歸納與類比 建議用時(shí)：45分鐘 一、選擇題 1．下面四個(gè)推理，屬于合情推理的是(　　) A．因?yàn)楹瘮?shù)y＝sin x(x∈R)的值域?yàn)閇－1,1]，2x－1∈R，所以y＝sin(2x－1)(x∈R)的值域也為[－1,1] B．昆蟲都有6條腿，竹節(jié)蟲是昆蟲，所以竹節(jié)蟲有6條腿 C．在平面中，對(duì)于三條不同的直線a，b，c，若a∥b，b∥c，則a∥c，將此結(jié)論放到空間中也是如此 D．如果一個(gè)人在墻上寫字的位置與他的視線平行，那么，墻上字跡離地面的高度大約是他的身高，兇手在墻上寫字的位置與他的視線平行，福爾摩斯量得墻壁上的字跡距地面六尺多，于是，他得出了兇手身高六尺多的結(jié)論 C　[C中的推理屬于合情推理中的類比推理，A，B，D中的推理都不是合情推理．] 2．(2019北京模擬)2018年科學(xué)家在研究皮膚細(xì)胞時(shí)發(fā)現(xiàn)了一種特殊的凸多面體， 稱之為“扭曲棱柱”. 對(duì)于空間中的凸多面體， 數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了它的頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)與面數(shù)存在一定的數(shù)量關(guān)系． 凸多面體 頂點(diǎn)數(shù) 棱數(shù) 面數(shù) 三棱柱 6 9 5 四棱柱 8 12 6 五棱錐 6 10 6 六棱錐 7 12 7 根據(jù)上表所體現(xiàn)的數(shù)量關(guān)系可得有12個(gè)頂點(diǎn)，8個(gè)面的扭曲棱柱的棱數(shù)是 (　　) A．14　　　　　　 B．16 C．18 D．20 C　[由題意易知同一凸多面體頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)與面數(shù)的規(guī)律為：棱數(shù)＝頂點(diǎn)數(shù)＋面數(shù)－2，所以12個(gè)頂點(diǎn)，8個(gè)面的扭曲棱柱的棱數(shù)＝12＋8－2＝18.故選C.] 3．中國古代十進(jìn)位制的算籌記數(shù)法在世界數(shù)學(xué)史上是一個(gè)偉大的創(chuàng)造．據(jù)史料推測(cè)，算籌最晚出現(xiàn)在春秋晚期戰(zhàn)國初年．算籌記數(shù)的方法是：個(gè)位、百位、萬位…的數(shù)按縱式的數(shù)碼擺出；十位、千位、十萬位…的數(shù)按橫式的數(shù)碼擺出，如7 738可用算籌表示為. 1～9這9個(gè)數(shù)字的縱式與橫式的表示數(shù)碼如圖所示，則3log264的運(yùn)算結(jié)果可用算籌表示為(　　) A　　　　　　　　B C　　　　　　　　D D　[根據(jù)題意，3log264＝36＝729， 用算籌記數(shù)表示為，故選D.] 4．已知an＝logn＋1(n＋2)(n∈N＋)，觀察下列運(yùn)算： a1a2＝log23log34＝＝2； a1a2a3a4a5a6＝log23log34…log78 ＝…＝3；… 若a1a2a3…ak(k∈N＋)為整數(shù)，則稱k為“企盼數(shù)”，試確定當(dāng)a1a2a3…ak＝2 019時(shí)，“企盼數(shù)”k為(　　) A．22 019 ＋2 B．22 019 C．22 019－2 D．22 019－4 C　[a1a2a3…ak＝＝2 019，lg(k＋2)＝lg 22 019，故k＝22 019－2.] 5．甲、乙、丙、丁四名同學(xué)一起去向老師詢問數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試成績等級(jí)．老師說：“你們四人中有2人A等，1人B等，1人C等，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績等級(jí)，給乙看丙的成績等級(jí)，給丙看丁的成績等級(jí)”．看后甲對(duì)大家說：“我知道我的成績等級(jí)了”．根據(jù)以上信息，則(　　) A．甲、乙的成績等級(jí)相同 B．丁可以知道四人的成績等級(jí) C．乙、丙的成績等級(jí)相同 D．乙可以知道四人的成績等級(jí) D　[由題意，四個(gè)人所知的只有自己看到的，以及甲最后所說的話，甲知道自己的等級(jí)，則甲已經(jīng)知道四個(gè)人等級(jí)，其甲、乙的成績等級(jí)不一定是相同的，所以A是不對(duì)的，乙、丙的成績等級(jí)不一定是相同的，所以C是不正確的，丁沒有看任何人的成績等級(jí)，所以丁不可能知道四人的成績等級(jí)，所以B是不對(duì)的，只有乙可能知道四人的成績等級(jí)，所以D是正確的．] 6．圖一是美麗的“勾股樹”，它是一個(gè)直角三角形分別以它的每一邊向外作正方形而得到．圖二是第1代“勾股樹”，重復(fù)圖二的作法，得到圖三為第2代“勾股樹”，以此類推，已知最大的正方形面積為1，則第n代“勾股樹”所有正方形的面積的和為(　　) 圖一　　　 　圖二　　 圖三 A．n B．n2 C．n－1 D．n＋1 D　[最大的正方形面積為1，當(dāng)n＝1時(shí)，由勾股定理及圖二知上面兩小正方形面積和等于下面正方形面積1，∴正方形面積的和為2，依次類推，可得所有正方形面積的和為n＋1，故選D.] 7．為了提高信息在傳輸中的抗干擾能力，通常在原信息中按一定規(guī)則加入相關(guān)數(shù)據(jù)組成傳輸信息．設(shè)原信息為a1a2a3，傳輸信息為h1a1a2a3h2，其中h1＝a1⊕a2，h2＝h1⊕a3，⊕運(yùn)算規(guī)則為：0⊕0＝0,0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.例如：原信息為111，則傳輸信息為01111.傳輸信息在傳輸過程中受到干擾可能導(dǎo)致接收信息出錯(cuò)，則下列接收信息出錯(cuò)的是(　　) A．01100 B．11010 C．10110 D．11000 D　[A選項(xiàng)原信息為110，則h1＝a1⊕a2＝1⊕1＝0，h2＝h1⊕a3＝0⊕0＝0，所以傳輸信息為01100，A選項(xiàng)正確； B選項(xiàng)原信息為101，則h1＝a1⊕a2＝1⊕0＝1，h2＝h1⊕a3＝1⊕1＝0，所以傳輸信息為11010，B選項(xiàng)正確； C選項(xiàng)原信息為011，則h1＝a1⊕a2＝0⊕1＝1，h2＝h1⊕a3＝1⊕1＝0，所以傳輸信息為10110，C選項(xiàng)正確； D選項(xiàng)原信息為100，則h1＝a1⊕a2＝1⊕0＝1，h2＝h1⊕a3＝1⊕0＝1，所以傳輸信息為11001，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選D.] 二、填空題 8．將正奇數(shù)按如圖所示的規(guī)律排列： 1 3　 5　 7 9　 11　 13　 15　 17 19　21　 23　 25　 27　 29　 31 …… 則2 019在第________行，從左向右第________個(gè)數(shù)． 32　49　[根據(jù)排列規(guī)律可知，第一行有1個(gè)奇數(shù)，第2行有3個(gè)奇數(shù)，第3行有5個(gè)奇數(shù)…… 可得第n行有2n－1個(gè)奇數(shù)，前n行總共有＝n2個(gè)奇數(shù)，當(dāng)n＝31時(shí)，共有n2＝961個(gè)奇數(shù)，當(dāng)n＝32時(shí)，共有n2＝1 024個(gè)奇數(shù)，所以2 019是第1 010個(gè)奇數(shù)，在第32行第49個(gè)數(shù)．] 9．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差數(shù)列．類比以上結(jié)論我們可以得到一個(gè)真命題為：設(shè)等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積為Tn，則________成等比數(shù)列． T4，，，　[利用類比推理把等差數(shù)列中的差換成商即可．] 10．(2019延安模擬)甲、乙、丙三位教師分別在延安、咸陽、寶雞的三所中學(xué)里教不同的學(xué)科A，B，C，已知： ①甲不在延安工作，乙不在咸陽工作； ②在延安工作的教師不教C學(xué)科； ③在咸陽工作的教師教A學(xué)科； ④乙不教B學(xué)科． 可以判斷乙工作的地方和教的學(xué)科分別是________，________. 寶雞　C　[由③得在咸陽工作的教師教A學(xué)科；又由①得乙不在咸陽工作，所以乙不教A學(xué)科；由④得乙不教B學(xué)科，結(jié)合③乙不教A學(xué)科，可得乙必教C學(xué)科，所以由②得乙不在延安工作，由①得乙不在咸陽工作；所以乙在寶雞工作，綜上，乙工作的地方和教的學(xué)科分別是寶雞和C學(xué)科. ] 1. 二維空間中，圓的一維測(cè)度(周長)l＝2πr，二維測(cè)度(面積)S＝πr2；三維空間中，球的二維測(cè)度(表面積)S＝4πr2，三維測(cè)度(體積)V＝πr3，應(yīng)用合情推理，若四維空間中，“超球”的三維測(cè)度V＝8πr3，則其四維測(cè)度W＝(　　) A．2πr4 B．3πr4 C．4πr4 D．6πr4 A　[二維空間中，圓的一維測(cè)度(周長)l＝2πr，二維測(cè)度(面積)S＝πr2，(πr2)′＝2πr，三維空間中，球的二維測(cè)度(表面積)S＝4πr2，三維測(cè)度(體積)V＝πr3， ′＝4πr2，四維空間中，“超球”的三維測(cè)度V＝8πr3，∵(2πr4)′＝8πr3，∴“超球”的四維測(cè)度W＝2πr4.故選A.] 2．(2019雅禮中學(xué)模擬)如圖，將平面直角坐標(biāo)系的格點(diǎn)(橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))按如下規(guī)則標(biāo)上數(shù)字標(biāo)簽：原點(diǎn)處標(biāo)0，點(diǎn)(1,0)處標(biāo)1，點(diǎn)(1，－1)處標(biāo)2，點(diǎn)(0，－1)處標(biāo)3，點(diǎn)(－1，－1)處標(biāo)4，點(diǎn)(－1,0)處標(biāo)5，點(diǎn)(－1,1)處標(biāo)6，點(diǎn)(0,1)處標(biāo)7，……，以此類推，則標(biāo)2 0192的格點(diǎn)的坐標(biāo)為(　　) A．(1 010,1 009) B．(1 009,1 008) C．(2 019,2 018) D．(2 018,2 017) A　[點(diǎn)(1,0)處標(biāo)1，即12；點(diǎn)(2,1)處標(biāo)9，即32；點(diǎn)(3,2)處標(biāo)25，即52；……，由此推斷點(diǎn)(n＋1，n)處標(biāo)(2n＋1)2，當(dāng)2n＋1＝2 019時(shí)，n＝1 009，故標(biāo)2 0192的格點(diǎn)的坐標(biāo)為(1 010,1 009)．故選A.] 3．對(duì)于實(shí)數(shù)x，[x]表示不超過x的最大整數(shù)，觀察下列等式： []＋[]＋[]＝3， []＋[]＋[]＋[]＋[]＝10， []＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝21， …… 按照此規(guī)律第n個(gè)等式的等號(hào)右邊的結(jié)果為________． 2n2＋n　[因?yàn)閇]＋[]＋[]＝13， []＋[]＋[]＋[]＋[]＝25， []＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝37，……，以此類推，第n個(gè)等式的等號(hào)右邊的結(jié)果為n(2n＋1)，即2n2＋n.] 4．對(duì)于三次函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，給出定義：設(shè)f′(x)是函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)，f″(x)是f′(x)的導(dǎo)數(shù)，若方程f″(x)＝0有實(shí)數(shù)解x0，則稱點(diǎn)(x0，f(x0))為函數(shù)y＝f(x)的“拐點(diǎn)”．某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心．若f(x)＝x3－x2＋3x－，則函數(shù)f(x)的對(duì)稱中心為________，f＋f＋f＋f＋…＋f＝________. 　2 018　[f′(x)＝x2－x＋3，f″(x)＝2x－1， 由f″(x)＝0，即2x－1＝0，解得x＝. f＝3－2＋3－＝1. 由題中給出的結(jié)論， 可知函數(shù)f(x)＝x3－x2＋3x－的對(duì)稱中心為. 所以f＋f＝2，即f(x)＋f(1－x)＝2. 故f＋f＝2，f＋f＝2， f＋f＝2， ……， f＋f＝2. 所以f＋f＋f＋f＋…＋f＝22 018＝2 018.] 1．“現(xiàn)代五項(xiàng)”是由現(xiàn)代奧林匹克之父顧拜旦先生創(chuàng)立的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，包含射擊、擊劍、游泳、馬術(shù)和越野跑五項(xiàng)運(yùn)動(dòng)．已知甲、乙、丙共三人參加“現(xiàn)代五項(xiàng)”．規(guī)定每一項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的前三名得分都分別為a，b，c(a>b>c且a，b，c∈N＋)，選手最終得分為各項(xiàng)得分之和．已知甲最終得22分，乙和丙最終各得9分，且乙的馬術(shù)比賽獲得了第一名，則游泳比賽的第三名是(　　) A．甲 B．乙 C．丙 D．乙和丙都有可能 B　[因?yàn)橹挥屑?、乙、丙三人參賽，? 射擊 擊劍 游泳 馬術(shù) 越野跑 總分 甲 5 5 5 2 5 22 乙 1 1 1 5 1 9 丙 2 2 2 1 2 9 總分為5(a＋b＋c)＝22＋9＋9＝40，所以a＋b＋c＝8，只有兩種可能5>2>1或4>3>1.顯然4>3>1不符，因?yàn)榧词刮鍌€(gè)第一名也不夠22分．所以a＝5，b＝2，c＝1.所以由上面可知，甲馬術(shù)第二名，其余四個(gè)選項(xiàng)都是第一名，總共22分．由于丙馬術(shù)第三名，記1分，所以其余四項(xiàng)均第二名，記2分，共9分．乙馬術(shù)第一名，記5分，其余四項(xiàng)均第三名，記1分，共9分．所以選B.] 2．某種平面分形圖如圖所示，一級(jí)分形圖是由一點(diǎn)出發(fā)的三條線段，長度均為1，兩兩夾角為120；二級(jí)分形圖是從一級(jí)分形圖的每條線段的末端出發(fā)再生成兩條長度為原來的的線段，且這兩條線段與原線段兩兩夾角為120，…，依此規(guī)律得到n級(jí)分形圖． (1)n級(jí)分形圖中共有________條線段； (2)n級(jí)分形圖中所有線段長度之和為________． (1)32n－3(n∈N＋)　(2)9－9n(n∈N＋)　[(1)由題圖知，一級(jí)分形圖中的線段條數(shù)為3＝32－3，二級(jí)分形圖中的線段條數(shù)為9＝322－3，三級(jí)分形圖中的線段條數(shù)為21＝323－3，按此規(guī)律，n級(jí)分形圖中的線段條數(shù)為an＝32n－3(n∈N＋)． (2)∵從分形圖的每條線段的末端出發(fā)再生成兩條長度為原來的的線段，∴n級(jí)分形圖中第n級(jí)的所有線段的長度和為bn＝3n－1(n∈N＋)，∴n級(jí)分形圖中所有線段長度之和為Sn＝30＋31＋…＋3n－1＝3＝9－9n(n∈N＋)．]