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第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用
綜合檢測(cè)
一、選擇題
1.物體運(yùn)動(dòng)的速度關(guān)于時(shí)間的方程為v=14t4-3,則t=5時(shí)的瞬時(shí)速度為( ).
A.5 B.25 C.125 D.625
【解析】v=t3,當(dāng)t=5時(shí),v=125.
【答案】C
2.已知函數(shù)f(x)=12x3+ax+4,則“a>0”是“f(x)在R上單調(diào)遞增”的( ).
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
【解析】f(x)=32x2+a,當(dāng)a≥0時(shí),f(x)≥0恒成立,故“a>0”是“f(x)在R上單調(diào)遞增”的充分不必要條件.
【答案】A
3.曲線y=-1x在點(diǎn)12,-2處的切線方程為( ).
A.y=4x B.y=4x-4
C.y=4x+4 D.y=2x-4
【解析】∵y=1x2,∴y|x=12=4,即k=4,∴切線方程為y+2=4x-12,即y=4x-4.
【答案】B
4.函數(shù)y=3x-x3的單調(diào)遞增區(qū)間是( ).
A.(0,+∞) B.(-∞,-1)
C.(-1,1) D.(1,+∞)
【解析】y=3-3x2=-3(x+1)(x-1),令y>0,解得-1
0,在(0,+∞)上,f(x)的符號(hào)變化規(guī)律是負(fù)→正→負(fù),故選A.
【答案】A
6.設(shè)曲線f(x)=1+cosxsinx在點(diǎn)π2,1處的切線與直線x-ay+1=0平行,則實(shí)數(shù)a等于( ).
A.-1 B.12 C.-2 D.2
【解析】f(x)=(1+cosx)sinx-(1+cosx)(sinx)sin2x
=-1-cosxsin2x,所以fπ2=-1.
由題意知-1=1a,解得a=-1.
【答案】A
7.函數(shù)f(x)=x3+ax-2在區(qū)間[1,+∞)上是增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( ).
A.[3,+∞) B.[-3,+∞)
C.(-3,+∞) D.(-∞,-3)
【解析】∵f(x)=x3+ax-2在[1,+∞)上是增函數(shù),
∴f(x)=3x2+a≥0在x∈[1,+∞)上恒成立,
即a≥-3x2在x∈[1,+∞)上恒成立.
又∵g(x)=-3x2在[1,+∞)上的最大值為g(1)=-3,
∴a≥-3,故選B.
【答案】B
8.函數(shù)y=xcos x-sin x在下面哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)( ).
A.π2,3π2 B.(π,2π)
C.3π3,5π2 D.(2π,3π)
【解析】y=cos x-xsin x-cos x=-xsin x,若y=f(x)在某區(qū)間內(nèi)是增函數(shù),則在此區(qū)間內(nèi)y≥0.
當(dāng)x∈(π,2π)時(shí),y≥0恒成立.
【答案】B
9.若函數(shù)y=-x3+6x2+m的極大值等于13,則實(shí)數(shù)m的值為( ).
A.-20 B.-19 C.-18 D.-17
【解析】y=-3x2+12x,令y=0,得x=0或x=4.
當(dāng)x∈(-∞,0),(4,+∞)時(shí),y<0,y為減函數(shù);
當(dāng)x∈(0,4)時(shí),y>0,y為增函數(shù),
所以當(dāng)x=4時(shí),y取得極大值.
即-43+642+m=13,解得m=-19.
【答案】B
10.已知定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f(x)滿足f(1)=2,且f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)在R上恒有f(x)<1,則不等式f(x)1.
【答案】A
11.f(x)是定義在(0,+∞)上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù),且滿足xf(x)+f(x)≤0,對(duì)任意正數(shù)a、b,若a1時(shí),f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)-10,f(x)為增函數(shù);
當(dāng)x∈[0,2]時(shí),f(x)<0,f(x)為減函數(shù),
∴f(x)在[-2,2]上取得最大值f(0)=3.
又f(x)≤a恒成立,∴a≥3.
【答案】[3,+∞)
15.已知函數(shù)f(x)=x3-3x的圖象與直線y=a有三個(gè)相異公共點(diǎn),則a的取值范圍是 .
【解析】令f(x)=3x2-3=0,得x=1,可得極大值為f(-1)=2,極小值為f(1)=-2.
函數(shù)f(x)的大致圖象如圖,
觀察圖象得,當(dāng)-20;
③奇函數(shù)f(x)=mx3+(m-1)x2+48(m-2)x+n在區(qū)間(-4,4)上單調(diào)遞減.
其中假命題的序號(hào)是 .
【解析】①中,函數(shù)f(x)=x3在R上單調(diào)遞增,沒(méi)有極值點(diǎn),①錯(cuò);
②中,f(x)=3ax2+2bx+c(a≠0),函數(shù)f(x)有極值點(diǎn)的充要條件是f(x)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根,所以Δ=4b2-12ac>0,也即b2-3ac>0,②正確;
③中,f(x)是奇函數(shù),則f(0)=0?n=0.又由f(-x)=-f(x),得(m-1)x2=0,因此m=1,所以f(x)=x3-48x.當(dāng)x∈(-4,4)時(shí),f(x)=3x2-48=3(x+4)(x-4)<0,故f(x)在x∈(-4,4)上單調(diào)遞減,③正確.
【答案】①
三、解答題
17.已知f(x)是一次函數(shù),x2f(x)-(2x-1)f(x)=1.求f(x)的解析式.
【解析】由f(x)為一次函數(shù),知f(x)為二次函數(shù).
設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),則f(x)=2ax+b.
把f(x),f(x)代入方程x2f(x)-(2x-1)f(x)=1,得x2(2ax+b)-(2x-1)(ax2+bx+c)=1,
即(a-b)x2+(b-2c)x+c-1=0.
要使方程對(duì)任意x恒成立,則需有a=b,b=2c,c-1=0,解得a=2,b=2,c=1,
故f(x)=2x2+2x+1.
18.已知直線l:y=4x+a和曲線C:f(x)=x3-2x2+3相切.求實(shí)數(shù)a的值和切點(diǎn)的坐標(biāo).
【解析】設(shè)直線l與曲線C相切于點(diǎn)P(x0,y0).
因?yàn)閒(x)=3x2-4x,k=4,所以3x02-4x0=4,
解得x0=-23或x0=2.
所以切點(diǎn)坐標(biāo)為-23,4927或(2,3).
當(dāng)切點(diǎn)坐標(biāo)為-23,4927時(shí),由4927=4-23+a,解得a=12127.
當(dāng)切點(diǎn)坐標(biāo)為(2,3)時(shí),由3=42+a,解得a=-5.
綜上所述,當(dāng)a=12127時(shí),切點(diǎn)坐標(biāo)為-23,4927;當(dāng)a=-5時(shí),切點(diǎn)坐標(biāo)為(2,3).
19.已知函數(shù)f(x)=x2-2(a+1)x+2aln x(a>0).
(1)當(dāng)a=1時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;
(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)若f(x)≤0在區(qū)間[1,e]上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【解析】(1)∵a=1,∴f(x)=x2-4x+2ln x,
∴f(x)=2x2-4x+2x(x>0),f(1)=-3,f(1)=0,
∴切線方程為y=-3.
(2)f(x)=2x2-2(a+1)x+2ax=2(x-1)(x-a)x(x>0),令f(x)=0得x1=a,x2=1,
若00,當(dāng)x∈(a,1)時(shí),f(x)<0,∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,a)和(1,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(a,1);若a=1,則f(x)=2(x-1)2x≥0,∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞);若a>1,則當(dāng)x∈(0,1)或(a,+∞)時(shí),f(x)>0,當(dāng)x∈(1,a)時(shí),f(x)<0,∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)和(a,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,a).
(3)由(2)可知,f(x)在區(qū)間[1,e]上只可能有極小值點(diǎn),
∴f(x)在區(qū)間[1,e]上的最大值必在區(qū)間端點(diǎn)取到,
∴f(1)=1-2(a+1)≤0且f(e)=e2-2(a+1)e+2a≤0,解得a≥e2-2e2e-2.
20.某地建一座橋,兩端的橋墩已建好,這兩墩相距m米,余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩.經(jīng)測(cè)算,一個(gè)橋墩的工程費(fèi)用為256萬(wàn)元,距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費(fèi)用為(2+x)x萬(wàn)元.記余下工程的費(fèi)用為y萬(wàn)元.假設(shè)橋墩等距離分布,所有橋墩都視為點(diǎn),且不考慮其他因素.
(1)試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)m=640米時(shí),需新建多少個(gè)橋墩才能使y最小?
【解析】(1)設(shè)需要新建n個(gè)橋墩,則(n+1)x=m,即n=mx-1,
所以y=f(x)=256n+(n+1)(2+x)x=256mx-1+(2+x)m=256mx+mx+2m-256.
(2)由(1)知,f(x)=-256mx2+12mx-12=m2x2(x32-512).
令f(x)=0,得x32=512,所以x=64,
當(dāng)00,故f(x)在區(qū)間(64,640)上為增函數(shù).
所以f(x)在x=64時(shí)取得最小值,此時(shí),n=mx-1=64064-1=9,
故需新建9個(gè)橋墩才能使y最小.
21.已知函數(shù)f(x)=ln x+ax+1,a為常數(shù).
(1)若a=92,求函數(shù)f(x)在[1,e]上的值域.(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),e≈2.72)
(2)若函數(shù)g(x)=f(x)+x在[1,2]上為減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【解析】(1)由題意f(x)=1x-a(x+1)2,
當(dāng)a=92時(shí),f(x)=1x-92(x+1)2=(x-2)(2x-1)2x(x+1)2.
∵x∈[1,e],∴f(x)在[1,2)上為減函數(shù),在[2,e]上為增函數(shù),
又f(2)=ln 2+32,f(1)=94,f(e)=1+92e+2,比較可得f(1)>f(e),
∴f(x)的值域?yàn)閘n2+32,94.
(2)由題意得g(x)=1x-a(x+1)2+1≤0在[1,2]上恒成立,
∴a≥(x+1)2x+(x+1)2=x2+3x+1x+3恒成立,
設(shè)h(x)=x2+3x+1x+3(1≤x≤2),
∵當(dāng)1≤x≤2時(shí),h(x)=2x+3-1x2>0恒成立,
∴h(x)max=h(2)=272,∴a≥272,
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是272,+∞.
22.已知函數(shù)f(x)=ax+ln x.
(1)若f(x)的一條切線是y=-x+3,求f(x)的單調(diào)區(qū)間.
(2)設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)-1在e-1,e上有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【解析】(1)顯然x>0,f(x)=-ax2+1x.
設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0),則f(x0)=-1,即-ax02+1x0=-1?a=x02+x0.
∴y0=f(x0)=ax0+ln x0=x0+1+ln x0,又y0=-x0+3.
∴l(xiāng)n x0=-2x0+2,解得x0=1,故a=2.
由f(x)=-2x2+1x=x-2x2=0,得x=2.
因此當(dāng)02時(shí),f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.
∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,2),單調(diào)遞增區(qū)間是(2,+∞).
(2)由題意得g(x)=f(x)=-ax2+1x=x-ax2(x>0),
當(dāng)a≤0時(shí),g(x)>0,g(x)在e-1,e上單調(diào)遞增,因此不可能有兩個(gè)零點(diǎn);當(dāng)a>0時(shí),易得g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,a),單調(diào)遞增區(qū)間是(a,+∞).
g(x)=f(x)-1=0在e-1,e上有兩解?e-1
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