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平面直角坐標系 一、選擇題 1.在平面直角坐標系中，點P（-1，2）所在的象限是（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限 【答案】B 【解析】【解答】點P（-1，2）所在的象限是第二象限， 故答案為：B. 【分析】平面直角坐標系內(nèi)各個象限內(nèi)的點的坐標的符號特征：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-），根據(jù)特征即可得出答案。 2.在平面直角坐標系中，點P（-2，x2+1）所在的象限是（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限 【答案】B 【解析】【解答】∵x2≥0， ∴x2+1≥1， ∴點P（-2，x2+1）在第二象限． 故答案為：B． 【分析】根據(jù)偶次方的非負性，得出x2+1≥1，從而得出P點的橫坐標為負，縱坐標為正，根據(jù)平面直角坐標系中各象限點的坐標特點得出P點所在的象限。 3.如圖，小手蓋住的點的坐標可能為（ ） A.（-4，-5）B.（-4，5）C.（4，5）D.（4，-5） 【答案】A 【解析】【解答】根據(jù)題意得 ：小手蓋住的點的坐標可能是（-4，-5）。 故答案為：A. 【分析】根據(jù)點的坐標特點，小手蓋住的點在第三象限，而第三象限的點的坐標應(yīng)滿足橫、縱坐標均為負數(shù)，從而即可得出答案。 4.如圖，在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別是A（3，0），B（0，4），把線段AB繞點A旋轉(zhuǎn)后得到線段AB′，使點B的對應(yīng)點B′落在x軸的正半軸上，則點B′的坐標是（ ） A.（5，0）B.（8，0）C.（0，5）D.（0，8） 【答案】B 【解析】【解答】∴AO=3，BO=4， ∴AB=AB′=5,故OB′=8， ∴點B′的坐標是(8,0). 故答案為：B. 【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AB=AB′，再根據(jù)勾股定理求出AB的長，再根據(jù)點A的坐標及AB′的長求出OB′的長，就可求出點B′的坐標。 5.在平面直角坐標系中，以原點為對稱中心，把點A（3，4）逆時針旋轉(zhuǎn)90，得到點B，則點B的坐標為（ ） A.（4，-3） B.（-4，3） C.（-3，4） D.（-3，-4） 【答案】B 【解析】【解答】解：如圖： 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得： △AOC≌△BOD， ∴OD=OC，BD=AC， 又∵A（3,4）， ∴OD=OC=3，BD=AC=4， ∵B點在第二象限， ∴B（-4,3）. 故答案為：B. 【分析】建立平面直角坐標系，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得△AOC≌△BOD，再由全等三角形的性質(zhì)和點的坐標性質(zhì)得出B點坐標，由此即可得出答案. 6.如圖，在圍棋盤上有三枚棋子，如果黑棋①的位置用有序數(shù)對（0，﹣1）表示，黑棋②的位置用有序數(shù)對（﹣3，0）表示，則白棋③的位置可用有序數(shù)對（ ）表示． A.（﹣2，4）B.（2，﹣4）C.（4，﹣2）D.（﹣4，2） 【答案】D 【解析】【解答】解：建立平面直角坐標系如圖， 白棋③的坐標為（﹣4，2）． 故選D． 【分析】根據(jù)黑棋①的坐標向上1個單位確定出坐標原點，然后建立平面直角坐標系，再寫出白棋③的坐標即可． 7.點P位于x軸下方，y軸左側(cè)，距離x軸4個單位長度，距離y軸2個單位長度，那么點P的坐標是（ ） A.（4，2）B.（-2，-4）C.（-4，-2）D.（2，4） 【答案】B 【解析】【解答】解：∵點P位于x軸下方，y軸左側(cè)，∴點P在第三象限； ∵距離y軸2個單位長度，∴點P的橫坐標為﹣2； ∵距離x軸4個單位長度，∴點P的縱坐標為﹣4； ∴點P的坐標為（﹣2，﹣4）． 故答案為：B． 【分析】由已知得，點P在x 軸下方，可知點P應(yīng)在第三、四象限，又因為在y軸左側(cè)，可知點P應(yīng)在第三象限，然后再利用點P到x軸和y軸的距離，即可得出點P的坐標. 8.在平面直角坐標系中，線段CF是由線段AB平移得到的；點A（-1，4）的對應(yīng)點為C（4，1）；則點B（a，b）的對應(yīng)點F的坐標為（ ） A.（a+3，b+5）B.（a+5，b+3）C.（a-5，b+3）D.（a+5，b-3） 【答案】D 【解析】【解答】解：平移中，對應(yīng)點的對應(yīng)坐標的差相等，設(shè)F（x，y）．根據(jù)題意得：4﹣（﹣1）=x﹣a；1﹣4=y﹣b，解得：x=a+5，y=b-3；故F的坐標為（a+5，b-3）． 故答案為：D． 【分析】當(dāng)線段平移時，線段上的每個點也對應(yīng)的平移一定的單位長度，所以本題由點A平移到點C，可知線段先向右平移了5個單位長度，再向下平移了3個單位長度，因此點B也要橫坐標加5，縱坐標減3才行. 9.如果直線AB平行于y軸，則點A，B的坐標之間的關(guān)系是（ ） A.橫坐標相等B.縱坐標相等C.橫坐標的絕對值相等D.縱坐標的絕對值相等 【答案】A 【解析】【解答】∵直線AB平行于y軸， ∴點A，B的坐標之間的關(guān)系是橫坐標相等. 故答案為：A. 【分析】根據(jù)平行于y軸的直線上所有點的橫坐標相等即可得出答案。 10.觀察下列數(shù)對：（1,1） , （1,2） , （2,1） , （1,3） , （2,2） , （3,1） , （1,4） , （2,3） , （3,2） , （4,1） , （1,5） , （2,4）...那么第32個數(shù)對是（ ） A.（4，4）B.（4，5）C.（4，6）D.（5，4） 【答案】B 【解析】【解答】解：觀察數(shù)對可知，第一對數(shù)和為2，后面兩對和為3，再后面3對和為4，再后面4對和為5，且每一組的第一對數(shù)的第一個數(shù)都是1， ∵1+2+3+4+5+6+7=28 ， ∴第32個數(shù)對的和為9，且是第四對， ∴第32個數(shù)對是（4，5）． 故答案為：B. 【分析】根據(jù)題中所給數(shù)據(jù)的規(guī)律從而得出第32個數(shù)對. 二、填空題 11.點P(m?1，m+3)在平面直角坐標系的y軸上，則P點坐標為________. 【答案】(0,4) 【解析】【解答】解：∵點P(m?1，m+3)在平面直角坐標系的y軸上 ∴m-1=0 解之：m=1 ∴m-1=0，m+3=4 ∴點P的坐標為（0,4） 故答案為：（0,4） 【分析】根據(jù)y軸上點的坐標特點是橫坐標為0，可得出m-1=0，求出m的值，即可得出點P的坐標。 12.在平面直角坐標系中，若點P（2x+6，5x）在第四象限，則x的取值范圍是________． 【答案】﹣3＜x＜0 【解析】【解答】解：∵點P（2x+6，5x）在第四象限， ∴ ， 解得﹣3＜x＜0， 故答案為﹣3＜x＜0 【分析】根據(jù)第四象限的點的坐標的符號特征，橫坐標為正，縱坐標為負可得不等式組：2 x + 6 > 0， 5 x < 0解得﹣3＜x＜0。 13.如果 在y軸上，那么點P的坐標是________ ． 【答案】 【解析】【解答】解： 在y軸上， ，則 ， 點P的坐標是： ． 故答案為： 【分析】根據(jù) P ( m ， m + 1 ) 在y軸上可得m = 0 ，所以m + 1 = 1 ，即點P的坐標為 ( 0 ， 1 )。 14.（xx?泰州）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A，B，P的坐標分別為（1，0），（2，5），（4，2）．若點C在第一象限內(nèi)，且橫坐標、縱坐標均為整數(shù)，P是△ABC的外心，則點C的坐標為________． 【答案】（7，4）或（6，5）或（1，4） 【解析】【解答】如圖， ∵點A、B、P的坐標分別為（1，0），（2，5），（4，2）． ∴PA=PB= = ， ∵點C在第一象限內(nèi)，且橫坐標、縱坐標均為整數(shù)，P是△ABC的外心， ∴PC=PA=PB= = ， 則點C的坐標為 （7，4）或（6，5）或（1，4）； 故答案為：（7，4）或（6，5）或（1，4）． 【分析】以P為圓心，PA長為半徑畫圓，處在格點上的點就是求作的點. 15.如圖，正方形OABC與正方形ODEF是位似圖形，點O為位似中心，相似比為1： ，點A的坐標為（0，1），則點E的坐標是________． 【答案】（ ， ） 【解析】【解答】解：∵正方形OABC與正方形ODEF是位似圖形，O為位似中心，相似比為1： ， ∴OA：OD=1： ， ∵點A的坐標為（0，1）， 即OA=1， ∴OD= ， ∵四邊形ODEF是正方形， ∴DE=OD= ． ∴E點的坐標為：（ ， ）． 故答案為：（ ， ）． 【分析】由題意可得OA：OD=1： ，又由點A的坐標為（0，1），即可求得OD的長，又由正方形的性質(zhì)，即可求得E點的坐標． 16.如圖，在中國象棋的殘局上建立平面直角坐標系，如果“相”和“兵”的坐標分別是（3，-1）和（-3，1），那么“卒”的坐標為________。 【答案】（-2，-2） 【解析】【解答】解：建立平面直角坐標系（如圖）， ∵相（3，-1），兵（-3，1）， ∴卒（-2，-2）， 故答案為：（-2，-2）. 【分析】根據(jù)題中相和兵的坐標確定原點位置，建立平面直角坐標系，從而得出卒的坐標. 17.已知坐標平面內(nèi)點 在第四象限 那么點 在第________ 象限． 【答案】二 【解析】【解答】解： 點 在第四象限， ， 點 在第二象限． 故答案為：二． 【分析】由圖知，點 A ( m ， n ) 在第四象限，根據(jù)點的坐標的符號特征可知m > 0 ， n < 0 ，所以點 B ( n ， m ) 在第二象限． 18.（xx?葫蘆島）如圖，點A（0，8），點B（4，0），連接AB，點M，N分別是OA，AB的中點，在射線MN上有一動點P，若△ABP是直角三角形，則點P的坐標是________． 【答案】（2 +2，4）或（12，4） 【解析】【解答】解：∵點A（0，8），點B（4，0）， ∴OA=8，OB=4， ∴AB=4 ， ∵點M，N分別是OA，AB的中點， ∴AM=OM=4，MN=2，AN=BN=2 ， ①當(dāng)∠APB=90時， ∵AN=BN， ∴PN=AN=2 ， ∴PM=MN+PN=2 +2， ∴P（2 +2，4）， ②當(dāng)∠ABP=90時，如圖， 過P作PC⊥x軸于C， 則△ABO∽△BPC， ∴ = =1， ∴BP=AB=4 ， ∴PC=OB=4， ∴BC=8， ∴PM=OC=4+8=12， ∴P（12，4）， 故答案為：（2 +2，4）或（12，4）． 【分析】△ABP是直角三角形由于AP不可能與AB垂直，因此可分為兩類：∠APB=90與∠ABP=90；當(dāng)∠APB=90時，由直角三角形的斜邊中線性質(zhì)可求出，當(dāng)∠ABP=90時，由相似三角形的性質(zhì)列出對應(yīng)邊成比例式可求出. 三、解答題 19.已知點A（3，0）、B（-1，0）、C（0，2），以A、B、C為頂點畫平行四邊形，你能求出第四個頂點D嗎？ 【答案】解： 【解析】【分析】有三種情況：（1）以ACBD為頂點時，點D在第四象限，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得點D（2，2）； （2）以ADCB為頂點時，點D在第一象限，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得點D（4，2）； （3）以ACDB為頂點時，點D在第二象限，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得點D（-4，2）。 20.如圖，點A（t，4）在第一象限，OA與x軸所夾的銳角為α，sinα= ，求t的值． 【答案】解：過A作AB⊥x軸于B． ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵A（t，4）， ∴AB=4， ∴OA=6， ∴ ． 【解析】【分析】過A作AB⊥x軸于B，根據(jù)正弦的定義和點A的坐標求出AB、OA的長，根據(jù)勾股定理計算即可． 21.已知如圖，A，B，C，D四點的坐標分別是（3，0），（0，4），（12，0），（0，9），探索∠OBA和∠OCD的大小關(guān)系，并說明理由． 【答案】解：∠OBA=∠OCD，理由如下： 由勾股定理，得 AB= = =5，CD= = =15， sin∠OBA= = ，sin∠OCD= = = ， ∠OBA=∠OCD 【解析】【分析】根據(jù)勾股定理，可得AB的長，CD的長，根據(jù)銳角三角三角函數(shù)的正弦等對邊比斜邊，可得銳角三角函數(shù)的正弦值，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的正弦值隨銳角的增大而增大，可得答案． 22.（xx?達州）小明在求同一坐標軸上兩點間的距離時發(fā)現(xiàn)，對于平面直角坐標系內(nèi)任意兩點P1（x1 ， y1），P2（x2 ， y2），可通過構(gòu)造直角三角形利用圖1得到結(jié)論：P1P2= 他還利用圖2證明了線段P1P2的中點P（x，y）P的坐標公式：x= ，y= ． （1）請你幫小明寫出中點坐標公式的證明過程； （2）①已知點M（2，﹣1），N（﹣3，5），則線段MN長度為________； ②直接寫出以點A（2，2），B（﹣2，0），C（3，﹣1），D為頂點的平行四邊形頂點D的坐標：________； （3）如圖3，點P（2，n）在函數(shù)y= x（x≥0）的圖象OL與x軸正半軸夾角的平分線上，請在OL、x軸上分別找出點E、F，使△PEF的周長最小，簡要敘述作圖方法，并求出周長的最小值． 【答案】（1）證明：∵P1（x1 ， y1），P2（x2 ， y2）， ∴Q1Q2=OQ2﹣OQ1=x2﹣x1 ， ∴Q1Q= ， ∴OQ=OQ1+Q1Q=x1+ = ， ∵PQ為梯形P1Q1Q2P2的中位線， ∴PQ= = ， 即線段P1P2的中點P（x，y）P的坐標公式為x= ，y= （2）；（﹣3，3）或（7，1）或（﹣1，﹣3） （3）解：如圖，設(shè)P關(guān)于直線OL的對稱點為M，關(guān)于x軸的對稱點為N，連接PM交直線OL于點R，連接PN交x軸于點S，連接MN交直線OL于點E，交x軸于點F， 由對稱性可知EP=EM，F(xiàn)P=FN， ∴PE+PF+EF=ME+EF+NF=MN， ∴此時△PEF的周長即為MN的長，為最小， 設(shè)R（x， x），由題意可知OR=OS=2，PR=PS=n， ∴ =2，解得x=﹣ （舍去）或x= ， ∴R（ ， ）， ∴ =n，解得n=1， ∴P（2，1）， ∴N（2，﹣1）， 設(shè)M（x，y），則 = ， = ，解得x= ，y= ， ∴M（ ， ）， ∴MN= = ， 即△PEF的周長的最小值為 【解析】【解答】（2）①∵M（2，﹣1），N（﹣3，5）， ∴MN= = ， 故答案為： ； ②∵A（2，2），B（﹣2，0），C（3，﹣1）， ∴當(dāng)AB為平行四邊形的對角線時，其對稱中心坐標為（0，1）， 設(shè)D（x，y），則x+3=0，y+（﹣1）=2，解得x=﹣3，y=3， ∴此時D點坐標為（﹣3，3）， 當(dāng)AC為對角線時，同理可求得D點坐標為（7，1）， 當(dāng)BC為對角線時，同理可求得D點坐標為（﹣1，﹣3）， 綜上可知D點坐標為（﹣3，3）或（7，1）或（﹣1，﹣3）， 故答案為：（﹣3，3）或（7，1）或（﹣1，﹣3）； 【分析】（1）用P1、P2的坐標分別表示出OQ和PQ的長即可證得結(jié)論；（2）①直接利用兩點間距離公式可求得MN的長；②分AB、AC、BC為對角線，可求得其中心的坐標，再利用中點坐標公式可求得D點坐標；（3）設(shè)P關(guān)于直線OL的對稱點為M，關(guān)于x軸的對稱點為N，連接PM交直線OL于點R，連接PN交x軸于點S，則可知OR=OS=2，利用兩點間距離公式可求得R的坐標，再由PR=PS=n，可求得n的值，可求得P點坐標，利用中點坐標公式可求得M點坐標，由對稱性可求得N點坐標，連接MN交直線OL于點E，交x軸于點S，此時EP=EM，F(xiàn)P=FN，此時滿足△PEF的周長最小，利用兩點間距離公式可求得其周長的最小值．