第三節(jié) 極限 第一部分 五年高考薈萃 2009年高考題 一、選擇題 1、（09重慶理8）已知，其中，則的值為 （ ） A.6 B. C. D. 【解析】 答案 D 2、（09湖北理6）設(shè)， 則 （ ） A.-1 B.0 C.1 D. 【解析】令得令時(shí) 令時(shí) 兩式相加得： 兩式相減得： 代入極限式可得，故選B 答案 B 二、填空題 3、（09陜西理13）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,則 . 答案 1 2005—2008年高考題 一、選擇題 1、（2007年江西） （　?。? Ａ．等于 Ｂ．等于 Ｃ．等于 Ｄ．不存在 答案 B 2、（2007年湖北）已知和是兩個(gè)不相等的正整數(shù)，且，則（ ） A．0 B．1 C． D． 答案 Ｃ 3、（2006湖南）數(shù)列{}滿足:,且對于任意的正整數(shù)m,n都有,則 ( ) A. B. C. D.2 【解析】數(shù)列滿足: , 且對任意正整數(shù)都有，，∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列。，選A. 答案 A 4、（2005年全國Ⅱ理5） ( ) A B C D 【解析】 ,選(A) 答案 A 二、填空題 5、（2008上海2）計(jì)算： . 答案 6、（2007年全國Ⅱ理16）已知數(shù)列的通項(xiàng)an=－5n+2,其前n項(xiàng)和為Sn, 則= . 答案 - 【解析】數(shù)列的通項(xiàng)an=－5n+2，其前n項(xiàng)和為Sn，則=－. 7、（2006天津）設(shè)函數(shù)，點(diǎn)表示坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，若向量，是與的夾角，（其中），設(shè) ，則= ． 【解析】函數(shù)，點(diǎn)表示坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，若向量 =，是與的夾角，（其 中），設(shè)，則=1． 答案 1 8、（2005年上海2） . 答案 0 三、解答題 9、（2007年遼寧）已知數(shù)列，與函數(shù)，，滿足條件： ，. （I）若，，，存在，求的取值范圍； （II）若函數(shù)為上的增函數(shù)，，，，證明對任意，（用表示）． (Ⅰ)解法一：由題設(shè)知得，又已知,可得 由 其首項(xiàng)為.于是 又liman存在，可得0＜＜1,所以-2＜t＜2且 解法二.由題設(shè)知tbn+1=2bn+1,且可得 由可知,所以是首項(xiàng)為,公的等比數(shù)列. 由 可知，若存在，則存在.于是可得0＜＜1,所以-1＜t. =2 解法三:由題設(shè)知tbn+1=2bn+1,即 ① 于是有 ② ②-①得 由，所以是首項(xiàng)為b公比為的等比數(shù)列，于是 （b2-b1）+2b. 又存在，可得0＜＜1,所以-2＜t＜2且 說明：數(shù)列通項(xiàng)公式的求法和結(jié)果的表達(dá)形式均不唯一，其他過程和結(jié)果參照以標(biāo)準(zhǔn). (Ⅱ)證明：因?yàn)? 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明＜. (1)當(dāng)n=1時(shí)，由f(x)為增函數(shù),且＜1,得 ＜1 ＜1 ＜， 即＜，結(jié)論成立. （2）假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立，即＜.由f(x)為增函數(shù)，得 ＜f即＜進(jìn)而得 ＜f()即＜. 這就是說當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立. 根據(jù)（1）和（2）可知，對任意的，＜. 第二部分 三年聯(lián)考匯編 2009年聯(lián)考題 一、選擇題 1、(2009年3月襄樊市高中調(diào)研統(tǒng)一測試?yán)?的值為 ( ) A．0 B．1 C． D． 答案 C 2、(湖北省八市2009年高三年級三月調(diào)考理)若(1+5x)n的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為an，(7x2 ＋1)n的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為bn，則的值是 （ ） A． B． C．1 D．－ 答案 A 3、（2009衡陽四校聯(lián)考）若（P∈R，P為常數(shù)），則a和P的值分別為（ ） A． 0， B． 1， C． D． 答案 D 4、（2009牟定一中期中）若的 值為 （ ） A. －2 B. C. D. 答案 B 5、（2009宣威六中第一次月考）下列命題不正確的是（ ） A．如果 f (x) = ，則 f (x) = 0 B．如果 f (x) = 2 x－1，則 f (x) = 0 C．如果 f (n) = ，則 f (n) 不存在 D．如果 f (x) = ，則 f (x) = 0 答案 D 6、（2009宣威六中第一次月考），則（ ） A． B． C． D． 答案 A 二、填空題 7、（2009上海十四校聯(lián)考）如圖，在楊輝三角中，斜線上方 的數(shù)組成數(shù)列： 1，3，6，10，…，記這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn， 則= . 答案 6 8、（2009上海奉賢區(qū)模擬考）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列 的首項(xiàng)，公比為，前n項(xiàng)和為，若，則公比為的取值范圍是 。 答案 9、（2009閔行三中模擬）若實(shí)數(shù)滿足，則____________.答案3 10．(北京市石景山區(qū)2009年4月高三一模理)若展開式的第項(xiàng)為，則= ． 答案 2 11. (北京市豐臺區(qū)2009年3月高三統(tǒng)一檢測理) 設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若 ，則= 。 答案 4 12、（2009廈門一中）若函數(shù)在處的，則等于_______________ 答案 －2 13. (湖北省2009年3月高三八校第二次聯(lián)考理科) 設(shè)是的展開式中項(xiàng)的系 數(shù)（、、、…），則________. 答案 18 14、（2009張家界市11月考）已知，則= （其中為 虛數(shù)單位） 答案 1-i. 15、（2009上海閘北區(qū)）若展開式的第9項(xiàng)的值為12，則 = ． 答案 2 16、（2009上海九校聯(lián)考）設(shè)常數(shù)>0，的展開式中，的系數(shù)為， 則 答案 17、（2009宣威六中第一次月考）= . 答案 -3 三、解答題 18、（2009冠龍高級中學(xué)3月月考）由函數(shù)確定數(shù)列，，函數(shù)的反函數(shù)能確定數(shù)列，，若對于任意，都有，則稱數(shù)列是數(shù)列的“自反數(shù)列”。 (1)若函數(shù)確定數(shù)列的自反數(shù)列為，求的通項(xiàng)公式； (2)在(1)條件下，記為正數(shù)數(shù)列的調(diào)和平均數(shù)，若， 為數(shù)列的前項(xiàng)和，為數(shù)列的調(diào)和平均數(shù)，求； (3)已知正數(shù)數(shù)列的前項(xiàng)之和。求的表達(dá)式。 解 (1) 由題意的：f –1(x)== f(x)=，所以p = –1，所以an= (2) an=，dn==n， Sn為數(shù)列{dn}的前n項(xiàng)和，Sn=，又Hn為數(shù)列{Sn}的調(diào)和平均數(shù)， Hn=== == (3) 因?yàn)檎龜?shù)數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)之和Tn=(cn+)， 所以c1=(c1+)，解之得：c1=1，T1=1 當(dāng)n≥2時(shí)，cn = Tn–Tn–1，所以2Tn = Tn–Tn–1 +， Tn +Tn–1 = ，即：= n， 所以，= n–1，= n–2，……，=2，累加得： =2+3+4+……+ n， =1+2+3+4+……+ n =，Tn= 19、（2009上海普陀區(qū)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，. 對任意，向量、都滿足，求. 解 因?yàn)椋杂蓷l件可得，. 即數(shù)列是公比的等比數(shù)列. 又，所以，. 9月份更新 1.（2009上海八校聯(lián)考）是無窮數(shù)列，已知是二項(xiàng)式的展開式各項(xiàng)系數(shù)的和，記，則_______________。 答案 2.（2009上海青浦區(qū)）已知數(shù)列，對于任意的正整數(shù)，，設(shè)表示數(shù)列的前項(xiàng)和．下列關(guān)于的結(jié)論，正確的是……………………（ ）． A． B． C．（） D．以上結(jié)論都不對 答案 B 3.（2009上海九校聯(lián)考）設(shè)常數(shù)>0，的展開式中，的系數(shù)為， 則 答案 2007—2008年聯(lián)考題 一、選擇題 1、（2008荊門市實(shí)驗(yàn)高中測試） 等于 ( ) A.1 B. C. c D.1或 答案 D 2、（2008荊門市實(shí)驗(yàn)高中測試）下列極限存在的是 ( ) ① ② ③ ④ A.①②④ B.②③ C.①③ D.①②③④ 答案 C 3、（2008荊門市實(shí)驗(yàn)高中測試）已知a,b時(shí)互不相等的正數(shù)，則 等于 （ ） A.1 B.1或－1 C.0 D.0或－1 答案 B 4、(淮南市部分重點(diǎn)中學(xué)2007年高三數(shù)學(xué)素質(zhì)測試）設(shè) 存在，則常數(shù)b的值是 （ ） A．0 B．1 C．－1 D．e .答案 B 5、 (巢湖2007二模)若,則常數(shù)、的值為 （ ） A.， B. ， C. ， D. .答案 C 6、(皖南八校2007屆一聯(lián)）的值為 （ ） A．0 B．不存在 C．－ D． .答案 C 7、（南昌市2007-2008學(xué)年度高三第一輪復(fù)習(xí)訓(xùn)練）已知數(shù)列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4… …則這個(gè)數(shù)列的第2006個(gè)數(shù)是 ( ) A 62 B.63 C 64 D 65 答案 B 8、（南昌市2007-2008學(xué)年度高三第一輪復(fù)習(xí)訓(xùn)練）函數(shù)f（x）=的不連續(xù) 點(diǎn)為 ( ) A x= B x=1 C x= D 以上答案都不對 答案A 9、（南昌市2007-2008學(xué)年度高三第一輪復(fù)習(xí)訓(xùn)練）用數(shù)學(xué)歸納法證明命題時(shí)，此命題 左式為，則n=k+1與n=k時(shí)相比，左邊應(yīng)添加 ( ) A． B． C． D． 答案C 二、填空題 10、 （2008荊門市實(shí)驗(yàn)高中測試） 若 。 .答案 2 11、（2008荊門市實(shí)驗(yàn)高中測試） _____________。 答案 －1 12、（2008宣威六中高三數(shù)學(xué)測試）_________。 答案 －1 13、（安徽宿州三中2007年三模）已知，則 。 答案 -8 三、解答題 14、 （2008荊門市實(shí)驗(yàn)高中測試）求 解 15、 （2008荊門市實(shí)驗(yàn)高中測試）已知，求a 的取值范圍. 解 依題意有： 16、 (南昌市2007-2008學(xué)年度高三第一輪復(fù)習(xí)訓(xùn)練)已知遞增等比數(shù)列{an}滿足：a2+a3+a4＝28且a3+2是a2和a4的等差中項(xiàng)， ⑴求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； ⑵若，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求 解 ：（1）設(shè)公比為，則。 據(jù)題意得： 所以 （2）因?yàn)? 所以 故 17、(南昌市2007-2008學(xué)年度高三第一輪復(fù)習(xí)訓(xùn)練) 數(shù)列 （1）求 （2）證明猜想的正確性 解 ： 同理得， 猜想 （2）證明：n=1時(shí)， 假設(shè)n=k 時(shí)，猜想正確，即 又 即n=k+1時(shí)也成立 18、 (南昌市2007-2008學(xué)年度高三第一輪復(fù)習(xí)訓(xùn)練)函數(shù)的定義域?yàn)镽， 且 （1）求證： （2）若上的最小值為， 求證：. 解 ⑴定義域?yàn)镽， ⑵由⑴知