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定義1設A為n階方陣，X是n維向量，如果存在數(shù)l，使方程AX=lX有非零解，則稱l為矩陣A的特征值，相應的非零解稱為A的屬于l的特征向量,方程AX=lX,,AX-lX=O,,(A-lE)X=O,特征值:使n元齊次方程AX=lX有非零解的數(shù)l0,A的對應于l0的特征向量：,即不論l取何值，方程AX=lX一定有解,43矩陣的特征值和特征向量,例如：對，取l=4，代入方程AX=lX,,,(A-4E)X=O,,,有非零解,所以，l=4是矩陣A的一個特征值,對，取，得一個基礎解系,則方程(A-4E)X=O的全部解為：,c為任意常數(shù),A的屬于l=4的特征向量：,c≠0,1、求n階方陣A的特征值：,數(shù)l0是A的特征值,,l0使方程AX=lX有非零解,,,因此：l0是A的特征值,,l0使成立,,求A的特征值步驟：,(1)計算n階行列式,解得方程的根l1，l2，…，ln，,則l1，l2，…，ln即是A的特征值,設,則方程即是?的n次方程,在復數(shù)域上，方程一定有n個根。,方程,定義2設A為n階方陣，為其特征值組，則其特征方程可表示為：,則稱為的代數(shù)重數(shù)(重數(shù))，而特征子空間的維數(shù)稱為幾何重數(shù)(度數(shù))。,顯然：,解：,令，得l1=-1，l2=7,則A的特征值為l1=-1，l2=7,【例1】求的特征值,2、求A的屬于特征值l的特征向量,設li是A的特征值，則方程AX=li,X有非零解.,即方程(A-liE)X=O有非零解，,方程組(A-liE)X=O的全部非零解,A的對應于特征值li的特征向量:,2）求出(A-liE)X=O的一個基礎解系V1、V2、…、Vs,步驟：1）把l=li代入方程(A-liE)X=O,得一齊次線性方程組(A-liE)X=O,3）A的屬于特征值li的特征向量為：,是不全為零任意常數(shù),【例2】求矩陣的特征值與特征向量,解：,得l1=2，l2=l3=1（二重根）,則A的特征值為l1=2，l2=l3=1,把l1=2代入方程(A-lE)X=O，得,(A-2E)X=O,,,,,得一基礎解系,于是，A的屬于l1=2的全部特征向量為：,把l2=l3=1代入方程(A-lE)X=O，得,(A-E)X=O,,,于是，A的屬于?2=1的全部特征向量為：,,解：,得?1=-2，?2=?3=7（二重根）,則A的特征值為?1=-2，?2=?3=7,把l1=-2代入方程(A-lE)X=O，得,(A+2E)X=O,,【例3】求矩陣的特征值與特征向量,于是，A的屬于l1=-2的全部特征向量為：,把l2=l3=7代入方程(A-lE)X=O，得,令分別取,，得基礎解系,于是，A的屬于l2=l3=7的全部特征向量為：,定理1n階方陣A的不同特征值對應的特征向量線性無關。,即若是屬于特征值l1的特征向量,是屬于特征值l2的特征向量,證明：設l1、l2、…、lm是A的m個不同的特征值，a1、a2、…am是分別屬于l1、l2、…、lm的特征向量，,即是方程的非零解,要證：線性無關,設：,即有，且,在(1)式兩邊左乘A，得,,,,在(2)式兩邊左乘A，得,,,做矩陣乘積:,，即B可逆,不同特征值對應的特征向量線性無關,所以：,則：,定理2設l是A的特征值，a是A的屬于l的特征向量，則:(1)kl是kA的特征值(k為任意常數(shù))(2)lm是Am的特征值(m為正整數(shù))(3)當A可逆時，l≠0，且l-1是A-1的特征值,因為a是A的屬于l的特征向量，,即a是方程AX=lX的非零解，,所以有Aa=la且a≠0,證（1）：kl是kA的特征值,且a≠0,，所以a是方程kAX=klX的非零解,,kl是kA的特征值,因為(kA)a,要證方程(kA)X=(k?)X有非零解,=k(Aa),=k(la),=(kl)a,先證當A可逆時，l≠0：,反證：若不然，l=0,由Aa=la,，得Aa=0,證（3）當A可逆時，l≠0，且l-1是A-1的特征值,再證l-1是A-1的特征值：,因為Aa=la，,兩邊左乘A-1，得,即a是方程A-1X=l-1X的非零解,故l-1是A-1的特征值,【例4】設四階方陣A滿足求的一個特征值。,解：,,即A可逆,,由,,,,所以l=-3是A的一個特征值,且由,再由定理2的（1）可知：,,定理3矩陣A與其轉置矩陣A’有相同的特征值,證明：,即A與A’有相同的特征多項式,故A與A’有相同的特征值,定理4設l1、l2、…、ln是A的n個特征值，則,說明（1）利用本定理結論(1)可檢驗所求的特征值是否正確。,（2）由結論(2)可得性質：,（1）l1+l2+…+ln=a11+a22+…+ann,（2）l1l2…ln,定義3若T為可逆矩陣，對矩陣A、B，若：,則稱A與B相似。,定理5若矩陣A、B相似，則A、B具有相同的本征值。,【例6】設A滿足證明其特征值只能取1或2.,證明：,,,,【例5】設A為n階正交矩陣，證明A的實特征向量所對應的特征值的絕對值等于1。,證明：,因為A為正交矩陣，,,,左邊=,右邊=,,,,作業(yè)：P1211，12,