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綜合能力提升練習一 一、單選題 1.如圖，⊙O上有兩點A與P，且OA⊥OP，若A點固定不動，P點在圓上勻速運動一周，那么弦AP的長度與時間的函數(shù)關系的圖象可能是( ) ① ② ③ ④ A.①B.③C.①或③D.②或④ 2.已知三角形兩邊長分別為3和8，則該三角形第三邊的長可能是（　　） A.3B.5C.8D.11 3.小明在探索一元二次方程2x2﹣x﹣2=0的近似解時作了如下列表計算．觀察表中對應的數(shù)據(jù)，可以估計方程的其中一個解的整數(shù)部分是（ ） x 1 2 3 4 2x2﹣x﹣2 ﹣1 4 13 26 A.4B.3C.2D.1 4.三棱柱的頂點個數(shù)是（　?。? A.3B.4C.5D.6 5.一元二次方程x2+3x+1=0的根的情況是（　?。? A.有兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根C.沒有實數(shù)根D.只有一個實數(shù)根 6.有理數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列各式符號的判斷正確的是（ ） A.a2﹣b＞0B.a+|b|＞0C.a+b2＞0D.2a+b＞0 7.滿足x-5＞3x+1的x的最大整數(shù)是（） A.0B.-2C.-3D.-4 8.如圖，Rt△APC的頂點A，P在反比例函數(shù)y＝的圖象上，已知P的坐標為（1，1），tanA=（n≥2的自然數(shù)）；當n=2，3，4…xx時，A的橫坐標相應為a2 ， a3 ， a4 ， …，axx ， 則+++…+=（　) A.B.2021054C.2022060D. 二、填空題 9.已知△ABC的三個內角分別是∠A、∠B、∠C，若∠A=30，∠C=2∠B，則∠B=________． 10.如圖，等腰直角三角形 ABC 中，∠BAC=90，AB=AC，點 M，N 在邊 BC 上，且∠MAN=45．若 BM=1， CN=3，則 MN 的長為________． 11.計算：（ +1）（3﹣ ）=________． 12.一個多邊形的每一個內角為108，則這個多邊形是________邊形，它的內角和是________ 13.當m________時，不等式mx＜7的解集為x＞ 14.冷庫甲的溫度是-5℃,冷庫乙的溫度是-15℃,則溫度高的是冷庫________. 三、計算題 15.計算: 16.計算：（ ）2+（π﹣xx）0﹣4cos60+（ ）﹣3 ． 17.先化簡，再求值： （a﹣ ），其中a=2+ ，b=2﹣ ． 18.計算 （1）計算： +（ ）﹣1﹣2cos60+（2﹣π）0； （2）化簡： ． 19.已知x﹣y=5，xy=4，求x2+y2的值． 20.解方程： ﹣ = ． 四、解答題 21.如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120，D為BC的中點，DE⊥AC于E，AE=2，求CE的長． 22.如圖，在四邊形ABCD中，AD、BD相交于點F，點E在BD上，且． （1）∠1與∠2相等嗎？為什么？ （2）判斷△ABE與△ACD是否相似？并說明理由． 23.計算：|﹣3|﹣2． 24.解方程組：． 五、綜合題 25.甲、乙兩人周末從同一地點出發(fā)去某景點，因乙臨時有事，甲坐地鐵先出發(fā)，甲出發(fā)0.2小時后乙開汽車前往．設甲行駛的時間為x（h），甲、乙兩人行駛的路程分別為y1（km）與y2（km）．如圖①是y1與y2關于x的函數(shù)圖象． （1）分別求線段OA與線段BC所表示的y1與y2關于x的函數(shù)表達式； （2）當x為多少時，兩人相距6km？ （3）設兩人相距S千米，在圖②所給的直角坐標系中畫出S關于x的函數(shù)圖象．  答案解析部分 一、單選題 1.如圖，⊙O上有兩點A與P，且OA⊥OP，若A點固定不動，P點在圓上勻速運動一周，那么弦AP的長度與時間的函數(shù)關系的圖象可能是( ) ① ② ③ ④ A.①B.③C.①或③D.②或④ 【答案】C 【考點】二次函數(shù)的圖象 【解析】【分析】由圖中可知：長度d是一開始就存在的，如果點P向上運動，那么d的距離將逐漸變大；當點P運動到和0，A在同一直線上時，d最大，隨后開始變?。划斶\動到點A時，距離d為0，然后繼續(xù)運動，d開始變大；到點P時，回到原來高度相同的位置．①對， ②沒有回到原來的位置，應排除． ④回到原來的位置后又繼續(xù)運動了，應排除． 如果點P向下運動，那么d的距離將逐漸變小，到點A的位置時，距離d為0；繼續(xù)運動，d的距離將逐漸變大；當點P運動到和0，A在同一直線上時，d最大，隨后開始變小，到點P時，回到原來高度相同的位置．③對． 故選C. 2.已知三角形兩邊長分別為3和8，則該三角形第三邊的長可能是（　?。? A.3B.5C.8D.11 【答案】C 【考點】三角形三邊關系 【解析】【解答】解：根據(jù)三角形的三邊關系，得 第三邊大于：8﹣3=5，小于：3+8=11． 則此三角形的第三邊可能是：8． 故選：C． 【分析】根據(jù)三角形的第三邊大于兩邊之差，而小于兩邊之和求得第三邊的取值范圍，再進一步選擇． 3.小明在探索一元二次方程2x2﹣x﹣2=0的近似解時作了如下列表計算．觀察表中對應的數(shù)據(jù)，可以估計方程的其中一個解的整數(shù)部分是（ ） x 1 2 3 4 2x2﹣x﹣2 ﹣1 4 13 26 A.4B.3C.2D.1 【答案】D 【考點】估算一元二次方程的近似解 【解析】【解答】解：根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，知： 方程的一個解x的范圍是：1＜x＜2， 所以方程的其中一個解的整數(shù)部分是1． 故選D． 【分析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)：x=1時，2x2﹣x﹣2=﹣1；x=2時，2x2﹣x﹣2=4，故一元二次方程2x2﹣x﹣2=0的其中一個解x的范圍是1＜x＜2，進而求解． 4.三棱柱的頂點個數(shù)是（　?。? A.3B.4C.5D.6 【答案】D 【考點】認識立體圖形 【解析】【解答】解：一個直三棱柱由兩個三邊形的底面和3個長方形的側面組成，根據(jù)其特征及歐拉公式V+F﹣E=2可知， 它有6個頂點， 故選：D． 【分析】一個直三棱柱是由兩個三邊形的底面和3個長方形的側面組成，根據(jù)其特征及歐拉公式V+F﹣E=2進行填空即可． 5.一元二次方程x2+3x+1=0的根的情況是（　?。? A.有兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根C.沒有實數(shù)根D.只有一個實數(shù)根 【答案】A 【考點】根的判別式 【解析】【解答】解：∵a=1，b=3，c=1， ∴△=b2﹣4ac=32﹣411=5＞0， ∴有兩個不相等的實數(shù)根． 故選A． 【分析】首先求得△=b2﹣4ac的值，然后即可判定一元二次方程x2+3x+1=0的根的情況． 6.有理數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列各式符號的判斷正確的是（ ） A.a2﹣b＞0B.a+|b|＞0C.a+b2＞0D.2a+b＞0 【答案】A 【考點】數(shù)軸 【解析】【解答】解：根據(jù)數(shù)軸得a＜﹣1，0＜b＜1，∴a2＞1，b2＜1， ∴a2﹣b＞0，故A正確； ∴a+|b|＜0，故B錯誤； ∴a+b2＜0，故C錯誤； ∴2a+b＜0，故D錯誤， 故選A． 【分析】根據(jù)數(shù)軸可得出a＜﹣1，0＜b＜1，再判斷a2 ， b2的范圍，進行選擇即可． 7.滿足x-5＞3x+1的x的最大整數(shù)是（） A.0B.-2C.-3D.-4 【答案】D 【考點】解一元一次不等式，一元一次不等式的整數(shù)解 【解析】【分析】先移項，再合并同類項，最后化系數(shù)為1，即可求得結果. x-5>3x+1 -2x>6 x<-3 所以滿足條件的x的最大整數(shù)是-4 故選D. 【點評】計算題是中考必考題，一般難度不大，學生要特別慎重，盡量不在計算上失分. 8.如圖，Rt△APC的頂點A，P在反比例函數(shù)y＝的圖象上，已知P的坐標為（1，1），tanA=（n≥2的自然數(shù)）；當n=2，3，4…xx時，A的橫坐標相應為a2 ， a3 ， a4 ， …，axx ， 則+++…+=（　) A.B.2021054C.2022060D. 【答案】B 【考點】反比例函數(shù)的圖象，反比例函數(shù)的性質，探索數(shù)與式的規(guī)律 【解析】【分析】設CP=m，由tanA==得AC=mn，則A（1-m，1+mn)，將A點坐標代入y＝中，得出an=1-m的表達式，尋找運算規(guī)律． 【解答】依題意設CP=m， ∵P點橫坐標為1，則C點橫坐標為1-m， 即an=1-m， 又∵tanA==， ∴AC=mn，則A（1-m，1+mn)， 將A點坐標代入y＝中，得（1-m)（1+mn)=1， 1-m+mn-m2n=1， m（n-1-mn)=0， 則n-1-mn=0， 1-m=， 則an=1-m=，即=n， ∴+++…+=2+3+4+…+xx ==2021054． 故選B． 【點評】本題主要考查反比例函數(shù)的圖象和性質，關鍵是根據(jù)三角函數(shù)值設直角三角形的邊長，表示A點坐標，根據(jù)A點在雙曲線上，滿足反比例函數(shù)解析式，從而得出一般規(guī)律． 二、填空題 9.已知△ABC的三個內角分別是∠A、∠B、∠C，若∠A=30，∠C=2∠B，則∠B=________． 【答案】50 【考點】三角形內角和定理 【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠A=30，∠C=2∠B，∠A+∠B+∠C=180， ∴30+3∠B=180， ∴∠B=50． 故答案是：50． 【分析】根據(jù)三角形內角和是180列出等式∠A+∠B+∠C=180，據(jù)此易求∠B的度數(shù)． 10.如圖，等腰直角三角形 ABC 中，∠BAC=90，AB=AC，點 M，N 在邊 BC 上，且∠MAN=45．若 BM=1， CN=3，則 MN 的長為________． 【答案】 【考點】全等三角形的判定與性質，勾股定理的應用 【解析】【解答】將 逆時針旋轉 得到 ，連接 ， 是等腰直角三角形， 在 和 中， 由勾股定理得， 【分析】根據(jù)旋轉的性質得到對應邊、對應角相等；由△ABC是等腰直角三角形，得到△MAN≌△FAN，得到對應角、對應邊相等，再根據(jù)勾股定理求出MN 的長. 11.計算：（ +1）（3﹣ ）=________． 【答案】2 【考點】二次根式的混合運算 【解析】【解答】解：原式= （ +1）（ ﹣1） = （3﹣1） =2 ． 故答案為2 ． 【分析】先把后面括號內提 ，然后利用平方差公式計算． 12.一個多邊形的每一個內角為108，則這個多邊形是________邊形，它的內角和是________ 【答案】五；540 【考點】多邊形內角與外角 【解析】【解答】解：∵多邊形的每一個內角都等于108， ∴多邊形的每一個外角都等于180﹣108=72， ∴邊數(shù)n=36072=5， 內角和為（5﹣2）180=540． 故答案為：五；540． 【分析】先求出這個多邊形的每一個外角的度數(shù)，再用360除以一個外角的度數(shù)即可得到邊數(shù)． 13.當m________時，不等式mx＜7的解集為x＞ 【答案】＜0 【考點】不等式的性質 【解析】【解答】根據(jù)不等式mx＜7的解集為x＞ ，可以發(fā)現(xiàn)不等號的方向發(fā)生了改變，根據(jù)不等式的性質，所以m＜0．【分析】可根據(jù)不等式的性質，兩邊同時除以負數(shù)，不等號發(fā)生改變. 14.冷庫甲的溫度是-5℃,冷庫乙的溫度是-15℃,則溫度高的是冷庫________. 【答案】甲 【考點】有理數(shù)大小比較 【解析】【解答】解：∵-5＞-15 ∴溫度高的是冷庫甲 故答案為：甲【分析】比較-5和-15的大小，可解答。 三、計算題 15.計算: 【答案】解： 原式= = 【考點】整式的加減 【解析】【分析】首先去括號，然后合并同類項進行化簡即可。 16.計算：（ ）2+（π﹣xx）0﹣4cos60+（ ）﹣3 ． 【答案】解：原式=2+1﹣2+8=9 【考點】實數(shù)的運算，零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值 【解析】【分析】原式利用平方根定義，零指數(shù)冪法則，特殊角的三角函數(shù)值，以及負整數(shù)指數(shù)冪法則計算即可得到結果． 17.先化簡，再求值： （a﹣ ），其中a=2+ ，b=2﹣ ． 【答案】解： （a﹣ ） = = = ， 當a=2+ ，b=2﹣ 時，原式= ． 【考點】分式的混合運算，分式的化簡求值 【解析】【分析】先將括號里的分式通分計算，分子分母能分解因式的要先分解因式，再將分式的除法轉化為乘法，約分化成最簡分式，然后代入求值計算即可。 18.計算 （1）計算： +（ ）﹣1﹣2cos60+（2﹣π）0； （2）化簡： ． 【答案】（1）解：原式=2+2﹣2 +1=4 （2）解：原式= ? =x+1 【考點】實數(shù)的運算，分式的混合運算，零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值 【解析】【分析】（1）首先計算乘方、開方，代入特殊角的三角函數(shù)值，然后進行加減運算即可求解；（2）首先對括號內的分式進行通分相減，然后把除法轉化為乘法，計算分式的乘法即可． 19.已知x﹣y=5，xy=4，求x2+y2的值． 【答案】解：將x﹣y=5兩邊平方得：（x﹣y）2=x2+y2﹣2xy=25， 把xy=4代入得：x2+y2﹣8=25， 則x2+y2=33 【考點】完全平方公式 【解析】【分析】將x﹣y=5兩邊平方，利用完全平方公式展開，將xy的值代入計算即可求出值． 20.解方程： ﹣ = ． 【答案】解：去分母得：2x+2﹣x+1=3， 解得：x=0， 經檢驗x=0是分式方程的解 【考點】解分式方程 【解析】【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分式方程的解． 四、解答題 21.如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120，D為BC的中點，DE⊥AC于E，AE=2，求CE的長． 【答案】解：連接AD， ∵AB=AC，∠BAC=120，D為BC的中點， ∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，∠B=∠C=30 ∴∠DAC= ∠BAC=60， ∵DE⊥AC于E， ∴∠AED=90， ∴∠ADE=30， 在Rt△ADE中，AE=2，∠ADE=30， ∴AD=2AE=4， 在Rt△ADC中，AD=4，∠C=30， ∴AC=2AD=8， 則CE=AC﹣AE=8﹣2=6． 【考點】等腰三角形的性質，含30度角的直角三角形 【解析】【分析】連接AD，根據(jù)三線合一得到AD垂直于BC，AD為角平分線，以及底角的度數(shù)，在直角三角形ADE中，利用30角所對的直角邊等于斜邊的一半得到AD的長，在直角三角形ADE中，再利用30角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AC的長，由AC﹣AE即可求出CE的長． 22.如圖，在四邊形ABCD中，AD、BD相交于點F，點E在BD上，且． （1）∠1與∠2相等嗎？為什么？ （2）判斷△ABE與△ACD是否相似？并說明理由． 【答案】解：（1）∠1與∠2相等． 在△ABC和△AED中， ∵， ∴△ABC∽△AED， ∴∠BAC=∠EAD， ∴∠1=∠2． （2）△ABE與△ACD相似． 由得， 在△ABE和△ACD中， ∵，∠1=∠2， ∴△ABE∽△ACD． 【考點】相似三角形的判定與性質 【解析】【分析】（1）由， 得到△ABC∽△AED，推出∠BAC=∠EAD，即可得到∠1=∠2； （2）由得， 根據(jù)兩邊對應成比例且夾角相等得到△ABE∽△ACD． 23.計算：|﹣3|﹣2． 【答案】解：原式=3﹣2 =1． 【考點】有理數(shù)的減法 【解析】先計算﹣3的絕對值，然后再相減即可． 24.解方程組：． 【答案】解： ①+②，得 3x=3，解得：x=1， 將x=1代入①，得1+y=﹣3，解得：y=﹣4， 則原方程組的解為?． 【考點】解二元一次方程組 【解析】【解答】由①+②可消去y，得到x=1，將x=1代入任意一個方程即可求出y值. 【分析】方程組利用加減消元法求出解即可． 五、綜合題 25.甲、乙兩人周末從同一地點出發(fā)去某景點，因乙臨時有事，甲坐地鐵先出發(fā)，甲出發(fā)0.2小時后乙開汽車前往．設甲行駛的時間為x（h），甲、乙兩人行駛的路程分別為y1（km）與y2（km）．如圖①是y1與y2關于x的函數(shù)圖象． （1）分別求線段OA與線段BC所表示的y1與y2關于x的函數(shù)表達式； （2）當x為多少時，兩人相距6km？ （3）設兩人相距S千米，在圖②所給的直角坐標系中畫出S關于x的函數(shù)圖象． 【答案】（1）解：設OA：y1=k1x，BC：y2=k2x+b， 則y1=k1x過點（1.2，72）， 所以y1=60x， ∵y2=k2x+b過點（0.2，0）、（1.1，72）， ∴ ， 解得 ． ∴y2=80x﹣16． （2）解：①60x=6， 解得x=0.1； ②60x﹣（80x﹣16）=6， 解得x=0.5； ③80x﹣16﹣60x=6， 解得x=1.1． 故當x為0.1或0.5或1.1小時，兩人相距6千米． （3）解：如圖所示： 【考點】一次函數(shù)的應用 【解析】【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法可求線段OA與線段BC所表示的y1與y2關于x的函數(shù)表達式；（2）分3種情況：①0＜x＜0.2；②甲、乙兩人相遇前；③甲、乙兩人相遇后；進行討論可求x的值；（3）分4種情況：①0＜x＜0.2；②甲、乙兩人相遇前；③甲、乙兩人相遇后乙到達景點前；④甲、乙兩人相遇后乙到達景點后；進行討論可畫出S關于x的函數(shù)圖象．