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函數(shù)基礎知識 一、選擇題 1.函數(shù)y=的自變量x的取值范圍是（ ) A.x＞－1B.x≠ -1C.x≠1D.x＜－1 2.駱駝被稱為“沙漠之舟”，它的體溫是隨時間的變化而變化的，在這一問題中，因變量是（ ） A.沙漠B.駱駝C.時間D.體溫 3.在下列四個圖形中，能作為y是x的函數(shù)的圖象的是（ ） A.B.C.D. 4. 若函數(shù)y= 有意義，則（ ） A.x＞1B.x＜1C.x=1D.x≠1 5.今年“五一”節(jié)，小明外出爬山，他從山腳爬到山頂?shù)倪^程中，中途休息了一段時間，設他從山腳出發(fā)后所用的時間為t(分鐘)，所走的路程為s(米)，s與t之間的函數(shù)關系如圖所示，下列說法錯誤的是( ) A.小明中途休息用了20分鐘B.小明休息前爬上的速度為每分鐘70米 C.小明在上述過程中所走的路程為6600米D.小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度 6.如圖，李老師騎自行車上班，最初以某一速度勻速行進，路途由于自行車發(fā)生故障，停下修車耽誤了幾分鐘，為了按時到校，李老師加快了速度，仍保持勻速行進，結果準時到校．在課堂上，李老師請學生畫出他行進的路程y（千米）與行進時間t（小時）的函數(shù)圖象的示意圖，同學們畫出的圖象如圖所示，你認為正確的是（ ） A.B. C.D. 7.如圖，點E為菱形ABCD邊上的一個動點，并沿 的路徑移動，設點E經(jīng)過的路徑長為x，△ADE的面積為y，則下列圖象能大致反映y與x的函數(shù)關系的是（ ） A.B. C.D. 8.如圖，一個函數(shù)的圖象由射線 、線段 、射線 組成，其中點 ， ， ， ，則此函數(shù)( ) A.當 時， 隨 的增大而增大B.當 時， 隨 的增大而減小 C.當 時， 隨 的增大而增大D.當 時， 隨 的增大而減小 9.如圖，一個函數(shù)的圖像由射線BA，線段BC，射線CD，其中點A（-1，2），B（1，3），C（2，1），D（6，5），則此函數(shù)（ ） A.當x＜1，y隨x的增大而增大B.當x＜1，y隨x的增大而減小 C.當x＞1，y隨x的增大而增大D.當x＞1，y隨x的增大而減小 10. 函數(shù)y= 中，自變量x的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是（ ） A.B.C.D. 11.甲、乙兩車沿同一平直公路由A地勻速行駛（中途不停留），前往終點B地，甲、乙兩車之間的距離S（千米）與甲車行駛的時間t（小時）之間的函數(shù)關系如圖所示．下列說法： ①甲、乙兩地相距210千米；②甲速度為60千米/小時；③乙速度為120千米/小時；④乙車共行駛3 小時，其中正確的個數(shù)為（ ） A.1個B.2個C.3個D.4個 12.（xx?邵陽）如圖所示的函數(shù)圖象反映的過程是：小徐從家去菜地澆水，又去玉米地除草，然后回家，其中x表示時間，y表示小徐離他家的距離．讀圖可知菜地離小徐家的距離為（ ） A.1.1千米B.2千米C.15千米D.37千米 二、填空題 13.函數(shù) 中,自變量x的取值范圍是________. 14.在女子3000米的長跑中，運動員的平均速度v= ，則這個關系式中自變量是________． 15.在下列函數(shù)①y=2x+1；②y=x2+2x；③y= ；④y=﹣3x中，與眾不同的一個是________（填序號），你的理由是________． 16.某型號汽油的數(shù)量與相應金額的關系如圖，那么這種汽油的單價為每升________元. 17.如圖，長方形ABCD中，AB=5，AD=3，點P從點A出發(fā)，沿長方形ABCD的邊逆時針運動，設點P運動的距離為x；△APC的面積為y，如果5＜x＜8，那么y關于x的函數(shù)關系式為________． 18.小高從家門口騎車去單位上班，先走平路到達點A，再走上坡路到達點B，最后走下坡路到達工作單位，所用的時間與路程的關系如圖所示．下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分別保持和去上班時一致，那么他從單位到家門口需要的時間是________分鐘． 19.從﹣3，﹣2，﹣1，0，1，3，4這七個數(shù)中隨機抽取一個數(shù)記為a，a的值既是不等式組 的解，又在函數(shù)y= 的自變量取值范圍內(nèi)的概率是________． 20.已知f（x）= ，則f（1）= = ，f（2）= = …若f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）= ，則n的值為________． 21. 已知函數(shù)f（x）= ，那么f（ ﹣1）=________． 22.甲、乙兩人從A地出發(fā)前往B地，甲先出發(fā)1分鐘后，乙再出發(fā)，乙出發(fā)一段時間后返回A地取物品，甲、乙兩人同時達到B地和A地，并立即掉頭相向而行直至相遇，甲、乙兩人之間相距的路程y（米）與甲出發(fā)的時間x（分鐘）之間的關系如圖所示，則甲、乙兩人最后相遇時，乙距B地的路程是________米． 三、解答題 23.已知y=y1+y2 ， y1與x成正比例，y2與x成反比例，并且當x=1時y=4；當x=3時，y=5．求當x=4時，y的值． 解：∵y1與x成正比例，y2與x成反比例，可以設y1=kx，y2= ． 又∵y=y1+y2 ， ∴y=kx+ ． 把x=1，y=4代入上式，解得k=2． ∴y=2x+ ． ∴當x=4時，y=24+ =8 ． 閱讀上述解答過程，其過程是否正確？若不正確，請說明理由，并給出正確的解題過程． 24.某旅游團上午6時從旅館出發(fā)，乘汽車到距離210km的某著名旅游景點游玩，該汽車離旅館的距離S（km）與時間t（h）的關系可以用如圖的折線表示．根據(jù)圖象提供的有關信息，解答下列問題： （1）求該團去景點時的平均速度是多少？ （2）該團在旅游景點游玩了多少小時？ （3）求返回到賓館的時刻是幾時幾分？ 25.小明從家出發(fā)，沿一條直道跑步，經(jīng)過一段時間原路返回，剛好在第 回到家中.設小明出發(fā)第 時的速度為 ，離家的距離為 . 與 之間的函數(shù)關系如圖所示（圖中的空心圈表示不包含這一點）. （1）小明出發(fā)第 時離家的距離為________ ； （2）當 時，求 與 之間的函數(shù)表達式； （3）畫出 與 之間的函數(shù)圖像. 26.我市某鄉(xiāng)鎮(zhèn)在“精準扶貧”活動中銷售一農(nóng)產(chǎn)品，經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)月銷售量y（萬件）與月份x（月）的關系為： ，每件產(chǎn)品的利潤z（元）與月份x（月）的關系如下表： x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 z 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 10 10 （1）請你根據(jù)表格求出每件產(chǎn)品利潤z（元）與月份x（月）的關系式； （2）若月利潤w（萬元）=當月銷售量y（萬件）當月每件產(chǎn)品的利潤z（元），求月利潤w（萬元）與月份x（月）的關系式； （3）當x為何值時，月利潤w有最大值，最大值為多少？  答案解析 一、選擇題 1.【答案】B 【解析】 ：根據(jù)題意得：x+1≠0 解之：x≠-1 故答案為：B【分析】觀察函數(shù)解析式可知，含自變量的式子是分式，因此分母不等于0， 建立不等式求解即可。 2.【答案】D 【解析】 ：駱駝被稱為“沙漠之舟”，它的體溫是隨時間的變化而變化的，在這一問題中，因變量是體溫。 故答案為：體溫 【分析】根據(jù)已知體溫是隨時間的變化而變化的，可得出因變量是體溫。 3.【答案】B 【解析】 ：由函數(shù)的定義直接得出：y是x的函數(shù)的圖象的是：B． 故選：B． 【分析】利用函數(shù)的定義，設在一個變化過程中有兩個變量x與y，對于x的每一個確定的值，y都有唯一的值與其對應，那么就說y是x的函數(shù)，x是自變量，直接得出符合題意的答案． 4.【答案】D 【解析】 ：由題意，得 x﹣1≠0， 解得x≠1， 故選：D． 【分析】根據(jù)分母不能為零，可得答案． 5.【答案】C 【解析】 ：A. 根據(jù)圖象可知，在40～60分鐘，路程沒有發(fā)生變化，所以小明中途休息的時間為：60?40=20分鐘，故A不符合題意； B. 根據(jù)圖象可知，,當t=40時，s=2800，所以小明休息前爬山的平均速度為：280040=70(米/分鐘)，故B不符合題意； C. 根據(jù)圖象可知，小明在上述過程中所走的路程為3800米，故C符合題意； D. 小明休息后的爬山的平均速度為：(3800-2800)(100-60)=25（米/分鐘），小明休息前爬山的平均速度為：280040=70(米/分鐘)， 70>25，所以小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度，故D不符合題意； 故答案為：C 【分析】觀察函數(shù)圖象可知，小明40分鐘爬山2800米，40～60分鐘休息，60～100分鐘爬山1000米，爬山的總路程為3800米，根據(jù)路程、速度、時間的關系對各選項逐一解答即可。 6.【答案】C 【解析】 根據(jù)題意可得：剛開始行進的y一直在增加，中間修車的時候y沒有改變，后面y又在增加，后面增加的速度比前面要快.故應選：C， 【分析】分段函數(shù)問題，弄清楚y代表行進的路程，x代表所用的時間，根據(jù)題意可得：剛開始行進的路程一直在增加，中間修車的時候路程沒有改變，后面路程又在增加，后面增加的速度比前面要快.根據(jù)情景，畫出示意圖即可。 7.【答案】D 【解析】 點E沿A→B運動，△ADE的面積逐漸變大； 點E沿B→C移動，△ADE的面積不變； 點E沿C→D的路徑移動，△ADE的面積逐漸減小。 故答案為：D. 【分析】分段函數(shù)問題，分三種情況討論：①點E沿A→B運動，②點E沿B→C移動，③點E沿C→D的路徑移動畫出示意圖，觀察三角形的面積變化情況，即可得出答案。 8.【答案】A 【解析】 AB、由函數(shù)圖象可得，當x<1時，y隨x的增大而增大，故A符合題意，B不符合題意； CD、當12時，y隨x的增大而增大，故CD不符合題意。 故答案為：A． 【分析】此題是一道分段函數(shù)的問題，從左至右分為三段，A,B兩點所在的第一段，由A,B兩點的坐標可以看出當 x < 1 時， y 隨 x 的增大而增大；B，C兩點所在的第二段，由B，C兩點的坐標可以看出當1 2 時， y 隨 x 的增大而增大；從而進行一一判斷即可得出答案。 9.【答案】A 【解析】 ：觀察圖像可知：圖像分為三段，從四個答案來看，界點都是1，從題干來看，就是看B點的左邊與右邊的圖像問題，B點左邊圖像從左至右上升，y隨x的增大而增大，即當x＜1，y隨x的增大而增大；B點右邊圖像一段從左至右上升，y隨x的增大而增大，一段圖像從左至右下降y隨x的增大而減??；即當2＞x＞1時，y隨x的增大而減?。粁＞2時y隨x的增大而增大；比較即可得出答案為：A。 【分析】這是一道分段函數(shù)的問題，從四個答案來看，界點都是1，從題干來看，就是看B點的左邊與右邊的圖像問題，B點左邊圖像從左至右上升，y隨x的增大而增大，B點右邊圖像一段從左至右上升，y隨x的增大而增大，一段圖像從左至右下降y隨x的增大而減小。 10.【答案】B 【解析】 ：由題意得，x﹣5≥0， 解得x≥5． 在數(shù)軸上表示如下： 故選B． 【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于等于0列式計算即可得解，然后在數(shù)軸上表示即可． 11.【答案】C 【解析】 由圖可知， 甲車的速度為：601=60千米/時，故②正確， 則A、B兩地的距離是：60 =210（千米），故①正確， 則乙的速度為：（602）（2﹣1）=120千米/時，故③正確， 乙車行駛的時間為：2 ﹣1=1 （小時），故④錯誤， 故答案為：C． 【分析】觀察圖像可知甲1小時行駛60千米，即可求出甲的速度，可對②作出判斷；根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)可求出A、B兩地的距離，可對①作出判斷；然后求出乙的速度，及乙行駛的時間，可對③④作出判斷；即可得出答案。 12.【答案】A 【解析】 ：由圖象可以看出菜地離小徐家1.1千米， 故選：A． 【分析】小徐第一個到達的地方應是菜地，也應是第一次路程不再增加的開始，所對應的時間為15分，路程為1.1千米． 二、填空題 13.【答案】 【解析】 ：解：根據(jù)題意得：x-4≠0 解之：x≠4 故答案為：x≠4 【分析】觀察含自變量的式子是分式，要使分式有意義，則分母不等于0，建立不等式，求解即可。 14.【答案】t 【解析】 ：在女子3000米的長跑中，運動員的平均速度v= ，則這個關系式中自變量是t， 故答案為：t． 【分析】根據(jù)函數(shù)的定義：設x和y是兩個變量，對于x的每一個值，y都有唯一確定的值和它對應，我們就說y是x的函數(shù)，其中x是自變量．據(jù)此解答即可． 15.【答案】③；只有③的自變量取值范圍不是全體實數(shù) 【解析】 ：①y=2x+1中自變量的取值范圍是全體實數(shù)；②y=x2+2x中自變量的取值范圍是全體實數(shù)；③y= 中自變量的取值范圍是x≠0；④y=﹣3x中自變量的取值范圍是全體實數(shù)； 理由是：只有③的自變量取值范圍不是全體實數(shù) 故答案為：③；只有③的自變量取值范圍不是全體實數(shù)． 【分析】根據(jù)分式的分母不為0，二次根式的被開方數(shù)大于等于0進行計算即可． 16.【答案】7.09 【解析】 單價＝709100＝7.09元.故答案為：7.09. 【分析】觀察圖像上的點的坐標，計算可得出答案。 17.【答案】y=- x+20 【解析】 當5＜x＜8時，點P在線段BC上，PC=8-x，∴y= PC?AB=- x+20． 故答案為：y=- x+20． 【分析】當5＜x＜8時，點P在線段BC上，可以得到PC=8-x，根據(jù)三角形的面積公式，可以得y關于x的函數(shù)關系式． 18.【答案】15 【解析】 ：先算出平路、上坡路和下坡路的速度分別為 、 和 （千米/分）， 所以他從單位到家門口需要的時間是 （分鐘）． 故答案為：15． 【分析】依據(jù)圖象分別求出平路、上坡路和下坡路的速度，然后根據(jù)路程，求出時間即可． 19.【答案】 【解析】 ：∵不等式組 的解集是：﹣ ＜x＜ ， ∴a的值既是不等式組 的解的有：﹣3，﹣2，﹣1，0， ∵函數(shù)y= 的自變量取值范圍為：2x2+2x≠0， ∴在函數(shù)y= 的自變量取值范圍內(nèi)的有﹣3，﹣2，4； ∴a的值既是不等式組 的解，又在函數(shù)y= 的自變量取值范圍內(nèi)的有：﹣3，﹣2； ∴a的值既是不等式組 的解，又在函數(shù)y= 的自變量取值范圍內(nèi)概率是： ． 故答案為： 【分析】由a的值既是不等式組 的解，又在函數(shù)y= 的自變量取值范圍內(nèi)的有﹣3，﹣2，可直接利用概率公式求解即可求得答案． 20.【答案】xx 【解析】 ：∵f（1）= = =1﹣ ， f（2）= = = ﹣ …， ∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）=1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ =1﹣ = ， ∴ = ， 故n=xx． 故答案為：xx． 【分析】直接根據(jù)題意將原式化簡進而結合分式的性質(zhì)得出n的值． 21.【答案】2+ 【解析】 ：因為函數(shù)f（x）= ， 所以當x= ﹣1時，f（x）= =2+ ． 【分析】把x= ﹣1直接代入函數(shù)f（x）= 即可求出函數(shù)值． 22.【答案】320 【解析】 由圖象可知甲的速度為：801=80（米/分）， 乙的速度為：80-（140-80）（4-1）=60（米/分）， 由于乙后出發(fā)，出發(fā)3分鐘后返回A地，甲、乙兩人同時達到B地和A地，所以甲從A地到B地共用時4+3=7（分）， A、B兩地相距807=560米， 560（80+60）=4， 所以甲、乙兩人最后相遇時，乙距B地的路程是560-604=320（米）， 故答案為：320. 【分析】根據(jù)圖像求出甲乙的速度，再求出甲從A地到B地共用的時間，及A、B兩地的路程，然后求出甲、乙兩人最后相遇時，乙距B地的路程即可。 三、解答題 23.【答案】解：其解答過程是錯誤的． ∵正比例函數(shù)y1=kx與反比例函數(shù)y2= 的k值不一定相等，故 設y1=k1x，y2= ． ∵y=y1+y2 ， ∴y=k1x+ ． 把x=1，y=4；x=3，y=5分別代入上式， 解得：k1= ． ∴y= ． ∴當x=4時，y= 【解析】【分析】根據(jù)題意可知正比例和反比例的比例系數(shù)不同，應該分別設出. 24.【答案】（1）解：210（9﹣6）=70（千米/時）， 答：該團去景點時的平均速度是70千米/時 （2）解：13﹣9=4（小時）， 答：該團在旅游景點游玩了4小時 （3）解：設返貨途中S（km）與時間t（h）的函數(shù)關系式為s=kt+b， 根據(jù)題意，得 ， 解得 ， 函數(shù)關系式為s=﹣50t+860， 當S=0時，t=17.2 答：返回到賓館的時刻是17時12分 【解析】【分析】（1）根據(jù)平均速度的意義，可得答案；（2）根據(jù)函數(shù)圖象的橫坐標，可得答案；（3）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)關系式，根據(jù)自變量與函數(shù)值得對應關系，可得答案． 25.【答案】（1）200 （2）解：根據(jù)題意，當 時， 與 之間的函數(shù)表達式為 ， 即 （3）解： 與 之間的函數(shù)圖像如圖所示. 【解析】【分析】（1）由v 與 t 之間的函數(shù)關系的圖像可知，出發(fā)的前兩分鐘是勻速運動，其速度是100米每分，根據(jù)路程等于速度乘以時間即可得出小明出發(fā)第 2 min 時離家的距離； （2）由v 與 t 之間的函數(shù)關系的圖像可知，跑步的時間在2 < t ≤ 5時間段時，其速度是160米每分，則這段時間所跑的路程為160（t-2）米，根據(jù)離家的距離=前兩分鐘跑的路程+這段時間所跑過的路程即可得出s與t之間的函數(shù)關系式； （3）由v 與 t 之間的函數(shù)關系的圖像可知：跑步的時間在5 < t ≤ 16時間段時，其速度是80米每分，則這段時間所跑的路程為80（t-5）米，從而得出小明所跑的總路程是1002+1603＋8011=1560米，而這個路程剛好是小明一個往返所跑的路程，從而得出小明跑的離家最遠點距家的距離為：15602=780米，此時共用時5+（780-680）80=6.25分，故小明離家到再返回家所用的時間與離家的距離應該分為4段，第一段起點是原點，末點使（2,200），第二段得末點坐標是（5,680），第三段的末點坐標為（6.25,780），第四段的末點坐標為（16,0），根據(jù)情景畫出圖像即可。 26.【答案】（1）解：當1≤x≤9時，設每件產(chǎn)品利潤z（元）與月份x（月）的關系式為z=kx+b， ，得 ， 即當1≤x≤9時，每件產(chǎn)品利潤z（元）與月份x（月）的關系式為z=-x+20， 當10≤x≤12時，z=10， 由上可得，z= （2）解：當1≤x≤8時，w=（-x+20）（x+4）=-x2+16x+80 當9≤x≤10時，w=（-x+20）（-x+20）=x2-40x+400； 當11≤x≤12時，w=10（-x+20）=-10x+200； ∴w與x的關系式為： （3）解：當1≤x≤8時，w=-x2+16x+80=-（x-8）2+144， ∴當x=8時，w取得最大值，此時w=144； 當x=9時，w=121， 當10≤x≤12時，w=-10x+200， 則當x=10時，w取得最大值，此時w=100， 由上可得，當x為8時，月利潤w有最大值，最大值144萬元 【解析】【分析】（1）此題是一分段函數(shù)問題，由表格可知當1≤x≤9時，z與x成依次函數(shù)關系，利用待定系數(shù)法即可求出函數(shù)關系式；當10≤x≤12時，z=10，是一個常值函數(shù)，可以直接得出解析式； （2）月利潤與當月的銷售數(shù)量及當月每件產(chǎn)品的利潤z之間的函數(shù)關系應該分三段來考慮：①當1≤x≤8時；②當9≤x≤10時；③當11≤x≤12時；分別根據(jù)月利潤w（萬元）=當月銷售量y（萬件）當月每件產(chǎn)品的利潤z（元）即可得出每段的函數(shù)關系式； （3）分別求出自變量的取值在每段內(nèi)的函數(shù)最大值，再進行比較即可得出答案。