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全等三角形 一、選擇題 1.如圖，某同學(xué)將一塊三角形玻璃打碎成三塊，現(xiàn)要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的辦法是（） A.帶（1）去B.帶（2）去C.帶（3）去D.帶（1）（2）去 2.已知：△ABC≌△DEF，AB=DE，∠A=70，∠E=30，則∠F的度數(shù)為（　?。? A.80B.70C.30D.100 3.如圖,在△ABC中,∠C=90,ED⊥AB于點(diǎn)D,BD=BC,若AC=6 cm,則AE+DE等于( ) A.4 cmB.5 cmC.6 cmD.7 cm 4.如圖，若△ABE≌△ACF ， 且AB＝5，AE＝3，則EC的長(zhǎng)為（ ） A.2B.3 　C.5D.2.5 5.如圖，已知兩個(gè)全等直角三角形的直角頂點(diǎn)及一條直角邊重合，將△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到△A′CB′的位置，其中A′C交直線(xiàn)AD于點(diǎn)E，A′B′分別交直線(xiàn)AD，AC于點(diǎn)F，G．則旋轉(zhuǎn)后的圖中，全等三角形共有（　　）? A.2對(duì)B.3對(duì)C.4對(duì)D.5對(duì) 6.如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90，四邊形ACDE是平行四邊形，連結(jié)CE交AD于點(diǎn)F，連結(jié)BD交CE于點(diǎn)G，連結(jié)BE. 下列結(jié)論中：① CE=BD=2；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB=∠AEB；④ CDAE=EFCG；一定正確的結(jié)論有（） A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè) 7.如圖，在平行四邊形ABCD中，連接對(duì)角線(xiàn)AC、BD，圖中的全等三角形的對(duì)數(shù)（ ） A.1對(duì)B.2對(duì)C.3對(duì)D.4對(duì) 8.如圖已知△ABE≌△ACD, AB=AC, BE=CD，∠B=40,∠AEC=120則∠DAC的度數(shù)為 （ ） A.80B.70C.60D.50 9.如圖，△ABC≌△ADE，∠B=80，∠C=30，∠DAC=35，則∠EAC的度數(shù)為（　　） A.40B.35 C.30D.25 10.如圖，小正方形邊長(zhǎng)為1，連接小正方形的三個(gè)頂點(diǎn)，可得△ABC，則AC邊上的高是( ) A.B.C.D. 二、填空題 11.用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角得到兩個(gè)角相等的依據(jù)是________ 12.如圖，在一張矩形紙片ABCD中，AB=4，BC=8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，BC上，將紙片ABCD沿直線(xiàn)EF折疊，點(diǎn)C落在AD上的一點(diǎn)H處，點(diǎn)D落在點(diǎn)G處，有以下四個(gè)結(jié)論： ①四邊形CFHE是菱形； ②EC平分∠DCH； ③線(xiàn)段BF的取值范圍為3≤BF≤4； ④當(dāng)點(diǎn)H與點(diǎn)A重合時(shí)，EF=2 ． 以上結(jié)論中，你認(rèn)為正確的有________．（填序號(hào)） 13.如圖，在由邊長(zhǎng)為1cm的小正方形組成的網(wǎng)格中，畫(huà)如圖所示的燕尾形工件，現(xiàn)要求最大限度的裁剪出10個(gè)與它全等的燕尾形工件，則這個(gè)網(wǎng)格的長(zhǎng)至少為（接縫不計(jì)）________． 14.如圖，E為正方形ABCD中CD邊上一點(diǎn)，∠DAE=30，P為AE的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)分別與AD、BC相交于點(diǎn)M、N．若MN=AE，則∠AMN等于________ 15.兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”，如圖，四邊形ABCD是一個(gè)箏形，其中AD=CD，AB=CB，得到如下結(jié)論：①AC⊥BD；②AO=CO= AC；③△ABD≌△CBD，其中正確的結(jié)論有________（填序號(hào)）． 16.如圖，CA⊥AB，垂足為點(diǎn)A，AB=8，AC=4，射線(xiàn)BM⊥AB，垂足為點(diǎn)B，一動(dòng)點(diǎn)E從A點(diǎn)出發(fā)以2厘米/秒的速度沿射線(xiàn)AN運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D為射線(xiàn)BM上一動(dòng)點(diǎn)，隨著E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，且始終保持ED=CB，當(dāng)點(diǎn)E離開(kāi)點(diǎn)A后，運(yùn)動(dòng)________秒時(shí)，△DEB與△BCA全等． 17.在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小明提出這樣一個(gè)問(wèn)題：∠B=∠C=90，E是BC的中點(diǎn)，DE平分∠ADC，∠CED=35，如圖7，則∠EAB是多少度？請(qǐng)你說(shuō)出∠EAB= ________度 18.如圖（1）所示，已知AB=AC，D為∠BAC的角平分線(xiàn)上面的一點(diǎn)，連接BD、CD；如圖（2）已知AB=AC，D、E、F為∠BAC的角平分線(xiàn)上面的三點(diǎn)，連接BD、CD、BE、CE、BF、CF；…，依次規(guī)律，第N個(gè)圖形中有全等三角形的對(duì)數(shù)是________． 三、解答題 19.已知，如圖：AE⊥AB，BC⊥AB，AE=AB，ED=AC．求證：ED⊥AC． 20.如圖，兩根旗桿AC與BD相距12m，某人從B點(diǎn)沿AB走向A，一定時(shí)間后他到達(dá)點(diǎn)M，此時(shí)他仰望旗桿的頂點(diǎn)C和D，兩次視線(xiàn)夾角為90，且CM=DM．已知旗桿AC的高為3m，該人的運(yùn)動(dòng)速度為0.5m/s，求這個(gè)人走了多長(zhǎng)時(shí)間？ 21.如圖1，等邊△ABC中，D是AB上一點(diǎn)，以CD為邊向上作等邊△CDE，連結(jié)AE． （1）求證：AE∥BC； （2）如圖2，若點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，其余條件均不變，（1）中結(jié)論是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由． 22.如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC于點(diǎn)G，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F． （1）證明：BE=CF； （2）如果AB=16，AC=10，求AE的長(zhǎng)． 23.將一塊正方形和一塊等腰直角三角形如圖1擺放． （1）如果把圖1中的△BCN繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，得到圖2，則∠GBM=________； （2）將△BEF繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)． ①當(dāng)M，N分別在AD，CD上（不與A，D，C重合）時(shí)，線(xiàn)段AM，MN，NC之間有一個(gè)不變的相等關(guān)系式，請(qǐng)你寫(xiě)出這個(gè)關(guān)系式：________；（不用證明） ②當(dāng)點(diǎn)M在AD的延長(zhǎng)線(xiàn)上，點(diǎn)N在DC的延長(zhǎng)線(xiàn)時(shí)（如圖3），①中的關(guān)系式是否仍然成立？若成立，寫(xiě)出你的結(jié)論，并說(shuō)明理由；若不成立，寫(xiě)出你認(rèn)為成立的結(jié)論，并說(shuō)明理由． 24.已知矩形紙片ABCD中，AB=2，BC=3． 操作：將矩形紙片沿EF折疊，使點(diǎn)B落在邊CD上． 探究： （1）如圖1，若點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，你認(rèn)為△EDA1和△FDC全等嗎？如果全等，請(qǐng)給出證明，如果不全等，請(qǐng)說(shuō)明理由； （2）如圖2，若點(diǎn)B與CD的中點(diǎn)重合，請(qǐng)你判斷△FCB1、△B1DG和△EA1G之間的關(guān)系，如果全等，只需寫(xiě)出結(jié)果，如果相似，請(qǐng)寫(xiě)出結(jié)果和相應(yīng)的相似比； （3）如圖2，請(qǐng)你探索，當(dāng)點(diǎn)B落在CD邊上何處，即B1C的長(zhǎng)度為多少時(shí)，△FCB1與△B1DG全等．  參考答案 一、選擇題 C A C B C C D A B C 二、填空題 11. SSS 12. ①③④ 13. 21 14. 60或120 15. ①②③ 16. 0，2，6，8 17. 35 18. n（n+1） 三、解答題 19. 證明：∵AE⊥AB，BC⊥AB， ∴∠EAD=∠CBA=90， 在Rt△ADE和中Rt△ABC中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△ABC（HL）， ∴∠EDA=∠C， 又∵在Rt△ABC中，∠B=90， ∴∠CAB+∠C=90 ∴∠CAB+∠EDA=90， ∴∠AFD=90， ∴ED⊥AC 20. 解：∵∠CMD=90， ∴∠CMA+∠DMB=90， 又∵∠CAM=90， ∴∠CMA+∠ACM=90， ∴∠ACM=∠DMB， 在△ACM和△BMD中， ， ∴△ACM≌△BMD（AAS）， ∴AC=BM=3m， ∴他到達(dá)點(diǎn)M時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為30.5=6（s）， 答：這個(gè)人從B點(diǎn)到M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了6s． 21. （1）證明：∵∠BCA=∠DCE=60， ∴∠BCA﹣∠ACD=∠DCE﹣∠ACD， 即∠BCD=∠ACE， ∵△ABC和△DCE是等邊三角形， ∴BC=AC，DC=EC， 在△BDC與△ACE中， ， ∴△DBC≌△ACE（SAS）， ∴∠B=∠CAE， ∴∠B=∠CAE=∠BAC=60， ∴∠CAE+∠BAC=∠BAE=120， ∴∠B+∠BAE=180， ∴AE∥BC （2）成立，證明如下： ∵△DBC≌△ACE， ∴∠BDC=∠AEC， 在△DMC和△AME中， ∵∠BDC=∠AEC（已證）， ∴∠DMC=∠EMA， ∴△DMC∽△EMA， ∴∠EAM=∠DCM=60， ∴∠EAC=120， 又∵∠DCA+∠CAE=∠DCE+∠ECA+CEA=180+∠ECA， ∴AE∥BC 22. （1）證明：如圖，連接BD、CD． ∵DG⊥BC，BG=GC， ∴DB=DC， ∵DA平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF， 在Rt△DEB和Rt△DFC中， ， ∴△DEB≌△DFC， ∴BE=CF． （2）解：在Rt△ADE和rT△ADF中， ， ∴△ADE≌△ADF， ∴AE=AF， ∴AB﹣BE=AC+CF， ∴2AE=AB﹣AC=16﹣10， ∴AE=3 23. （1）45 （2）MN=AM+CN 24. （1）解：全等． ∵四邊形ABCD是矩形， 所以∠A=∠B=∠C=∠ADC=90，AB=CD， 由題意知：∠A=∠A1 ， ∠B=∠A1DF=90，CD=A1D， 所以∠A1=∠C=90，∠CDF+∠EDF=90， 所以∠A1DE=∠CDF，所以△EDA1≌△FDC（ASA） （2）解：△B1DG和△EA1G全等． △FCB1與△B1DG相似，設(shè)FC= ，則B1F=BF= ，B1C= DC=1， 所以 ，所以 ， 所以△FCB1與△B1DG相似，相似比為4：3 （3）解：△FCB1與△B1DG全等．設(shè) ，則有 ， ， 在直角 中，可得 ， 整理得 ，解得 (另一解舍去)， 所以，當(dāng)B1C= 時(shí)，△FCB1與△B1DG全等．