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分式方程 一、選擇題 1．下列各式中，是分式方程的是（　?。? A．x+y=5 B． C． =0 D． 2．關(guān)于x的方程的解為x=1，則a=（　?。? A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣3 3．分式方程=1的解為（　　） A．x=2 B．x=1 C．x=﹣1 D．x=﹣2 4．下列關(guān)于分式方程增根的說法正確的是（　?。? A．使所有的分母的值都為零的解是增根 B．分式方程的解為零就是增根 C．使分子的值為零的解就是增根 D．使最簡公分母的值為零的解是增根 5．方程+=0可能產(chǎn)生的增根是（　?。? A．1 B．2 C．1或2 D．﹣1或2 6．解分式方程，去分母后的結(jié)果是（　?。? A．x=2+3 B．x=2（x﹣2）+3 C．x（x﹣2）=2+3（x﹣2） D．x=3（x﹣2）+2 7．要把分式方程化為整式方程，方程兩邊需要同時乘以（　?。? A．2x（x﹣2） B．x C．x﹣2 D．2x﹣4 8．河邊兩地距離s km，船在靜水中的速度是a km/h，水流的速度是b km/h，船往返一次所需要的時間是（　?。? A．小時 B．小時 C．小時 D．小時 9．若關(guān)于x的方程有增根，則m的值是（　?。? A．3 B．2 C．1 D．﹣1 10．有兩塊面積相同的小麥試驗(yàn)田，分別收獲小麥9000㎏和15000㎏．已知第一塊試驗(yàn)田每公頃的產(chǎn)量比第二塊少3000㎏，若設(shè)第一塊試驗(yàn)田每公頃的產(chǎn)量為x㎏，根據(jù)題意，可得方程（　　） A． = B． = C． = D． = 　 二．填空題 11．方程：的解是　?。? 12．若關(guān)于x的方程的解是x=1，則m=　?。? 13．若方程有增根x=5，則m=　?。? 14．如果分式方程無解，則m=　?。? 15．當(dāng)m=　　時，關(guān)于x的方程=2+有增根． 16．用換元法解方程，若設(shè)，則可得關(guān)于的整式方程　?。? 17．已知x=3是方程一個根，求k的值=　?。? 18．某市在舊城改造過程中，需要整修一段全長2400m的道路．為了盡量減少施工對城市交通所造成的影響，實(shí)際工作效率比原計(jì)劃提高了20%，結(jié)果提前8小時完成任務(wù)．求原計(jì)劃每小時修路的長度．若設(shè)原計(jì)劃每小時修路xm，則根據(jù)題意可得方程　　． 　 三．解答題 19．解分式方程（1）；（2）． 20．甲乙兩人加工同一種玩具，甲加工90個玩具所用的時間與乙加工120個玩具所用的時間相等，已知甲乙兩人每天共加工35個玩具，求甲乙兩人每天各加工多少個玩具？ 21．某服裝廠準(zhǔn)備加工300套演出服．在加工60套后，采用了新技術(shù)，使每天的工作效率是原來的2倍，結(jié)果共用9天完成任務(wù)．求該廠原來每天加工多少套演出服？ 22．為了過一個有意義的“六、一”兒童節(jié)，實(shí)驗(yàn)小學(xué)發(fā)起了向某希望小學(xué)捐贈圖書的活動．在活動中，五年級一班捐贈圖書100冊，五年級二班捐贈圖書180冊，二班的人數(shù)是一班人數(shù)的1.2倍，二班平均每人比一班多捐1本書，求兩個班各有多少名同學(xué)？ 23．請你編一道可化為一元一次方程的分式方程（且不含常數(shù)項(xiàng)）的應(yīng)用題，并予以解答． 　 分式方程 參考答案與試題解析 　 一、選擇題 1．下列各式中，是分式方程的是（　?。? A．x+y=5 B． C． =0 D． 【考點(diǎn)】分式方程的定義． 【分析】根據(jù)分式方程的定義：分母里含有字母的方程叫做分式方程進(jìn)行判斷． 【解答】解：A、方程分母中不含未知數(shù)，故不是分式方程； B、方程分母中不含未知數(shù)，故不是分式方程； C、方程分母中含未知數(shù)x，故是分式方程． D、不是方程，是分式． 故選C． 【點(diǎn)評】本題考查的是分式方程的定義，即分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程． 　 2．關(guān)于x的方程的解為x=1，則a=（　?。? A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣3 【考點(diǎn)】分式方程的解． 【專題】計(jì)算題． 【分析】根據(jù)方程的解的定義，把x=1代入原方程，原方程左右兩邊相等，從而原方程轉(zhuǎn)化為含有a的新方程，解此新方程可以求得a的值． 【解答】解：把x=1代入原方程得， 去分母得，8a+12=3a﹣3． 解得a=﹣3． 故選：D． 【點(diǎn)評】解題關(guān)鍵是要掌握方程的解的定義，使方程成立的未知數(shù)的值叫做方程的解． 　 3．分式方程=1的解為（　?。? A．x=2 B．x=1 C．x=﹣1 D．x=﹣2 【考點(diǎn)】解分式方程． 【專題】計(jì)算題． 【分析】本題的最簡公分母是2x﹣3，方程兩邊都乘最簡公分母，可把分式方程轉(zhuǎn)換為整式方程求解．結(jié)果要檢驗(yàn)． 【解答】解：方程兩邊都乘2x﹣3，得 1=2x﹣3， 解得x=2． 檢驗(yàn)：當(dāng)x=2時，2x﹣3≠0． ∴x=2是原方程的解． 故選A． 【點(diǎn)評】（1）解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，方程兩邊都乘最簡公分母，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解． （2）解分式方程一定注意要代入最簡公分母驗(yàn)根． 　 4．下列關(guān)于分式方程增根的說法正確的是（　　） A．使所有的分母的值都為零的解是增根 B．分式方程的解為零就是增根 C．使分子的值為零的解就是增根 D．使最簡公分母的值為零的解是增根 【考點(diǎn)】分式方程的增根． 【分析】分式方程的增根是最簡公分母為零時，未知數(shù)的值． 【解答】解：分式方程的增根是使最簡公分母的值為零的解． 故選D． 【點(diǎn)評】本題考查了分式方程的增根，使最簡公分母的值為零的解是增根． 　 5．方程+=0可能產(chǎn)生的增根是（　?。? A．1 B．2 C．1或2 D．﹣1或2 【考點(diǎn)】分式方程的增根． 【專題】計(jì)算題． 【分析】本題由增根的定義可知分式分母為0，即（x﹣1）=0或（x﹣2）=0，解出即可． 【解答】解：∵方程+=0有增根， ∴（x﹣1）=0或（x﹣2）=0， 解得x=1或2， ∴原方程可能產(chǎn)生的增根為1或2．故選C． 【點(diǎn)評】本題主要考查增根的定義，解題的關(guān)鍵是使最簡公分母（x﹣1）（x﹣2）=0． 　 6．解分式方程，去分母后的結(jié)果是（　?。? A．x=2+3 B．x=2（x﹣2）+3 C．x（x﹣2）=2+3（x﹣2） D．x=3（x﹣2）+2 【考點(diǎn)】解分式方程． 【專題】計(jì)算題． 【分析】找出各分母的最小公分母，同乘以最小公分母即可． 【解答】解：左右同乘以最簡公分母（x﹣2），得 x=2（x﹣2）+3， 故選B． 【點(diǎn)評】本題考查了解分式方程的內(nèi)容．注意在乘以最小公分母時，不要漏乘． 　 7．要把分式方程化為整式方程，方程兩邊需要同時乘以（　?。? A．2x（x﹣2） B．x C．x﹣2 D．2x﹣4 【考點(diǎn)】解分式方程． 【專題】計(jì)算題． 【分析】把分式方程化為整式方程，乘以最簡公分母2x（x﹣2）即可． 【解答】解：∵方程的最簡公分母2x（x﹣2）， ∴方程的兩邊同乘2x（x﹣2）即可． 故選A． 【點(diǎn)評】本題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．找出最簡公分母是解此題的關(guān)鍵． 　 8．河邊兩地距離s km，船在靜水中的速度是a km/h，水流的速度是b km/h，船往返一次所需要的時間是（　?。? A．小時 B．小時 C．小時 D．小時 【考點(diǎn)】列代數(shù)式（分式）． 【分析】往返一次所需要的時間是，順?biāo)叫械臅r間+逆水航行的時間，根據(jù)此可列出代數(shù)式． 【解答】解：根據(jù)題意可知需要的時間為： + 故選D． 【點(diǎn)評】本題考查列代數(shù)式，關(guān)鍵知道時間=路程速度，從而列出代數(shù)式． 　 9．若關(guān)于x的方程有增根，則m的值是（　?。? A．3 B．2 C．1 D．﹣1 【考點(diǎn)】分式方程的增根． 【專題】計(jì)算題． 【分析】有增根是化為整式方程后，產(chǎn)生的使原分式方程分母為0的根．在本題中，應(yīng)先確定增根是1，然后代入化成整式方程的方程中，求得m的值． 【解答】解：方程兩邊都乘（x﹣1），得 m﹣1﹣x=0， ∵方程有增根， ∴最簡公分母x﹣1=0，即增根是x=1， 把x=1代入整式方程，得m=2． 故選：B． 【點(diǎn)評】增根問題可按如下步驟進(jìn)行： ①確定增根的值； ②化分式方程為整式方程； ③把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值． 　 10．有兩塊面積相同的小麥試驗(yàn)田，分別收獲小麥9000㎏和15000㎏．已知第一塊試驗(yàn)田每公頃的產(chǎn)量比第二塊少3000㎏，若設(shè)第一塊試驗(yàn)田每公頃的產(chǎn)量為x㎏，根據(jù)題意，可得方程（　?。? A． = B． = C． = D． = 【考點(diǎn)】由實(shí)際問題抽象出分式方程． 【專題】應(yīng)用題． 【分析】關(guān)鍵描述語是：“有兩塊面積相同的小麥試驗(yàn)田”；等量關(guān)系為：第一塊試驗(yàn)田的面積=第二塊試驗(yàn)田的面積． 【解答】解：第一塊試驗(yàn)田的面積是，第二塊試驗(yàn)田的面積為．那么方程可表示為． 故選C． 【點(diǎn)評】列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵步驟在于找相等關(guān)系，找到關(guān)鍵描述語，找到相應(yīng)的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵． 　 二．填空題 11．方程：的解是　?。? 【考點(diǎn)】解分式方程． 【專題】計(jì)算題． 【分析】本題考查解分式方程的能力，觀察可得方程最簡公分母為：x（x+1），方程兩邊去分母后化為整式方程求解． 【解答】解：方程兩邊同乘以x（x+1）， 得x2+（x+1）（x﹣1）=2x（x+1）， 解得：x=﹣． 經(jīng)檢驗(yàn)：x=﹣是原方程的解． 【點(diǎn)評】（1）解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解． （2）解分式方程一定注意要驗(yàn)根． （3）方程中有常數(shù)項(xiàng)的注意不要漏乘常數(shù)項(xiàng)，本題應(yīng)避免出現(xiàn)x2+（x+1）（x﹣1）=2的情況出現(xiàn)． 　 12．若關(guān)于x的方程的解是x=1，則m=　2?。? 【考點(diǎn)】分式方程的解． 【分析】根據(jù)分式方程的解的定義，把x=1代入原方程求解可得m的值． 【解答】解：把x=1代入方程，得 ， 解得m=2． 故應(yīng)填：2． 【點(diǎn)評】本題主要考查了分式方程的解的定義，屬于基礎(chǔ)題型． 　 13．若方程有增根x=5，則m=　5?。? 【考點(diǎn)】分式方程的增根． 【專題】計(jì)算題． 【分析】由于增根是分式方程化為整式方程后產(chǎn)生的使分式方程的分母為0的根，所以將方程兩邊都乘（x﹣5）化為整式方程，再把增根x=5代入求解即可． 【解答】解：方程兩邊都乘（x﹣5），得 x=2（x﹣5）+m， ∵原方程有增根x=5， 把x=5代入，得5=0+m， 解得m=5． 故答案為：5． 【點(diǎn)評】本題考查了分式方程的增根，增根問題可按如下步驟進(jìn)行： ①讓最簡公分母為0確定增根； ②化分式方程為整式方程； ③把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值． 　 14．如果分式方程無解，則m=　﹣1?。? 【考點(diǎn)】分式方程的解． 【專題】計(jì)算題． 【分析】分式方程無解的條件是：去分母后所得整式方程無解，或解這個整式方程得到的解使原方程的分母等于0． 【解答】解：方程去分母得：x=m， 當(dāng)x=﹣1時，分母為0，方程無解． 即m=﹣1方程無解． 【點(diǎn)評】本題考查了分式方程無解的條件，是需要識記的內(nèi)容． 　 15．當(dāng)m=　3　時，關(guān)于x的方程=2+有增根． 【考點(diǎn)】分式方程的增根． 【專題】方程思想． 【分析】由于增根是分式方程化為整式方程后產(chǎn)生的使分式方程的分母為0的根，所以將方程兩邊都乘（x﹣3）化為整式方程，再把增根x=3代入求解即可． 【解答】解：方程兩邊都乘（x﹣3），得 x=2（x﹣3）+m， ∵原方程有增根， ∴最簡公分母x﹣3=0， 解得x=3， 把x=3代入，得 3=0+m， 解得m=3． 故答案為：3． 【點(diǎn)評】本題考查了分式方程的增根，增根問題可按如下步驟進(jìn)行： ①讓最簡公分母為0確定增根； ②化分式方程為整式方程； ③把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值． 　 16．（xx?南通）用換元法解方程，若設(shè)，則可得關(guān)于的整式方程　2y2﹣4y+1=0?。? 【考點(diǎn)】換元法解分式方程． 【專題】壓軸題；換元法． 【分析】本題考查用換元法整理分式方程的能力，根據(jù)題意得設(shè)=y，代入方程可把原方程化為整式． 【解答】解：設(shè)=y， 則可得=， ∴可得方程為2y+=4， 整理得2y2﹣4y+1=0． 【點(diǎn)評】用換元法解分式方程是常用的方法之一，換元時要注意所設(shè)分式的形式及式中不同的變形． 　 17．已知x=3是方程一個根，求k的值=　﹣3　． 【考點(diǎn)】分式方程的解． 【分析】根據(jù)方程的解的定義，把x=3代入原方程，得關(guān)于k的一元一次方程，再求解可得k的值． 【解答】解：把x=3代入方程，得 ， 解得k=﹣3． 故應(yīng)填：﹣3． 【點(diǎn)評】本題主要考查了分式方程的解的定義，屬于基礎(chǔ)題型． 　 18．某市在舊城改造過程中，需要整修一段全長2400m的道路．為了盡量減少施工對城市交通所造成的影響，實(shí)際工作效率比原計(jì)劃提高了20%，結(jié)果提前8小時完成任務(wù)．求原計(jì)劃每小時修路的長度．若設(shè)原計(jì)劃每小時修路xm，則根據(jù)題意可得方程　﹣=8?。? 【考點(diǎn)】由實(shí)際問題抽象出分式方程． 【分析】求的是原計(jì)劃的工效，工作總量為2400，一定是根據(jù)工作時間來列等量關(guān)系．本題的關(guān)鍵描述語是：“提前8小時完成任務(wù)”；等量關(guān)系為：原計(jì)劃用的時間﹣實(shí)際用的時間=8． 【解答】解：原計(jì)劃用的時間為：，實(shí)際用的時間為：．所列方程為：﹣=8． 【點(diǎn)評】應(yīng)用題中一般有三個量，求一個量，明顯的有一個量，一定是根據(jù)另一量來列等量關(guān)系的．本題考查分式方程的應(yīng)用，分析題意，找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．本題應(yīng)用的等量關(guān)系為：工作時間=工作總量工效． 　 三．解答題 19．解分式方程（1）；（2）． 【考點(diǎn)】解分式方程． 【分析】（1）首先乘以最簡公分母（x﹣3）x去分母，然后去括號，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，把x的系數(shù)化為1，最后一定要檢驗(yàn)． （2）首先乘以最簡公分母（x﹣1）（x+1）去分母，然后去括號，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，把x的系數(shù)化為1，最后一定要檢驗(yàn)． 【解答】解：（1）去分母得：2x=3（x﹣3）， 去括號得：2x=3x﹣9， 移項(xiàng)得：2x﹣3x=﹣9， 合并同類項(xiàng)得：﹣x=﹣9， 把x的系數(shù)化為1得：x=9 檢驗(yàn)：當(dāng)x=9時，x（x﹣3）=54≠0． ∴原方程的解為：x=9． （2）去分母得：x+1=2， 移項(xiàng)得：x=2﹣1， 合并同類項(xiàng)得：x=1． 檢驗(yàn)：當(dāng)x=1時，（x﹣1）（x+1）=0，所以x=1是增根， 故原方程無解． 【點(diǎn)評】此題主要考查了分式方程的解法，做題過程中關(guān)鍵是不要忘記檢驗(yàn)，很多同學(xué)忘記檢驗(yàn)，導(dǎo)致錯誤． 　 20．甲乙兩人加工同一種玩具，甲加工90個玩具所用的時間與乙加工120個玩具所用的時間相等，已知甲乙兩人每天共加工35個玩具，求甲乙兩人每天各加工多少個玩具？ 【考點(diǎn)】分式方程的應(yīng)用． 【專題】應(yīng)用題． 【分析】求的是工效，工作總量明顯，一定是根據(jù)工作時間來列等量關(guān)系．本題的關(guān)鍵描述語是：“甲加工90個玩具所用的時間與乙加工120個玩具所用的時間相等”；等量關(guān)系為：甲加工90個玩具所用的時間=乙加工120個玩具所用的時間． 【解答】解：設(shè)甲每天加工x個玩具，那么乙每天加工（35﹣x）個玩具． 由題意得：．（5分） 解得：x=15．（7分） 經(jīng)檢驗(yàn)：x=15是原方程的根．（8分） ∴35﹣x=20（9分） 答：甲每天加工15個玩具，乙每天加工20個玩具．（10分） 【點(diǎn)評】應(yīng)用題中一般有三個量，求一個量，明顯的有一個量，一定是根據(jù)另一量來列等量關(guān)系的．本題考查分式方程的應(yīng)用，分析題意，找到關(guān)鍵描述語，找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵． 　 21．某服裝廠準(zhǔn)備加工300套演出服．在加工60套后，采用了新技術(shù)，使每天的工作效率是原來的2倍，結(jié)果共用9天完成任務(wù)．求該廠原來每天加工多少套演出服？ 【考點(diǎn)】分式方程的應(yīng)用． 【專題】應(yīng)用題． 【分析】關(guān)鍵描述語為：“共用9天完成任務(wù)”；等量關(guān)系為：用老技術(shù)加工60套用的時間+用新技術(shù)加工240套用的時間=9． 【解答】解：設(shè)服裝廠原來每天加工x套演出服． 根據(jù)題意，得：．（3分） 解得：x=20． 經(jīng)檢驗(yàn)，x=20是原方程的根． 答：服裝廠原來每天加工20套演出服．（6分） 【點(diǎn)評】分析題意，找到關(guān)鍵描述語，找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵． 　 22．為了過一個有意義的“六、一”兒童節(jié)，實(shí)驗(yàn)小學(xué)發(fā)起了向某希望小學(xué)捐贈圖書的活動．在活動中，五年級一班捐贈圖書100冊，五年級二班捐贈圖書180冊，二班的人數(shù)是一班人數(shù)的1.2倍，二班平均每人比一班多捐1本書，求兩個班各有多少名同學(xué)？ 【考點(diǎn)】分式方程的應(yīng)用． 【分析】設(shè)一班有x人，則二班有1.2x人．根據(jù)五年級一班捐贈圖書100冊，五年級二班捐贈圖書180冊，二班的人數(shù)是一班人數(shù)的1.2倍，二班平均每人比一班多捐1本書，可列方程求解． 【解答】解：設(shè)一班有x人，則二班有1.2x人． 根據(jù)題意得：， 解得：x=50． 經(jīng)檢驗(yàn)：x=50是原方程的解． 1.2x=1.250=60． 答：一班有50人，二班有60人． 【點(diǎn)評】本題考查分式方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是設(shè)出人數(shù)，以平均每人捐的本數(shù)做為等量關(guān)系列方程求解． 　 23．請你編一道可化為一元一次方程的分式方程（且不含常數(shù)項(xiàng)）的應(yīng)用題，并予以解答． 【考點(diǎn)】分式方程的應(yīng)用． 【分析】本題答案開放，根據(jù)題意要求，先寫出符合要求的方程，如：，然后根據(jù)此方程編擬應(yīng)用題． 【解答】解：甲乙兩個車間分別制造相同的機(jī)器零件，已知甲車間每小時比乙多制造10個機(jī)器零件，這樣甲車間制造170個機(jī)器零件與乙制造160個所用時間相同，求甲乙兩車間每小時各制造機(jī)器零件多少個？ 【點(diǎn)評】此題考查分式方程的應(yīng)用，為開放性試題，答案不唯一．