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2018-2019學年高二數(shù)學下學期期中試題 理 (II) 一、選擇題（本大題共12小題，共60.0分） 1. i為虛數(shù)單位，則復數(shù)在復平面上對應的點位于　　 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 的展開式的所有二項式系數(shù)之和為128，則n為　　 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 函數(shù)，其導函數(shù)為，則　　 A. B. C. D. 4. 若，則　　 A. 8 B. 7 C. 6 D. 4 5. 曲線在點處的切線方程為　　 A. B. C. D. 6. 用反證法證明：“若，，，求證：x，y中至少有一個大于1”時，反設正確的是　　 A. 假設x，y都不大于1 B. 假設x，y都小于1 C. 假設x，y至多有一個大于1 D. 假設x，y至多有兩個大于1 7. 黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如圖的規(guī)律拼成若干個圖案： 則第n個圖案中的白色地面磚有　　 A. 塊 B. 塊 C. 塊 D. 塊 8. 從5名學生中選出4名分別參加數(shù)學，物理，化學，生物四科競賽，其中甲不能參加生物競賽，則不同的參賽方案種數(shù)為() A. 48 B. 72 C. 90 D. 96 9. 已知拋物線與直線交于點P，Q，則如圖所示陰影部分的面積為　　 A. B. C. D. 10. 用5種不同的顏色給如圖標有A，B，C，D的各部分涂色，每部分只涂一種顏色，且相鄰兩部分不同顏色，則不同的涂色方法共有() A. 160種 B. 240種 C. 260種 D. 360種 11. 已知函數(shù)，若方程有一個根，則實數(shù)m的取值范圍是　　 A. B. C. D. 12. 若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，則a的取值范圍是　　 A. B. C. D. 二、填空題（本大題共4小題，共20.0分） 13. 已知，i為虛數(shù)單位，若為實數(shù)，則a的值為_______． 14. 的展開式中只有第6項二項式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項是________ 15. 中國古代數(shù)學名草周髀算經(jīng)曾記載有“勾股各自乘，并而開方除之”，用符號表示為b，，我們把a，b，c叫做勾股數(shù)下列給出幾組勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41，以此類推，可猜測第5組股數(shù)的三個數(shù)依次是______． 16. 已知可導函數(shù)的導函數(shù)滿足，則不等式的解集是______． 三、解答題（本大題共6小題，共70.0分） 17. （10分）已知復數(shù)z滿足是虛數(shù)單位 求復數(shù)z的虛部； 若復數(shù)是純虛數(shù)，求實數(shù)a的值； 若復數(shù)z的共軛復數(shù)為，求復數(shù)的模． 18. （12分）五個人站成一排，求在下列條件下的不同排法種數(shù)： （1）甲必須在排頭； （2）甲、乙相鄰； （3）甲不在排頭，并且乙不在排尾； （4）其中甲、乙兩人自左向右從高到矮排列且互不相鄰． 19. （12分）已知數(shù)列，，，，，，記數(shù)列的前n項和． Ⅰ計算，，，； Ⅱ猜想的表達式，并用數(shù)學歸納法證明． 20. （12分）已知展開式前三項的二項式系數(shù)和為22． 求n的值； 求展開式中的常數(shù)項； 求展開式中二項式系數(shù)最大的項． 21. （12分）已知函數(shù)的極值點為1和2． 求實數(shù)a，b的值． 求函數(shù)在區(qū)間上的最大值． 22. （12分）已知函數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù)． 求證：； 若不等式在上恒成立，求正數(shù)a的取值范圍．  【答案】 1. C 2. C 3. A 4. A 5. C 6. A 7. B 8. D 9. A 10. C 11. A 12. B 13. 14. 180 15. 11，60，61 16. 17. 解：由， 得， 復數(shù)z的虛部為：； ， 復數(shù)是純虛數(shù)， ， 解得． 實數(shù)a的值為：； 由， 得． 則， ． 復數(shù)的模為：． 18. 解：特殊元素是甲，特殊位置是排頭；首先排“排頭”不動，再排其它4個位置，所以共有：種， 把甲、乙看成一個人來排有種，而甲、乙也存在順序變化，所以甲、乙相鄰排法種數(shù)為種； 甲不在排頭，并且乙不在排尾排法種數(shù)為：種； 先將其余3個全排列種，再將甲、乙插入4個空位種，所以，一共有種不同排法． 19. 解：； ； ； ； 猜想． 證明：當時，結論顯然成立； 假設當時，結論成立，即， 則當時，， 當時，結論也成立， 綜上可知，對任意，． 20. 解：由題意，展開式前三項的二項式系數(shù)和為22． 二項式定理展開：前三項的二項式系數(shù)為：， 解得：或舍去． 即n的值為6． 由通項公式， 令， 可得：． 展開式中的常數(shù)項為； 是偶數(shù)，展開式共有7項則第四項最大 展開式中二項式系數(shù)最大的項為． 21. 解： 的極值點為1和2， 的兩根為1和2， ，解得，． 由得，， 當x變化時，與的變化情況如下表： ， ． 22. 證明：由題意知，要證，只需證， 求導得，當時，， 當時，， 在是增函數(shù)，在時是減函數(shù)， 即在時取最小值， ，即， ． 不等式在上恒成立，即在上恒成立， 亦即在上恒成立，令，， 以下求在上的最小值， ，當時，， 當時，， 當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增， 在處取得最小值為， 正數(shù)a的取值范圍是． 【解析】 1. 【分析】 本題主要考查復數(shù)的幾何意義，根據(jù)條件先進行化簡是解決本題的關鍵． 根據(jù)復數(shù)的幾何意義以及復數(shù)的基本運算進行化簡求解即可． 解：， 對應點的坐標為位于第三象限， 故選C． 2. 【分析】 本題考查了二項式定理的性質(zhì)及其應用，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題令，可得，解得n． 【解答】 解：令，可得，解得． 故選C． 3. 【分析】 本題考查了導數(shù)的運算法則和導數(shù)值的求法，屬于基礎題． 先求導，再代值計算即可． 【解答】 解：函數(shù)，其導函數(shù)為， ， 故選A． 4. 解：， ， 化簡得； 解得． 故選：A． 利用排列與組合數(shù)公式，進行化簡計算即可． 本題考查了排列與組合的計算與化簡問題，是基礎題目． 5. 【分析】 求導函數(shù)，確定曲線在點處的切線斜率，從而可求切線方程本題考查導數(shù)的幾何意義，考查切線方程，屬于基礎題． 【解答】 解：求導函數(shù)可得， 當時，， 曲線在點處的切線方程為 故選C． 6. 解：，y中至少有一個大于1， 其否定為x，y均不大于1， 故選：A． 假設原命題不成立，也就是x，y均不大于1成立． 本題考查反證法，考查學生分析解決問題的能力，屬于基礎題． 7. 解：第1個圖案中有白色地面磚6塊；第2個圖案中有白色地面磚10塊；第3個圖案中有白色地面磚14塊； 設第n個圖案中有白色地面磚n塊，用數(shù)列表示，則，，，可知， 數(shù)列是以6為首項，4為公差的等差數(shù)列， ． 故選：B． 通過已知的幾個圖案找出規(guī)律，可轉化為求一個等差數(shù)列的通項公式問題即可． 由已知的幾個圖案找出規(guī)律轉化為求一個等差數(shù)列的通項公式是解題的關鍵． 8. 【分析】 本題考查排列、組合的實際應用，注意優(yōu)先考慮特殊元素，屬于基礎題根據(jù)題意，分2種情況討論選出參加競賽的4人，、選出的4人沒有甲，、選出的4人有甲，分別求出每一種情況下分選法數(shù)目，由分類計數(shù)原理計算可得答案． 【解答】 解：根據(jù)題意，從5名學生中選出4名分別參加競賽， 分2種情況討論： 、選出的4人沒有甲，即選出其他4人即可，有種情況， 、選出的4人有甲，由于甲不能參加生物競賽，則甲有3種選法， 在剩余4人中任選3人，參加剩下的三科競賽，有種選法， 則此時共有種選法， 則有種不同的參賽方案． 故選D． 9. 解：聯(lián)立方程組得， 解得或， 拋物線與直線交于點P，Q，則所示陰影部分的面積， 故選：A． 根據(jù)方程組得解求出積分上下限，再根據(jù)定積分的應用得到則所示陰影部分的面積，求定積分即可． 本題考查了定積分在求面積中的應用，屬于基礎題． 10. 解：對于A區(qū)域，有5種顏色可選，即有5種涂法， 分類討論其他3個區(qū)域：若B、D區(qū)域涂不同的顏色，則有種涂法，C區(qū)域有3種涂法，此時其他3個區(qū)域有種涂法； 若B、D區(qū)域涂相同的顏色，則有4種涂法，C區(qū)域有4種涂法，此時其他3個區(qū)域有有種涂法； 則共有種； 故選：C． 根據(jù)題意，先分析A區(qū)域，有5種顏色可選，即有5種涂法方案，再分若B、D區(qū)域涂不同的顏色，若B、D區(qū)域涂相同的顏色，兩種情況討論其他3個區(qū)域的涂色方案，由分類計數(shù)原理可得其他個區(qū)域的涂色方案的數(shù)目；再由分步計數(shù)原理計算可得答案． 本題考查計數(shù)原理的運用，考查學生分析解決問題的能力，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題． 11. 【分析】 本題主要考查函數(shù)與方程的應用，利用條件轉化為兩個函數(shù)的交點問題，求的導數(shù)，研究函數(shù)的極值和圖象是解決本題的關鍵． 由得，求出函數(shù)的導數(shù)研究函數(shù)的極值，利用數(shù)形結合進行求解即可． 【解答】 解：若方程有一個根， 則得有一個解， 即函數(shù)與的圖象有一個交點， ，， 函數(shù)的導數(shù) 由得，即或，此時函數(shù)為增函數(shù)， 由得，即，此時函數(shù)為減函數(shù)， 則當時，函數(shù)取得極小值，， 當時，函數(shù)取得極大值，， 作出函數(shù)的圖象如圖： 由圖象知要使與的圖象有一個交點， 則或， 即實數(shù)m的取值范圍是， 故選：A． 12. 【分析】 本題考查的是導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系，以及恒成立問題的轉化，屬于中檔題． 由求導公式和法則求出，由條件和導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系分類討論，分別列出不等式進行分離常數(shù)，再構造函數(shù)后，利用整體思想和二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最值，可得a的取值范圍． ? 【解答】 解：由題意得，， 因為在上是單調(diào)函數(shù)， 所以或在上恒成立， 當時，則在上恒成立， 即，設， 因為，所以， 當時，取到最大值是：0， 所以， 當時，則在上恒成立， 即，設， 因為，所以， 當時，取到最大值是： ， 所以， 綜上可得，或， 所以數(shù)a的取值范圍是， 故選B． 13. 【分析】 運用復數(shù)的除法法則，結合共軛復數(shù)，化簡，再由復數(shù)為實數(shù)的條件：虛部為0，解方程即可得到所求值， 本題考查復數(shù)的乘除運算，注意運用共軛復數(shù)，同時考查復數(shù)為實數(shù)的條件：虛部為0，考查運算能力，屬于基礎題． 【解答】 解：，i為虛數(shù)單位， 由為實數(shù)， 可得， 解得． 故答案為． 14. 【分析】 本題考查了二項式定理的應用和二項展開式的特定項與特定項的系數(shù)，利用二項展開式的二項式系數(shù)性質(zhì)得，再利用二項展開式的特定項的系數(shù)計算得結論． 【解答】 解：展開式中只有第六項二項式系數(shù)最大，． 則展開式的通項為， 令，得，所以展開式中的常數(shù)項為． 故答案為180． 15. 【分析】 本題考查歸納推理，考查學生分析解決問題的能力，比較基礎先找出勾股數(shù)的規(guī)律：以上各組數(shù)均滿足；最小的數(shù)是奇數(shù)，其余的兩個數(shù)是連續(xù)的正整數(shù)；最小奇數(shù)的平方等于另兩個連續(xù)整數(shù)的和，即可得出結論． 【解答】 解：先找出勾股數(shù)的規(guī)律：以上各組數(shù)均滿足；最小的數(shù)是奇數(shù)，其余的兩個數(shù)是連續(xù)的正整數(shù)；最小奇數(shù)的平方等于另兩個連續(xù)整數(shù)的和， 如，，，，由以上特點我們可第組勾股數(shù)：， 故答案為11，60，61． 16. 【分析】 本題考查導數(shù)的運算和不等式求解，構造函數(shù)，求導后結合f (x)/>，可知函數(shù)是實數(shù)集上的增函數(shù)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性可求得不等式的解集，屬中檔題． 【解答】 解：令， 則， 因為f (x)/>， 所以， 所以函數(shù)為上的增函數(shù)， 因為函數(shù)不等式， 所以， 所以． 故答案為． 17. 由，得，然后由復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡復數(shù)z得答案； 把復數(shù)z代入化簡，再由已知條件列出方程組，求解可得答案； 由復數(shù)z求出，然后代入復數(shù)化簡，再由復數(shù)求模公式計算得答案． 本題考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復數(shù)的基本概念，考查了復數(shù)模的求法，是中檔題． 18. 特殊元素是甲，特殊位置是排頭；首先排“排頭”不動，再排其它4個位置， 利用捆綁法，把甲乙二人看作一個復合元素，再和另外3的全排列． 利用間接法，先任意排，再排除甲在排頭，乙在排尾的情況， 先排剩余的3人，形成4個空，再插入甲乙即可． 本題考查了排隊問題中的幾種常用的方法，審清題意，選擇合理的方法是關鍵，屬于中檔題． 19. 本題考查了歸納推理得出數(shù)列前n項和公式，利用數(shù)學歸納法證明，屬于基礎題． 分別計算出、、、，歸納出； 用數(shù)學歸納法證明數(shù)學命題時的基本步驟：檢驗成立，假設時成立，由成立推導成立，要注意由歸納假設到檢驗的遞推，利用數(shù)學歸納法的步驟證明即可． 20. 本題主要考查二項式定理的應用，通項公式的計算，屬于基礎題． 利用公式展開得前三項，系數(shù)和為22，即可求出n． 利用通項公式求解展開式中的常數(shù)項即可． 利用通項公式求展開式中二項式系數(shù)最大的項． 21. 本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題由導數(shù)的運算法則可得：， 由的極值點為1和2，可知的兩根為1和2，利用根與系數(shù)的關系即可得出； 由得，當x變化時，與的變化情況列出表格． 22. 要證，只需證，求導得，利用導數(shù)性質(zhì)能證明． 不等式在上恒成立，即在上恒成立，令，，利用導數(shù)性質(zhì)求在上的最小值，由此能求出正數(shù)a的取值范圍． 本題考查不等式的證明，考查正數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質(zhì)的合理運用．