初一年級實數(shù)所有知識點總結(jié)及??碱}提高難題壓軸題練習(xí)[含答案及解析]
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1、完美格式.編輯 專業(yè).資料整理 初一實數(shù)所有知識點總結(jié)和常考題 知識點: 一、實數(shù)的概念及分類 1、實數(shù)的分類 {正有理數(shù) } r 有理數(shù) 零 有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù) 實數(shù)[ 負(fù)有理數(shù) {正無理數(shù)) 無理數(shù) 無限不循環(huán)小數(shù) 負(fù)無理數(shù) ( 整數(shù)包括正整數(shù)、零、負(fù)整數(shù)。 L正整數(shù)又叫自然數(shù)。 正整數(shù)、零、負(fù)整數(shù)、正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。 2、無理數(shù) 在理解無理數(shù)時,要抓住“無限不循環(huán)”這一時之,歸納起來有四類: (1)開方開不盡的數(shù),如不/等; +8等; .一「、 . . …… . " (2)有特定意義的數(shù),如圓周率 冗,或化簡
2、后含有 冗的數(shù),如一 3 (3)有特定結(jié)構(gòu)的數(shù),如 0.1010010001…等; 、實數(shù)的倒數(shù)、相反數(shù)和絕對值 1、相反數(shù) 實數(shù)與它的相反數(shù)時一對數(shù)(只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù),零的 相反數(shù)是零),從數(shù)軸上看,互為相反數(shù)的兩個數(shù)所對應(yīng)的點關(guān)于原點對稱,如 果a與b互為相反數(shù),則有a+b=0, a=- b,反之亦成立。 2、絕對值 一個數(shù)的絕對值就是表示這個數(shù)的點與原點的距離, 間>00零的絕對值時 它本身,也可看成它的相反數(shù),若|a|=a ,則a>0;若|a|=-a ,則a<0o正數(shù)大 于零,負(fù)數(shù)小于零,正數(shù)大于一切負(fù)數(shù),兩個負(fù)數(shù),絕對值大的反而小。 3、倒數(shù) 如果
3、a與b互為倒數(shù),則有ab=1,反之亦成立。倒數(shù)等于本身的數(shù)是 1和 -1。零沒有倒數(shù)。 4.實數(shù)與數(shù)軸上點的關(guān)系: 每一個無理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點表示出來, 數(shù)軸上的點有些表示有理數(shù),有些表示無理數(shù), 實數(shù)與數(shù)軸上的點就是一一對應(yīng)的,即每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點 來表示;反過來,數(shù)軸上的每一個點都是表示一個實數(shù)。 三、平方根、算數(shù)平方根和立方根 1、平方根 (1)平方根的定義:如果一個數(shù)x的平方等于a,那么這個數(shù)x就叫做a的平方根.即: 如果x2 a ,那么x叫做a的平方根. (2)開平方的定義:求一個數(shù)的 平方根的運(yùn)算,叫做開平方.開平方 運(yùn)算的被開方數(shù) 必須是非負(fù)
4、數(shù)才有意義。 (3)平方與開平方互為逆運(yùn)算: 3的平方等于9, 9的平方根是 3 (4) 一個正數(shù)有兩個平方根,即正數(shù)進(jìn)行開平方運(yùn)算有兩個結(jié)果; 一個負(fù)數(shù)沒有平方根, 即負(fù)數(shù)不能 進(jìn)行開平方運(yùn)算 (5)符號:正數(shù)a的正的平方根可用4*表示,MW也是a的算術(shù)平方根; 正數(shù)a的負(fù)的平方根可用-7a表示. 2 (6)x a < — > a是x的平方 x a x 的平方是a x是a的平方根 a 的平方根是x 2、算術(shù)平方根 (1)算術(shù)平方根的定義:一般地,如果一個正數(shù)x的平方等于a,即x 一個數(shù)a的立方根,記作3/a,讀作:“三次根號 a”, 其中a叫被開方數(shù),3叫根
5、指數(shù),不能省略,若省略表示平方。 a,那么這 個正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根.a的算術(shù)平方根記為 0a,讀作“根 號a”,a叫做被開方數(shù). 一 規(guī)定:0的算術(shù)平方根是0. 也就是,在等式x2 a (x >0)中,規(guī)定x Va 。 (2) dW的結(jié)果有兩種情況:當(dāng)a是完全平方數(shù)時,孤 是一個有限數(shù); 當(dāng)a不是一個完全平方數(shù) 時,石 是一個無限不循環(huán)小數(shù)。 (3) 當(dāng)被開方數(shù)擴(kuò)大 時,它的算術(shù)平方根 也擴(kuò)大; 當(dāng)被開方數(shù)疝二時與它的算術(shù)平方根也縮小。 (4) 夾值法及估計一個(無理)數(shù)的大小 (5) x2 a (x >0) < —> x Va a是x的平方 x 的平方是a x是
6、a的算術(shù)平方根 a 的算術(shù)平方根是x (6)正數(shù)和零的算術(shù)平方根都只有一個,零的算術(shù)平方根是零。 a (a 0) r A 0 Va2 a < ;注意后的雙重非負(fù)性:Y J - a ( a <0) J a 0 (7)平方根和算術(shù)平方根 兩者既有區(qū)別又有聯(lián)系: 區(qū)別在于正數(shù)的平方根有兩個,而它的算術(shù)平方根只有一個; 聯(lián)系在于 正數(shù)的正平方根 就是它的算術(shù)平方根,而正數(shù)的負(fù)平方根 是它的算術(shù)平方根 的相反數(shù)。 3、立方根 (1)立方根的定義:如果 一個數(shù)x的立方等于a ,這個數(shù)叫做a的立方根(也叫做二 3 次萬根),即如果x a ,那么x叫做a的立萬根 數(shù),即 3f-a 3/
7、a a 0 o ,一、 3 一 一 3 一 (5) x a < —> x 7a a是x的立方 x 的立方是 a x是a的立方根 a 的立方根是x (6)3r~a ya,這說明三次根號內(nèi)的負(fù)號可以移到根號外面。 四、科學(xué)記數(shù)法和近似數(shù) 1、有效數(shù)字 一個近似數(shù)四舍五入到哪一位, 就說它精確到哪一位, 這時,從左邊第一個不是零的數(shù) 字起到右邊精確的數(shù)位止的所有數(shù)字,都叫做這個數(shù)的有效數(shù)字。 2、科學(xué)記數(shù)法 把一個數(shù)寫做 a 10n的形式,其中1 a 10, n是整數(shù),這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù) 法。 五、實數(shù)大小的比較 1、數(shù)軸 規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸
8、 (畫數(shù)軸時,要注意三要素缺一不可)C 解題時要真正掌握數(shù)形結(jié)合的思想, 理解實數(shù)與數(shù)軸的點是一一對應(yīng)的, 并能靈活運(yùn)用。 2、實數(shù)大小比較的幾種常用方法 (1)數(shù)軸比較:在數(shù)軸上表示的兩個數(shù),右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。 (2)求差比較:設(shè)a、b是實數(shù), a b 0 a b, a b 0 a b, a b 0 a b a a a (3)求商比較法:設(shè)a、b是兩正頭數(shù),一 1 a b;- 1 a b;- 1 a b; b b b (4)絕對值比較法:設(shè) a、b是兩負(fù)實數(shù),則 a b a b。 (5)平方法:設(shè)a、b是兩負(fù)實數(shù),則a2 b2 a b。 六、實數(shù)的運(yùn)算
9、1、加法交換律 abba 2、加法結(jié)合律 (a b) c a (b c) 3、乘法交換律 ab ba 4、乘法結(jié)合律 (ab)c a(bc) 5、乘法對加法的分配律 a(b c) ab ac 6、實數(shù)混合運(yùn)算時,對于運(yùn)算順序有什么規(guī)定? 實數(shù)混合運(yùn)算時,將運(yùn)算分為三級, 加減為一級運(yùn)算,乘除為二能為運(yùn)算, 乘方為三 級運(yùn)算。同級運(yùn)算時,從左到右依次進(jìn)行;不是同級的混合運(yùn)算,先算乘方,再算乘除, 而后才算加減;運(yùn)算中如有括號時,先做括號內(nèi)的運(yùn)算,按小括號、中括號、大括號的順 序進(jìn)行。 7、有理數(shù)除法運(yùn)算法則就什么? 兩有理數(shù)除法運(yùn)算法則可用兩種方式來表述:第一,除
10、以一個不等于零的數(shù),等于乘以 這個數(shù)的倒數(shù);第二,兩數(shù)相除,同號得正,異號得負(fù),并把絕對值相除。零除以任何一個 不為零的數(shù),商都是零。 8、什么叫有理數(shù)的乘方?哥?底數(shù)?指數(shù)? 相同因數(shù)相乘積的運(yùn)算叫乘方, 乘方的結(jié)果叫哥,相同因數(shù)的個數(shù)叫指數(shù),這個因數(shù)叫 底數(shù)。記作:a n 9、有理數(shù)乘方運(yùn)算的法則是什么? 負(fù)數(shù)的奇次哥是負(fù)數(shù),負(fù)數(shù)的偶次哥是正數(shù)。正數(shù)的任何次哥都是正數(shù)。零的任何正整數(shù)哥 都是零。 10、加括號和去括號時各項的符號的變化規(guī)律是什么? 去(加)括號時如果括號外的因數(shù)是正數(shù),去(加)括號后式子各項的符號與原括號內(nèi)的式 子相應(yīng)各項的符號相同; 括號外的因數(shù)是負(fù)數(shù)去
11、(加)括號后式子各項的符號與原括號內(nèi)式 子相應(yīng)各項的符號相反。 常考題: 一.選擇題(共13小題) 1. 9的平方根為( ) A. 3 B. - 3 C. D. 土?xí)? 2. Ji的算術(shù)平方根是( ) A. 2 B. 22. C D. 土. 3 .下列各組數(shù)中,互為相反數(shù)的一組是( ) A. 2與憶7 B. -2與匕C. -2與-羨D. |-2|與2 4 .如圖,數(shù)軸上A, B兩點分別對應(yīng)實數(shù)a, b,則下列結(jié)論正確的是( ) __? 1 W ? - i -1 0 a 1 A. a+b>0 B. ab>0 C. a-b>0 D. |a| - |b| >0 5 .估算收-
12、2的值( ) A.在1到2之間 B.在2至ij 3之間 C.在3到4之間 D.在4至U 5之間 6 .估計國的值( ) A.在3到4之間 B.在4至IJ 5之間 C.在5到6之間 D.在6至U 7之間 7 .估計收+3的值( ) A.在5和6之間 B.在6和7之間 C.在7和8之間 D.在8和9之間 8 . 一個正方形的面積是15,估計它的邊長大小在( ) A. 2與3之間 B. 3與4之間 C 4與5之間 D. 5與6之間 9 .如圖,在數(shù)軸上表示實數(shù),元的點可能是( ) P Q M N 1 L* 1 t-l~_fl~fr 0 12 5 4 A.點P B?點Q C?點M
13、D.點N 10 .數(shù)軸上表示1,6的對應(yīng)點分別為A, B,點B關(guān)于點A的對稱點為C,則點 C所表示的數(shù)是( ) C A 5 1111 0 7 1 VI A. V2- 1 B. 1-吏 C. 2 ^/2 D. V2-2 11 .下列說法不正確的是( ) A. 1的平方根是1 B. - 1的立方根是-1 C.是2的平■方根 D. - 3是Ju 2的平■方根 12 .下列各數(shù)中,3.14159, -加,0.131131113…(相鄰兩個 3之間1的個數(shù) 逐次加1個),-兀,收,-y,無理數(shù)的個數(shù)有( ) A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個 13 .實數(shù)a, b, c在數(shù)
14、軸上對應(yīng)的點如圖所示,則下列式子中正確的是( )
* *— 4 ? a b 。 c x
A. ac>bc B. |a — b|=a — b C. — a< —b 15、 . 5-4的小數(shù)部分是 .
24 .比較大?。夯M羅(填 “>” " =”).
2 乙
25 .若x, y為實數(shù),且炭+2卜后二工貝U(x+y) 2010的值為.
26 .若將三個數(shù) 一巧,g 歷表示在數(shù)軸上,其中能被如圖所示的墨跡覆蓋
的數(shù)是. -5 -3 -2
三.解答題(共14小題)
27 .計算:(-2) 2+ (-3) >2-日.
28 .計算:(-2) +|V2- 1| - VsV-
29 .求值:血 25+ (—)2+ (T) 215.
30 .閱讀下面的文字,解答問題:
大家知道正是無理數(shù),而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù),因此 血的小數(shù)部分我們不 可能全部地寫 16、出來,于是小明用 於T來表示附的小數(shù)部分,你同意小明的表示 方法嗎?
事實上,小明的表示方法是有道理,因為量的整數(shù)部分是1,將這個數(shù)減去其整
數(shù)部分,差就是小數(shù)部分.
又例如:<也</?<,即2<聽<3,
一?小的整數(shù)部分為2,小數(shù)部分為(小到
請解答:(1)如果近的小數(shù)部分為a,恒的整數(shù)部分為b,求肝b-泥的值; (2)已知:10+上"劃,其中x是整數(shù),且0<y<1,求x-y的相反數(shù).
31 .已知:x-2的平方根是2, 2x+y+7的立方根是3,求x2+y2的算術(shù)平方根.
32 .已知,a、b互為倒數(shù),c、d互為相反數(shù),求-初F+正匚i+l|的值.
33 .設(shè)2+幾的整數(shù)部 17、分和小數(shù)部分分別是 x、y,試求x、y的值與x- 1的算術(shù)
平方根.
34 .計算:(-2) 2- (3-5) - E+2X (-3)
35 . (1)有這樣一個問題:卜門與下列哪些數(shù)相乘,結(jié)果是有理數(shù)?
A、%;B、271;C、6+6;d;E、0,問題的答案是(只需填字母):;
(2)如果一個數(shù)與血相乘的結(jié)果是有理數(shù),則這個數(shù)的一般形式是什么(用代
數(shù)式表示).
36 .求值:已知y=x2- 5,且y的算術(shù)平方根是2,求x的值.
37 .畫一條數(shù)軸,把-1方,加,2各數(shù)和它們的相反數(shù)在數(shù)軸上表示出來,并
比較它們的大小,用號連接.
38 .求x的值:
, 、 2 _
18、(1) 4x=25;
(2) (x-0.7) 3=0.027.
39 .已知2a - 1的平方根是3, 3a+b- 1的算術(shù)平方根是4,求12a+2b的立方根.
40 .已知M=T/7詞是m+3的算術(shù)平方根,N=I升江工是n - 2的立方根,試求 M- N的值.
初一實數(shù)所有知識點總結(jié)和??碱}提高難題壓軸題練習(xí) (含答案解析)
參考答案與試題解析
一.選擇題(共13小題)
1. (2017砒漢模擬)9的平方根為( )
A. 3 B. - 3 C. D. 土立
【分析】根據(jù)平方根的定義求解即可,注意一個正數(shù)的平方根有兩個.
【解答】解:9的平方根有:土共B
故選C.
【點 19、評】此題考查了平方根的知識,屬于基礎(chǔ)題,解答本題關(guān)鍵是掌握一個正數(shù) 的平方根有兩個,且互為相反數(shù).
2. (2015?日照)也的算術(shù)平方根是( )
A. 2 B.垠 C. ^ D. :
【分析】先求得Wi的值,再繼續(xù)求所求數(shù)的算術(shù)平方根即可.
【解答】解:???丘=2,
而2的算術(shù)平方根是防,
的算術(shù)平方根是英,
故選:C.
【點評】此題主要考查了算術(shù)平方根的定義, 解題時應(yīng)先明確是求哪個數(shù)的算術(shù) 平方根,否則容易出現(xiàn)選 A的錯誤.
3. (2002淅州)下列各組數(shù)中,互為相反數(shù)的一組是( )
A. -2與尼7B. -2與匕C. -2與,D. [-2|與2
【分析】根據(jù) 20、相反數(shù)的概念、性質(zhì)及根式的性質(zhì)化簡即可判定選擇項.
【解答】解:A J(_2產(chǎn)2, -2與2互為相反數(shù),故選項正確;
B、0= 2, -2與-2不互為相反數(shù),故選項錯誤;
C、-2與—不互為相反數(shù),故選項錯誤;
D | - 2|=2, 2與2不互為相反數(shù),故選項錯誤.
故選A.
【點評】本題考查的是相反數(shù)的概念,只有符號不同的兩個數(shù)叫互為相反數(shù). 如
果兩數(shù)互為相反數(shù),它們的和為 0.
4. (2009?工蘇)如圖,數(shù)軸上 A, B兩點分別對應(yīng)實數(shù)a, b,則下列結(jié)論正確
的是( )
B A
til I 映 II -
i -1 0 a 1
A. a+b>0 B. ab 21、>0 C. a-b>0 D. |a| - |b| >0
【分析】本題要先觀察a, b在數(shù)軸上的位置,得b<- 1<0 vb<- 1<0|a| , . .a+b< 0,故選項 A錯誤;
B、v b< - 1<00,故選項 C正確;
D v b< - 1<0
22、)估算西-2的值( )
A.在1到2之間 B.在2至IJ 3之間 C.在3到4之間 D.在4至U 5之間
【分析】先估計收的整數(shù)部分,然后即可判斷 西-2的近似值.
【解答】解:?.?5<&f<6,
3(西-2<4.
故選C.
【點評】此題主要考查了無理數(shù)的估算能力, 現(xiàn)實生活中經(jīng)常需要估算,估算應(yīng) 是我們具備的數(shù)學(xué)能力,“夾逼法”是估算的一般方法,也是常用方法.
6. (2014TS口)估計倔的值( )
A.在3到4之間 B.在4至IJ 5之間 C.在5到6之間 D.在6至U 7之間
【分析】應(yīng)先找到所求的無理數(shù)在哪兩個和它接近的整數(shù)之間, 然后判斷出所求
的無理數(shù)的范圍 23、.
【解答】: ?.5<730<6,
??.h/W 5 至I 6 之間.
故選:C.
【點評】此題主要考查了估算無理數(shù)的那就, “夾逼法”是估算的一般方法,也
是常用方法.
7. (2006砒陽)估計 用+3的值( )
A.在5和6之間 B.在6和7之間 C.在7和8之間 D.在8和9之間
【分析】先估計用的整數(shù)部分,然后即可判斷 匹i+3的近似值.
【解答】解:42=16, 52=25,
所以4<倔<5,
所以J羽+3在7到8之間.
故選:C.
【點評】此題主要考查了估算無理數(shù)的大小的能力, 理解無理數(shù)性質(zhì),估算其數(shù) 值.現(xiàn)實生活中經(jīng)常需要估算,估算應(yīng)是我們具備的 24、數(shù)學(xué)能力,“夾逼法”是估 算的一般方法,也是常用方法.
8. (2012?義烏市)一個正方形的面積是 15,估計它的邊長大小在( )
A. 2與3之間 B. 3與4之間 C. 4與5之間 D. 5與6之間
【分析】先根據(jù)正方形的面積是15計算出其邊長,在估算出該數(shù)的大小即可.
【解答】解:二?一個正方形的面積是15,
,該正方形的邊長為從正,
V9<15< 16,
3<715<4.
故選B.
【點評】本題考查的是估算無理數(shù)的大小及正方形的性質(zhì),根據(jù)題意估算出 V15 的取值范圍是解答此題的關(guān)鍵.
9. (200870義)如圖,在數(shù)軸上表示實數(shù) Jm的點可能是( )
P Q 25、 N
1 1 9^——fr1 ?―
0 12 3 4
A.點P B?點Q C?點MD.點N
【分析】先對近進(jìn)行估算,再確定丁西是在哪兩個相鄰的整數(shù)之間,然后確定 對應(yīng)的點即可解決問題.
【解答】解:=恒=3.87,
3<715<4,
「?d行對應(yīng)的點是m
故選C
【點評】本題考查實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應(yīng)關(guān)系,應(yīng)先看這個無理數(shù)在哪兩個有 理數(shù)之間,進(jìn)而求解.
10. (2006?西崗區(qū))數(shù)軸上表示 1,點的對應(yīng)點分別為A, B,點B關(guān)于點A的
對稱點為C,則點C所表示的數(shù)是( )
CAB
III I 7
0 * 1 x/I
A. V2- 1 B. 1-及 C. 26、2-V2 D.血-2
【分析】首先根據(jù)數(shù)軸上表示1,卜限的對應(yīng)點分別為A, B可以求出線段AB的長 度,然后由AB=ACPJ用兩點間的距離公式便可解答.
【解答】解:二.數(shù)軸上表示1,點的對應(yīng)點分別為A, B,
? ? AB=;-1,
???點B關(guān)于點A的對稱點為C,
AC=AB
???點C的坐標(biāo)為:1-(四-1) =24/2.
故選:C.
【點評】本題考查的知識點為:求數(shù)軸上兩點間的距離就讓右邊的數(shù)減去左邊的
數(shù).知道兩點間的距離,求較小的數(shù),就用較大的數(shù)減去兩點間的距離.
11. (2012秋?安新縣期末)下列說法不正確的是( )
A. 1的平方根是1 B. - 1的 27、立方根是-1
C.血是2的平方根 D. -3是憶水的平方根
【分析】A根據(jù)平方根的定義即可判定;
B、根據(jù)立方根的定義即可判定;
G根據(jù)平方根的定義即可判定;
D根據(jù)平方根的定義即可判定.
【解答】解:A、1的平方根是1,故A選項正確;
B、- 1的立方根是-1,故B選項正確;
C、正是2的平方根,故C選項正確;
D 次_即2=3, 3的平方根是小巧,故D選項錯誤?
故選:D.
【點評】本題考查了平方根的定義.注意一個正數(shù)有兩個平方根,它們互為相反
數(shù);0的平方根是0;負(fù)數(shù)沒有平方根.
12. (2013?安順)下列各數(shù)中, 3.14159, %,0.13113111 28、3…(相鄰兩個 3
之間1的個數(shù)逐次加1個),-兀,V25,二,無理數(shù)的個數(shù)有( )
A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個
【分析】無限不循環(huán)小數(shù)為無理數(shù),由此可得出無理數(shù)的個數(shù).
【解答】解:由定義可知無理數(shù)有:0.131131113…,-兀,共兩個.
故選:B.
【點評】此題主要考查了無理數(shù)的定義,其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無理數(shù)有:冗,
2冗等;開方開不盡的數(shù);以及像 0.1010010001…,等有這樣規(guī)律的數(shù).
13. (2015?棗莊)實數(shù) a, b, c在數(shù)軸上對應(yīng)的點如圖所示,則下列式子中正
確的是( )
* * 4 ?
a b 。 c x
A. ac 29、>bc B. |a — b|=a — b C. — a< —b 30、.填空題(共13小題)
14. (2015?慶陽) 技的平方根是 一.
【分析】根據(jù)平方根的定義,求數(shù)a的平方根,也就是求一個數(shù)x,使得x2=a, 則x就是a的平方根,由此即可解決問題.
【解答】解: 后的平方根是2.
故答案為:2
【點評】本題考查了平方根的定義.注意一個正數(shù)有兩個平方根,它們互為相反 數(shù);0的平方根是0;負(fù)數(shù)沒有平方根.
15. (2015?茂名)-8的立方根是 -2 .
【分析】利用立方根的定義即可求解.
【解答】解::(― 2) 3=-8,
「? - 8的立方根是-2.
故答案為:-2.
【點評】本題主要考查了平方根和立方根的概念.如果一個數(shù) x的 31、立方等于a, 即x的三次方等于a(x3=a),那么這個數(shù)x就叫做a的立方根,也叫做三次方根.讀 作“三次根號a”其中,a叫做被開方數(shù),3叫做根指數(shù).
16. (2009?峨邊縣模擬) M的算術(shù)平方根是 3 .
【分析】首先根據(jù)算術(shù)平方根的定義求出V也的值,然后即可求出其算術(shù)平方根.
【解答】解:.倔=9,
2
又 ;(3) 2=9,
「?9的平方根是3,
.?.9的算術(shù)平方根是3.
即屈的算術(shù)平方根是3.
故答案為:3.
【點評】此題主要考查了算術(shù)平方根的定義,解題的關(guān)鍵是知道 倔=9,實際上 這個題是求9的算術(shù)平方根是3.注意這里的雙重概念.
17. (2009?tt蘇 32、)-( 巾 2= -3 .
【分析】直接根據(jù)平方的定義求解即可.
【解答】解:二?(陽)2=3,
- ( \/~3) = - 3.
【點評】本題考查了數(shù)的平方運(yùn)算,是基本的計算能力.
18. (2012?棗莊)已知a、b為兩個連續(xù)的整數(shù),且己<屈<”則a+b= 11
【分析】根據(jù)無理數(shù)的性質(zhì),得出接近無理數(shù)的整數(shù),即可得出 a, b的值,即 可得出答案.
【解答】解::己<的加<班a、b為兩個連續(xù)的整數(shù),
.?.叵< 叵(旅,
a=5, b=6,
a+b=11.
故答案為:11.
【點評】此題主要考查了無理數(shù)的大小,得出比較無理數(shù)的方法是解決問題的關(guān) 鍵.
19. ( 33、2009?涼山州)已知一個正數(shù)的平方根是 3x 2和5x+6,則這個數(shù)是
■ 一
【分析】由于一個非負(fù)數(shù)的平方根有2個,它們互為相反數(shù).依此列出方程求解 即可.
【解答】解:根據(jù)題意可知:3x - 2+5x+6=0,解得x=-/,
所以 3x-2=-工,5x+6— 2 2
「?( 一)七
故答案為:工 4
【點評】本題主要考查了平方根的逆運(yùn)算,平時注意訓(xùn)練逆向思維.
2
20. (2013?東莞市)若實數(shù) a、b滿足|a+2||+J!百二口,則得一 二1 . D
【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列出方程求出 a、b的值,代入所求代數(shù)式計算即可.
【解答】解:根據(jù)題意得:卜+2 34、二。
1b-4=0
解得:產(chǎn)-2,
lb=4
則原式—二1.
故答案是:1.
【點評】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì):幾個非負(fù)數(shù)的和為0時,這幾個非負(fù)數(shù)都為
0.
21. (2014?射陽縣三模)比較大?。? 3/2 < — 2/3,
【分析】先把兩數(shù)平方,再根據(jù)實數(shù)比較大小的方法即可比較大小.
【解答】解::( 3近)2=18, (R1) 2=12,
. ?- 3、層-2、后
故答案為:<.
【點評】此題主要考查了實數(shù)的大小的比較,實數(shù)大小比較法則:
(1)正數(shù)大于0, 0大于負(fù)數(shù),正數(shù)大于負(fù)數(shù);
(2)兩個負(fù)數(shù),絕對值大的反而小.
22. (2013?南平)相二 3 35、 .
【分析】33=27,根據(jù)立方根的定義即可求出結(jié)果.
【解答】解:: 33=27,
??際3;
故答案為:3.
【點評】本題考查了立方根的定義;掌握開立方和立方互為逆運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.
23. (201472陽)5 - &的小數(shù)部分是 2-返 .
【分析】根據(jù)1(6<2,不等式的性質(zhì)3,可得-6的取值范圍,再根據(jù)不等 式的性質(zhì)1,可得答案.
【解答】解:由1<血<2,得
-2< - - 1.
不等式的兩邊都加5,得
5 - 2< 5 - 5 - 1,
即 3<5-&<4,
5一灰的小數(shù)部分是(5-V2) - 3=2-71,
故答案為:2-亞.
【點評】本題考查 36、了估算無理數(shù)的大小,利用了不等式的性質(zhì):不等式的兩邊都 乘以或除以同一個負(fù)數(shù),不等號的方向改變,不等式的兩邊都加同一個數(shù),不等 號的方向不變.
24 . ( 2014?岳麓區(qū)校級自主招生)比較大?。? !(填
> < 二)?
【分析】因為分母相同所以比較分子的大小即可,可以估算 詆的整數(shù)部分,然
后根據(jù)整數(shù)部分即可解決問題.
【解答】解:.??陽-1>1,
泥一1、]
2 2
故填空結(jié)果為:>.
【點評】此題主要考查了實數(shù)的大小的比較, 比較兩個實數(shù)的大小,可以采用作
差法、取近似值法、比較n次方的方法等.當(dāng)分母相同時比較分子的大小即可.
25. (2010?成都)若x 37、, y為實數(shù),且|肝2|礪二。,貝(x+y)如0的值為」
【分析】先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列出方程組,求出 x、y的值,然后代入(x+y) 2010
中求解即可.
【解答】解:由題意,得:x+2=0, y-3=0,
解得 x=-2, y=3;
因止匕(x+y) 2010=1.
故答案為:1.
【點評】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì):有限個非負(fù)數(shù)的和為零,那么每一個加數(shù)也 必為零.
26. (2010例南)若將三個數(shù) 聽,歷表示在數(shù)軸上,其中能被如圖所
示的墨跡覆蓋的數(shù)是_
【分析】首先利用估算的方法分別得到- 心,/,小!前后的整數(shù)(即它們分 別在那兩個整數(shù)之間),從而可判斷出被覆蓋 38、的數(shù).
【解答】解:2< ks<- 1, 2V折<3, 3 39、我-1| -病.
【分析】原式第一項利用乘方的意義化簡,第二項利用絕對值的代數(shù)意義化簡, 最后一項利用立方根定義計算即可得到結(jié)果.
【解答】解:原式=4蚯-1- 3=/2.
【點評】此題考查了實數(shù)的運(yùn)算,熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.
29. (2015狄慶)求值:MJT^+ (二)2+(—1) 2015. ■
【分析】原式第一項利用算術(shù)平方根定義計算, 第二項利用乘方的意義化簡,第 三項利用乘方的意義化簡,計算即可得到結(jié)果.
【解答】解:原式4號■—1=一七
【點評】此題考查了實數(shù)的運(yùn)算,熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.
30. (2014春?嘉祥縣期末)閱讀下面的文字,解 40、答問題:
大家知道正是無理數(shù),而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù),因此 6的小數(shù)部分我們不
可能全部地寫出來,于是小明用 E-1來表示內(nèi)的小數(shù)部分,你同意小明的表示
方法嗎?
事實上,小明的表示方法是有道理,因為舊的整數(shù)部分是1,將這個數(shù)減去其整
數(shù)部分,差就是小數(shù)部分.
又例如:<曰<西<,即2<近<3,
???巾的整數(shù)部分為2,小數(shù)部分為(邛-2)|.
請解答:(1)如果近的小數(shù)部分為a, 值的整數(shù)部分為b,求江+b-泥的值;
(2)已知:10+V5=對九 其中x是整數(shù),且0 41、
部分b,最后將a、b的值代入r+b-Vl并求值;
(2)先估計6的近似值,然后判斷6的整數(shù)部分并求得x、y的值,最后求x
-y的相反數(shù).
【解答】解::4< 5<9,
. 2< . ■< 3,
立的小數(shù)部分a=/5 - 2 ①
V9<13< 16,
..3<713<4,
一?MB的整數(shù)部分為b=3 ②
把①②代入冊b-“,得
V5- 2+3^/5=1,即占+b-近=1.
(2) V 1<3<9,
K . :< 3,
???盛的整數(shù)部分是1、小數(shù)部分是
.?? 10+7j=10+1+ (6-1)=11+ (V3-1),
又〈 io-h/3=^y,
「.11+ ( 42、近 T) =x+y,
又;x是整數(shù),且0V y<1,
x=11, y=/3 -1;
? ?x-y=11- ( V3-l) =12-典,
;x-y 的相反數(shù) y-x=- (x-y) W5T2.
【點評】此題主要考查了估算無理數(shù)的大小, 注意首先估算無理數(shù)的值,再根據(jù)
不等式的性質(zhì)進(jìn)行計算.現(xiàn)實生活中經(jīng)常需要估算,估算應(yīng)是我們具備的數(shù)學(xué)能 力,“夾逼法”是估算的一般方法,也是常用方法.
31. (2015秋?偃師市期中)已知: x-2的平方根是2, 2x+y+7的立方根是3,
求x2+y2的算術(shù)平方根.
【分析】根據(jù)平方根、立方根的定義和已知條件可知 x-2=4, 2x+y+7= 43、27,列方
程解出x、y,最后代入代數(shù)式求解即可.
【解答】解::x-2的平方根是2,
x — 2=4,
x=6,
= 2x+y+7的立方根是3
2x+y+7=27
把x的值代入解得:
y=8,
.?.x2+y2的算術(shù)平方根為10.
【點評】本題主要考查了平方根、立方根的概念,難易程度適中.
32. (2013秋?濱湖區(qū)校級期末)已知, a、b互為倒數(shù),c、d互為相反數(shù),求
-返+后+1的化
【分析】由a、b互為倒數(shù)可得ab=1,由c、d互為相反數(shù)可得c+d=0,然后將以 上兩個代數(shù)式整體代入所求代數(shù)式求值即可.
【解答】解:依題意得,ab=1, c+d=0;
一 44、 ■ ? ,
=?我+而41
=—1+0+1
=0.
【點評】本題主要考查實數(shù)的運(yùn)算,解題關(guān)鍵是運(yùn)用整體代入法求代數(shù)式的值, 涉及到倒數(shù)、相反數(shù)的定義,要求學(xué)生靈活掌握各知識點.
33. (2015秋?吉安校級期末)設(shè) 2+幾的整數(shù)部分和小數(shù)部分分別是 x、y,試 求x、y的值與x - 1的算術(shù)平方根.
【分析】先找到證介于哪兩個整數(shù)之間,從而找到整數(shù)部分,小數(shù)部分讓原數(shù)
減去整數(shù)部分,然后代入求值即可.
【解答】解:因為4<6<9,所以2V遍<3,
即退的整數(shù)部分是2,
所以2+的整數(shù)部分是4,小數(shù)部分是2+n-4=^-2,
即 x=4, y=衣-2,所以 = Jt-1 45、 = 4-1 =/3.
【點評】此題主要考查了無理數(shù)的估算能力, 解題關(guān)鍵是估算出整數(shù)部分后,然 后即可得到小數(shù)部分.
34. (2009?tt西)計算:(-2) 2- (3-5)-瓶+2X (-3)
【分析】根據(jù)實數(shù)的運(yùn)算順序計算即可求解. 注意實數(shù)混合運(yùn)算的順序:先算乘
方、開方,再算乘除,最后算加減,遇有括號,先算括號內(nèi)的.
【解答】解:原式=4- (-2) -2-6=-2.
【點評】此題主要考查了實數(shù)的運(yùn)算,解題要注意實數(shù)的混合運(yùn)算順序.
35. (2009?佛山)(1)有這樣一個問題:卜根與下列哪些數(shù)相乘,結(jié)果是有理數(shù)?
A、3V2; B、|2動;C、e+6; DX 46、
;E、0,問題的答案是(只需填字母)
(2)如果一個數(shù)與舊相乘的結(jié)果是有理數(shù),則這個數(shù)的一般形式是什么(用代
數(shù)式表示).
【分析】(1)根據(jù)實數(shù)的乘法法則和有理數(shù)、無理數(shù)的定義即可求解;
(2)根據(jù)(1)的結(jié)果可以得到規(guī)律.
【解答】解:(1) A DX E;
(2)設(shè)這個數(shù)為x,則x?能=a (a為有理數(shù)),所以x=-^ (a為有理數(shù)).
M2
【點評】此題主要考查了實數(shù)的運(yùn)算,也考查了有理數(shù)、無理數(shù)的定義,文字閱 讀比較多,解題時要注意審題,正確理解題意.
36. (2010秋?西盟縣期末)求值:已知 y=x2-5,且y的算術(shù)平方根是2,求x
的值.
【分析 47、】由于被開方數(shù)應(yīng)等于它算術(shù)平方根的平方.那么由此可求得 y,然后即
可求出x.
【解答】解::y的算術(shù)平方根是2,
?.y=4;
乂 ,1 y=x2 - 5
4=x2 - 5
x2=9
x=B
【點評】此題主要考查了 平方根的性質(zhì):被開方數(shù)應(yīng)等于它算術(shù)平方根的平
方.正數(shù)的平方根有2個.
37. (2012秋?上虞市校級期中)畫一條數(shù)軸,把- 后,近 2各數(shù)和它們的相
反數(shù)在數(shù)軸上表示出來,并比較它們的大小,用號連接.
【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義寫出各數(shù)的相反數(shù),再畫出數(shù)軸即可解決問題.
【解答】解:-12的相反數(shù)是1上;
血的相反數(shù)是-V2;
2的相反數(shù)是-2;
48、
1-2 -10 12 3 V
? ?- 2 V -近< -?。▍?<2.
【點評】此題主要考查了實數(shù)的大小的比較, 比較簡單,解答此題的關(guān)鍵是熟知
相反數(shù)的概念,只有符號不同的兩個數(shù)叫互為相反數(shù).
38. (2015春?定州市期中)求 x的值: , 、 2 _
(1) 4x=25;
(2) (x-0.7) 3=0.027.
【分析】(1)可用直接開平方法進(jìn)行解答;
(2)可用直接開立方法進(jìn)行解答.
? 1 I 2
【解答】解:(1) X2匡二(且),
4 2
(2)(X- 0.7 ) 3=0.027= (0.3 ) 3,
.?.X- 0.7=0.3 ,
故 x=1 49、.
【點評】本題考查了平方根和立方根的概念. 注意一個正數(shù)有兩個平方根,它們
互為相反數(shù);0的平方根是0;負(fù)數(shù)沒有平方根.立方根的性質(zhì):一個正數(shù)的立 方根是正數(shù),一個負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù), 0的立方根是0.
39. (2010秋?荷塘區(qū)校級期末)已知 2a-1的平方根是3, 3a+b-1的算術(shù)平 方根是4,求12a+2b的立方根.
【分析】分別根據(jù)2a- 1的平方根是3, 3a+b- 1的算術(shù)平方根是4,求出a、b 的值,再求出12a+2b的值,求出其立方根即可.
【解答】解:: 2a-1的平方根是3,
? -2a- 1= (^) 2,解得 a=5;
: 3a+b-1的算術(shù)平方根是 50、4,
;3a+b— 1=16,把 a=5代入得,3>5+b- 1=16,解得 b=2,
? ? 12a+2b=12 >5+4=64,
痼=4,
即12a+2b的立方根是4.
【點評】本題考查的是立方根、平方根及算術(shù)平方根的定義,根據(jù)題意列出關(guān)于 a、b的方程,求出a、b的值是解答此題的關(guān)鍵.
40. (2016春?黃岡期中) 已知乂所必福區(qū)是m+3的算術(shù)平方根,N"忖七口是 n-2的立方根,試求M- N的值.
【分析】根據(jù)算術(shù)平方根及立方根的定義,求出 M N的值,代入可得出 M- N 的平方根.
【解答】解:因為M=5百是m+3的算術(shù)平方根,N=xQ"明前是n-2的立方
根 51、,
所以可得:m- 4=2, 2m- 4n+3=3,
解得:m=6 n=3,
把 m=6 n=3 代入 m+3=9 n - 2=1,
所以可得M=3 N=1,
把 M=3 N=1 代入 M- N=3- 1=2.
【點評】本題考查了立方根、平方根及算術(shù)平方根的定義,屬于基礎(chǔ)題,求出M N的值是解答本題的關(guān)鍵.
(3) 一個正數(shù)有一個正的立方根;
0有一個立方根,是它本身;
一個負(fù)數(shù)有一個負(fù)的立方根;
任何數(shù)都有唯一的立方根。
(4)利用開立方和立方互為逆運(yùn)算 關(guān)系,求一個數(shù)的立方根,就可以利用這種互逆關(guān) 系,檢驗其正確性,求負(fù)數(shù)的立方根,可以先求出這個負(fù)數(shù)的絕對值的立方根,再取其相反
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