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選修4-5 不等式選講
(建議用時(shí):30分鐘)
1.(1)已知函數(shù)f(x)=|x-2|+|x+a|-3的定義域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
(2)若正實(shí)數(shù)m,n滿足m+n=2,求2m+1n的取值范圍.
【解析】(1)由題意知|x-2|+|x+a|-3≥0恒成立.
因?yàn)閨x-2|+|x+a|≥|(x-2)-(x+a)|=|a+2|,
所以|a+2|≥3,解得a≤-5或a≥1.
(2)因?yàn)閙+n=2(m>0,n>0),
所以2m+1n=m+n22m+1n
=122nm+mn+3≥12(22+3),
即2m+1n的取值范圍為2+32,+∞.
2.已知函數(shù)f(x)=|x-a|+12a(a≠0).
(1)若不等式f(x)-f(x+m)≤1恒成立,求實(shí)數(shù)m的最大值.
(2)當(dāng)a<12時(shí),函數(shù)g(x)=f(x)+|2x-1|有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【解析】(1)因?yàn)閒(x)-f(x+m)=|x-a|+12a-|x+m-a|+12a=|x-a|-|x+m-a|≤|(x-a)-(x+m-a)|=|m|,所以|m|≤1,即m的最大值為1.
(2)g(x)=f(x)+|2x-1|=|x-a|+|2x-1|+12a,
即g(x)=-3x+a+12a+1,x
-1時(shí),同法可知g(x)min=g(-a)=a+1=3,解得a=2,
綜上所述,a=2或-4.
(建議用時(shí):30分鐘)
1.已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x-2|,若f(x)≤3的解集為C.
(1)求解集C.
(2)已知非零實(shí)數(shù)a,b,c滿足1a2+14b2+1c2=2,求證:a2+4b2+9c2≥252.
【解析】(1)f(x)=|x-1|+|x-2|≤3,
即x<1,-x+1-x+2≤3或1≤x≤2,x-1-x+2≤3
或x>2,x-1+x-2≤3,
即0≤x<1或1≤x≤2或22.
作圖如下:
(2)由圖象可知,
當(dāng)-1≤x≤2,f(x)max=2,即得M=2.
假設(shè)存在正數(shù)a,b,使2a+b=2,且1a+2b=3,
因?yàn)?a+2b=1a+2ba+b2
=2+b2a+2ab≥2+2b2a2ab≥4,
當(dāng)且僅當(dāng)2a+b=2b2a=2aba,b>0?a=12b=1時(shí),取等號(hào),
所以1a+2b的最小值為4,與1a+2b=3相矛盾,
故不存在正數(shù)a,b,使2a+b=2,且1a+2b=3成立.
3.已知a2+b2+c2=1,且a,b,c∈R+.
(1)1a2+1b2+1c2的最小值.
(2)證明:1+a2+1+b2+1+c2≤23.
【解析】(1)由柯西不等式,得1a2+1b2+1c2(a2+b2+c2)≥1aa+1bb+1cc2=9,
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=33時(shí),取等號(hào).
所以1a2+1b2+1c2的最小值為9.
(2)由xy≤x2+y22,
得1+a2233≤1+a2+23322=a22+76.
同理得1+b2233≤b22+76,
1+c2233≤c22+76.
三式相加得233(1+a2+1+b2+1+c2)≤a2+b2+c22+72=4,
所以1+a2+1+b2+1+c2≤23,
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=33時(shí),取等號(hào).
4.已知函數(shù)f(x)=|x+1|.
(1)解關(guān)于x的不等式f(x)-x2+1>0.
(2)若函數(shù)g(x)=f(x-1)+f(x+m),當(dāng)且僅當(dāng)0≤x≤1時(shí),g(x)取得最小值,求x∈(-1,2)時(shí),函數(shù)g(x)的值域.
【解析】(1)|x+1|-x2+1>0?|x+1|>x2-1,
①x≥-1x+1>x2-1?-1x2-1? ,
所以,不等式的解集為x|-1
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