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第10章矩陣特征值與特征向量的計(jì)算,10.1冪法及反冪法10.2Jacobi方法10.3QR方法10.4特征值與特征向量的MATLAB函數(shù)求解10.5實(shí)例解析,本章目標(biāo)：計(jì)算矩陣的特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量,,,,一、冪法,條件：A有特征根|?1|>|?2|?…?|?n|?0，對(duì)應(yīng)n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,,………,,|?i/?1||?3|?…?|?n|,,從任意出發(fā)，,不妨假定,,當(dāng)k充分大時(shí),有:,,,,所以,,可以證明，對(duì)應(yīng)于?1的A的特征向量為：,事實(shí)上，,類似地，對(duì)應(yīng)于?2的A的特征向量為：,,,,,2|?1|=|?2|>|?3|?…?|?n|,此時(shí),?1和?2有可能是共軛復(fù)數(shù)(也可能?1=?2,也可能是情況1?1=-?2);|?1|>|?3|.,不妨假設(shè),,,當(dāng)k充分大時(shí),有:,Q:如何找到表示?1(?2)的較好的關(guān)系呢?,不難驗(yàn)證:間近似地成立下述線性關(guān)系,為求得?1和?2,可任取兩組分量,并解下列方程組得p,q:,其余分量是否也滿足關(guān)系式?若滿足,,,,即,?1和?2是方程?2+p?+q=0的兩個(gè)根:,顯然:p2?2?…??n，且|?2|>|?n|。,,p=(?2+?n)/2,思路,令B=A?pI，則有|?I?A|=|?I?(B+pI)|=|(??p)I?B|??A?p=?B。而，所以求B的特征根收斂快。,p是假定的,p究竟是多少?,p的選擇或憑借于經(jīng)驗(yàn),或通過(guò)多次試算而得.,二、反冪法,Q:Howmustwecomputeineverystep?,A:SolvealinearsystemwithAfactorized.,若知道某一特征根?i的大致位置p,即對(duì)任意j?i有|?i?p|<<|?j?p|,并且如果(A?pI)?1存在，則可以用反冪法求(A?pI)?1的主特征根1/(?i?p)，收斂將非?？?。,思路,(1)用反冪法求A的按模最小的特征根,(2)利用反冪法將特征根的近似值精確化,若?j’是A的特征值?j的近似值,且設(shè)?j是A的特征方程的單根,并滿足:|?j??j’||?2|>……|?n|>0,則當(dāng)n??時(shí),Ak本質(zhì)上收斂于一三角矩陣R.于是R主對(duì)角線上的元素就是所求的特征值.,矩陣A的QR分解可借助于施密特正交化過(guò)程得到.記A的n個(gè)列依次為?1,?2,…,?n.,10.3QR方法,單位化,A=,Q,R,(r1r2…rn-1rn),,?,將A按列向量?1,?2,…,?n用正交化向量表示出來(lái),,10.4特征值與特征向量的MATLAB函數(shù)求解,MATLAB提供的eig()函數(shù)可以很方便地用來(lái)求解矩陣特征值與特征向量問(wèn)題，該函數(shù)的調(diào)用格式為：[V,D]=eig(A)[V,D]=eig(A,nobalance)[V,D]=eig(A,B)[V,D]=eig(A,B,flag)其中，V是特征向量組成的矩陣（其每一列對(duì)應(yīng)矩陣A的一個(gè)特征值），D是由特征值構(gòu)成的對(duì)角矩陣。Nobalance表示直接求解矩陣A的特征值和特征向量，沒(méi)有這個(gè)參數(shù)的時(shí)候會(huì)先對(duì)A進(jìn)行相似變換，然后求矩陣A的特征值和特征向量。當(dāng)表達(dá)式中含有參數(shù)B時(shí)，函數(shù)eig()計(jì)算廣義特征向量矩陣V和廣義特征值矩陣D，滿足AV=BVD。參數(shù)flag用來(lái)指定算法計(jì)算特征值D和特征向量V，flag的值為chol表示對(duì)B使用cholesky分解算法，這里A為對(duì)稱Hermitian矩陣，B為正定陣；flag的值為qz表示使用QZ算法，這里A和B為非對(duì)稱或非Hermitian矩陣。另外，針對(duì)稀疏矩陣，MATLAB還提供了eigs()函數(shù)來(lái)求解矩陣的特征值和特征向量，該函數(shù)的調(diào)用格式為：[V,D]=eigs(A,k)其中k表示返回前k個(gè)最大的特征值，其默認(rèn)值為6。其余參數(shù)的含義同于eig()函數(shù)。,