15.2　線段的垂直平分線 知識要點基礎練 知識點1　線段垂直平分線的尺規(guī)作圖 1.(曲靖中考)如圖,C,E是直線l兩側的點,以點C為圓心,CE長為半徑畫弧交l于A,B兩點,又分別以點A,B為圓心,大于12AB的長為半徑畫弧,兩弧交于點D,連接CA,CB,CD,下列結論不一定正確的是 (C) A.CD⊥l B.點A,B關于直線CD對稱 C.點C,D關于直線l對稱 D.CD平分∠ACB 知識點2　線段垂直平分線的性質 2.三角形紙片上有一點P,量得PA=3 cm,PB=3 cm,則點P一定 (D) A.是邊AB的中點 B.在邊AB的中線上 C.在邊AB的高上 D.在邊AB的垂直平分線上 3.(天門中考)如圖,在△ABC中,AC的垂直平分線分別交AC,BC于E,D兩點,EC=4,△ABC的周長為23,則△ABD的周長為 (B) A.13 B.15 C.17 D.19 知識點3　線段垂直平分線的判定 4.如圖,AC=AD,BC=BD,則有 (A) A.AB垂直平分CD B.CD垂直平分AB C.AB與CD互相垂直平分 D.CD平分∠ACB 5.如圖,AD與BC相交于點O,OA=OC,∠A=∠C,BE=DE.求證:OE垂直平分BD. 證明:在△AOB與△COD中,∠A=∠C,OA=OC,∠AOB=∠COD, ∴△AOB≌△COD(ASA),∴OB=OD, ∴點O在線段BD的垂直平分線上, ∵BE=DE,∴點E在線段BD的垂直平分線上, ∴OE垂直平分BD. 知識點4　三角形三邊垂直平分線的性質 6.如圖,A,B,C三個居民小區(qū)的位置成三角形,現決定在三個小區(qū)之間修建一個超市,使它到三個小區(qū)的距離相等,則超市應建在 (D) A.AC,BC的兩條高線的交點處 B.∠A,∠B兩內角平分線的交點處 C.AC,BC兩邊中線的交點處 D.AC,BC兩條邊垂直平分線的交點處 7.某旅游景區(qū)內有一塊三角形綠地ABC,如圖所示,現要在道路AB的邊緣上建一個休息點M,使它到A,C兩點的距離相等,請在圖中畫出休息點M的位置.(尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡) 答案圖 解:如圖,作AC的垂直平分線交AB于M點,則點M為所求. 綜合能力提升練 8.如圖,在△ACB中,AB=AC=6,BC=4.5,分別以點A,B為圓心,4為半徑畫圓弧,交于兩點,過這兩點的直線交AC于點D,連接BD,則△BCD的周長為 (C) A.10 B.6 C.10.5 D.8 9.(河北中考)如圖,已知鈍角△ABC,依下列步驟尺規(guī)作圖,并保留作圖痕跡. 步驟1:以點C為圓心,CA為半徑畫?、? 步驟2:以點B為圓心,BA為半徑畫弧②,交?、儆邳cD; 步驟3:連接AD,交BC延長線于點H. 下列敘述正確的是 (A) A.BH垂直平分線段AD B.AC平分∠BAD C.S△ABC=BCAH D.AB=AD 10.如圖,在△ABC中,分別以點A,B為圓心,大于12AB長為半徑畫弧,兩弧分別交于點D,E,則直線DE是 (D) A.∠A的平分線 B.AC邊的中線 C.BC邊的高線 D.AB邊的垂直平分線 11.已知△ABC三條邊的垂直平分線的交點在△ABC的一條邊上,那么△ABC的形狀是　直角三角形　. 12.在同一平面上有A,B,C,D四點,你在平面上能找出一個點M,使MA=MB,MC=MD嗎?　不一定能　(選填“一定能”或“不一定能”) 提示:當A,B,C,D四點不在同一條直線上時,能找出滿足條件的點M;當A,B,C,D四點在同一條直線上時,不能找出符合條件的點M. 13.如圖,有一塊三角形田地,AB=AC=10 m,作AB的垂直平分線ED交AC于點D,交AB于點E,量得△BDC的周長為17 m,請你替測量人員計算BC的長. 解:∵ED是AB的垂直平分線, ∴DA=DB. 又∵△BDC的周長為17 m,AB=AC=10 m, ∴BD+DC+BC=17, ∴DA+DC+BC=17,即AC+BC=17, ∴BC=7 m. 14.如圖,已知D是AB中點,DE是BC的垂直平分線. (1)求證:CD=12AB; (2)在AB上找一點F到D,E的距離相等.(尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡) 答案圖 解:(1)∵D是AB中點,∴AD=BD, ∵DE是BC的垂直平分線,∴CD=BD, ∴CD=12AB. (2)作DE的垂直平分線,交AB于點F,則點F為所求,如圖. 拓展探究突破練 15.如圖,已知直線l及其兩側兩點A,B. (1)在直線l上求一點O,使到A,B兩點距離之和最短; (2)在直線l上求一點P,使PA=PB; (3)在直線l上求一點Q,使l平分∠AQB. 解:(1)連接AB,線段AB交直線l于點O. ∵點A,O,B在一條直線上, ∴O點即為所求點. (2)連接AB,分別以A,B兩點為圓心,以大于12AB長為半徑作弧,兩弧相交于C,D兩點,連接CD,與直線l相交于P點,與AB相交于E點,連接BD,AD,BP,AP,BC,AC. ∵BD=AD=BC=AC, ∴△BCD≌△ACD, ∴∠BDE=∠ADE,∴△BDE≌△ADE, ∴∠BED=∠AED=90,AE=BE, ∴CD是線段AB的垂直平分線, ∵P是CD上的點,∴PA=PB. (3)作點B關于直線l的對稱點B,連接AB交直線l與點Q,連接BQ. ∵B與B兩點關于直線l對稱, ∴BD=BD,DQ=DQ,∠BDQ=∠BDQ, ∴△BDQ≌△BDQ, ∴∠BQD=∠BQD,即直線l平分∠AQB.