。 （2）因為為A的特

44、性值， 所以0滿足A = ①， 又因A可逆， 則①式兩邊同時左乘得(A)=()， 所以存在= 所以= 所以為的特征值。 12.證明：假設(shè)+為A的屬于的特征向量， 則A（+）=（+）①， 由于滿足A=,A=， 從而A(+)=A+A②, 由①②得 （+）=+， （—）+（—）=0， 線性無關(guān)， —=—=0， =這與已知條件矛盾， 假設(shè)不成立即+不是A的特征方程。 13.假設(shè)向量是A的不同特征根的特征向量， ①， ②， ①-②得（）=0， =0， =這與已知條件矛盾， 故假設(shè)不成立，即一個向量不可能是n階矩陣A的不同特征根的特征向量。

45、14. （）==， 的系數(shù)均由多項式()() ()中的項所決定， 因為如果不全取對角線上的元素，的最高冪次為n—2「可由行列式的計算規(guī)則得出」，上述多項式中的系數(shù)為1， 的系數(shù)為—（）， 當(dāng)時，（）=， 常數(shù)項為。 15. 解：求其特征根： ， 其特征根為， ① 當(dāng)時，, ，故其基礎(chǔ)解系為3—1=2個， 令，， 則； 令，， ② 當(dāng)時，，， 即， 故可以對角化，其相似對角形矩陣為，過渡矩陣為 .解：求其特征根： ，， 當(dāng)時，， ﹥， 故它的特征向量的極大線性無關(guān)組只有一個向量，小于特征根的重數(shù)， 所以A不可對角化。 .解：求其特征根： ，

46、 其特征根為，， ① 當(dāng)時， 即 第七章 1、(1) f(x)=x12+5x1x2-3x2x3 =(x1+ )2-( +3x2x3) =(x1+, )2- (x2+ )2+ 則 由（a）可得： (3) f(x1,x2,x3,x4)=y12+y22+(y1-y2)(y3+y4)+(y1+y2)(y3-y4) =y12-y22+y1y3+y1y4-y2y3-y2y4+y1y3-y1y4+y2y3-y2y4 =

47、（y1+y3）2-y32-(y2+y4)2+y42 = (y1+y3)2-(y2+y4)2-y32+y42 f(x1,x2,x3,x4)=z12-z22-z32+z42 坐標(biāo)變換

48、 此題如用配方相反麻煩而且不易解出，建議用正交法解，且此大題的解不唯一 第三冊(第五頁) 習(xí)題五 15（5）= = = = 得到 對于，解方程組 有一個XXXXX 對于解方程組 得一個XXXXX 對于解方程組 有一個XXXXX 由上面知，存在相應(yīng)過渡矩陣 得相似對角形矩陣 （6） 解：對應(yīng) = 得 對應(yīng)雙生根解方程組 得二個XXXXX 對于雙生根解方程組 得二個XXXXX 由

49、上知，存在相應(yīng)過渡矩陣 得相似對角形矩陣 第六章 1.證明：A、B 且 （1） 所以 （2） 所以 (3) 所以 (4) 當(dāng)時， 所以是V中的一個內(nèi)積 2.證明： （1）在中定義 則 為一個數(shù)，轉(zhuǎn)置之后;不變 所以 因為A為n階正定矩陣 所以 （2） (3) (4) 當(dāng)時， 因為A為n階正定矩陣，其中任意n維向量 ，都恒有 而為n維向量 所以 所以 由上述，這樣定義的也是中的一個內(nèi)積 3.證明：必需性：???????正交，所以 所以 當(dāng)，不是零向量，則 當(dāng)或為零向量， 所以 所以 充分性

50、：對于都有 所以 所以 則即正交 綜上，在歐式空間中兩個向量正交的充分必要條件是，對任意的實數(shù)t恒有 4.（1） 所以 所以 所以 （2） 所以 P186 5、 設(shè)單位向量（x1、x2、x3、x4) 則由題意知： x1+x2-x3+x4=0 （x2=0，x3=x1，x4=-x1）① x1-x2-x3+x4=0 2x1+x2+x3+3x4=0 由? 將①代入?得： 解得： 故所求向量為。 6、 由施米特正交化方法求出等價的正交組為： 7、 可表

51、示為下面的形式： 令 利用施米特正交化方法將，，正交化。有： 故的一個正交組可表示為 即 單位化后為： 8.設(shè)五維向量 = 由題意可得 令 ， 得 ，， ， 得 ，， A=（-2,1，-3,2,0） B=（4,-9,3,0,2） A、 B線性無關(guān) 則令 A， B線性無關(guān) 則令 故 9解：用初等行變換把方程組的系數(shù)矩陣A化為最簡行矩陣 =2，該方程組的基礎(chǔ)解系應(yīng)有2個線性無關(guān)的解向量構(gòu)成階梯式矩

52、陣對應(yīng)的方程組為 令 對應(yīng)的解向量為 對應(yīng)的解向量為 =（0,2,1,3）+（ =（ 再把 可構(gòu)成解空間的標(biāo)準正交組 第六章 13.證明：設(shè)1，2……n線性相關(guān) 則存在11+22+……+nn=0，則1，2……n=0 1(1,1)+ 2 (1,2)+……+n(1,n)=0 1(2,1)+ 2 (2,2)+……+n(2,n)=0 1(

53、n,1)+ 2 (n,2)+……+n(n,n)=0 (1,1), (1,2)……(1,n) 1 (2,1)，(2,2)……(2,n 2 (n,1)，(n,2……(n,n) n (1,1) )……(1,n) (2,1) ……(2,n) (n,1) ……(n,n) I=0 1, 2……n線性相關(guān) （6）f

54、=X1X2n+X2X2n-1+……+XnXn+1 舉行合同法 120 0 …… - 0 0 …… 0 …… 0 - 0 …… . . . . . 看不清 . . . . . ……0 …… …… 0 1 1 0 0 ……

55、0 0 1 0 1 0 …… 0 0 1 0 1 …… 0 0 0 1 -1 -1 -1 …… 1 - 0 0 ……0 - 0 0 …… 0 0 - 0 ……0 看不清 - 0 0 -……0

56、 . . . . . n 1 1 1 1 1 1 -（2n-1） -1 -1 -1 -（n-1） f=-y12-y22-y32 ……+ ny2n2 X1 1-

57、 1 y1 X2 1- 1 y2 。 = 。 。 。 X2n - - -（2n-1） y2n

58、 第七章 1（1） 配方法： 令 則 矩陣合同法： 坐標(biāo)變換 （2） 配方法： 令 坐標(biāo)變換 矩陣x同法 （3） 配方法： 令 令 坐標(biāo)互換 矩陣合同法 坐

59、標(biāo)變換 （4） 配方法 坐標(biāo)變換 矩陣合同法 坐標(biāo)變換 1.（5）f= 配方：此二次型中無平方項，利用平方差公式先作坐標(biāo)變換 ， ， ， 有：f= = = = = = = 令 ， ， ， 則 f= 用的坐標(biāo)變換為： （5）f= 合同矩陣法： f= 坐標(biāo)變換： == （6）配方法 f=X1X2n+X2X2n-1+……+XnXn+1 令X1=y1+y2n X2n=y1-y2n X2=y2+y2n-1 X2n-1=y2-y2n-1

60、 Xn=yn+yn+1 Xn+1=yn-yn+1 f=y12-y2n2+y22-y2n-12……+yn2-yn+12 坐標(biāo)變換 X1=y1+y2n X2n=y1-y2n X2=y2+y2n-1 X2n-1=y2-y2n \ Xn=yn+yn+1 Xn+1=yn-yn+1 4.(1)必要性。證明：假設(shè)A為三階矩陣，又因為A為反稱矩陣， 設(shè) 充分性。證明：設(shè) 因為為任意值 所以 滿足為反稱矩

61、陣 （2） 證明：因為A為對稱矩陣 設(shè) 則 因為為任意值 所以 所以 5.證明：由定理1和定理2，得 此二次型 必可化成標(biāo)準形 其中r指此二次型的秩而由題意可知 r=k+L，即標(biāo)準型中有k個正平方項，L個負平方項。 所以這個二次型通過坐標(biāo)變換刻化成 6.解（1） 其中=-5 所以此二次型是負定二次型 （2）由f的表達式得 顯然即不符合正定的條件 也不符合負定的條件，所以此二次型既不是正定二次型，也不是負定二次型。 （3）由f的表達式，得 所以此二定型既不是正定二次型，也不是負

62、定二次型。 （4）由f的表達式得 任意的n次行列式均等于1 所以此二次型是正定二次型。 7．解：由題，得 要是此二次型為正定二次型， 則 = 所以是正定； 當(dāng)2時，①：1 所以既不是正定，也不是負定； ②：0 既不是正定 ，也不是負定 ③：-1 既不是正定，也不是負定 ④：時， 既不是正定，也不是負定。 綜上所述， 第8題 （1） 證明：①充分條件 若A為正定矩形，則存在可逆矩陣P使得 設(shè) =E= 令 A正定，可推出合同于單位矩陣E ②必要條件，即證明

63、A合同于E，則A正定 因為A合同于E 即，則對于非零向量 設(shè) 因為C可逆 所以 所以 （2）證明： ） 因為A正定 所以A合同于單位陣E，即 此處P為可逆矩陣 所以得 證明： 設(shè) 令 是正定二次型，A是正定矩陣 （3） 證明：因為A正定，且存在可逆矩陣P 使得 因為A是實對稱矩陣 所以也是轉(zhuǎn)置矩陣 因為A正定，其特征值 所以A正定.其特征值 所以也是正定的 （4）證明： 根據(jù)，正定矩陣A的k階順序主子式 所以 所以是正定的 （5）證明：A，B是同階正定矩陣 因為 所以 所以A+B是正定的 9非常抱歉，實

64、在不會做，沒做出來 10 以第（1）題為例，其詳細步驟后面相同 ① 先求特征根 解得 特征根 當(dāng)時 解得 要是此二次型為正定二次型， 則 = 所以是正定； 當(dāng)2時，①：1 所以既不是正定，也不是負定； ②：0 既不是正定 ，也不是負定 ③：-1 既不是正定，也不是負定 ④：時， 既不是正定，也不是負定。 綜上所述， 。 ② 先求特征根 解得 特征根 當(dāng)時 解得 得基礎(chǔ)解系 將其單位化 對于 解齊次線性方程組 得基礎(chǔ)解系 將其單位化 ④寫出，，，為列的正交矩陣對應(yīng)的正交變

65、換 則此變換下二次型的標(biāo)準型為 12 證明 必要性：因為A正交相似于B 所以正交矩陣M，使得 即A，B的特征多項式相同 所以A，B的特征多項式的根全部相同且每個根的重數(shù)也相同。 充分性：因為A,B的特征多項式的根全部相同，且每一個根的重數(shù)也相同，且A，B為對稱矩陣.所以必存在正交矩陣P，Q使 所以 因為P,Q為正交矩陣 所以為正交矩陣 令 所以 所以為正交矩陣 令M= 所以B= 所以A正交相似于B 13.證明：因為A為正交矩陣 所以存在可逆矩陣，使得 因為仍為對稱矩陣 所以一定存在正交矩陣Q，使得 即對角化 所以 故取為可逆矩陣，使和為可逆矩陣，使和同時成為對角形矩陣。