第十一章 全等三角形 11.1 全等三角形 1．（2008年仙桃、潛江）△ABC中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，3），如果要使△ABD與△ABC全等，那么點(diǎn)D的坐標(biāo)是 . 答案： 2．（2007年泰安）如圖，和是分別沿著邊翻折形成的，若，則的度數(shù)是 ． C D A E B 答案：60 11.2 三角形全等的條件（1） 1．（2008年宜賓市）已知:如圖,AD＝BC,AC＝BD.求證:∠C＝∠D 答案：證明：連結(jié)AB 在△ADB與△ACB中 ∴△ADB≌△ACB ∴ ∠D＝∠C 11.2 三角形全等的條件（2） 1．（2008年遵義市）如圖，OA＝OB，OC＝OD，∠O＝50，∠D＝35，則∠AEC等于（ ） A．60 B．50 C．45 D．30 O E A B D C 答案：A 根據(jù)OA＝OB，OC＝OD，∠O＝∠O可證△ODA≌△OCB，所以∠C＝∠D＝35，又因?yàn)椤螮AC＝∠O＋∠D＝85，所以∠AEC＝180－85－35＝60. 2．(2008常州市) 已知:如圖，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE. 求證:AC＝DE. 答案： ∵∠BAD＝∠CAE ∴∠BAC＝∠DAE 在△BAC≌△DAE中 ∴△BAC≌△DAE ∴AC＝DE 3．（2007年南昌市）如圖，在△ABC中，D是AB上一點(diǎn)，DF交AC于點(diǎn)E，DE＝FE，AE＝CE，AB與CF有什么位置關(guān)系？證明你的結(jié)論． A D B C F E 答案：． 證明：在和中，由， 得． 所以． 故． 4．（2008年泰安市）兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，B，C，E在同一條直線(xiàn)上，連結(jié)DC． （1）請(qǐng)找出圖2中的全等三角形，并給予證明（說(shuō)明：結(jié)論中不得含有未標(biāo)識(shí)的字母）； （2）證明：DC⊥BE． 圖1 圖2 D C E A B 答案：（1）解：圖2中 證明如下： ∵△ABC與△AED均為等腰直角三角形 ∴AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝90 ∴∠BAC＋∠CAE＝∠EAD＋∠CAE 即∠BAE＝∠CAD ∴△ABE≌△ACD （2）證明：由（1）△ABE≌△ACD知 ∠ACD＝∠ABE＝45 又∠ACB＝45 ∴∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝90 ∴DC⊥BE 5．（2008年北京）已知：如圖，C為BE上一點(diǎn)，點(diǎn)A，D分別在BE兩側(cè)．AB∥ED，AB＝CE，BC＝ED．求證：AC＝CD． A C E D B 證明：∵AB∥ED， ∴∠B＝∠E． 在△ABC和△CED中， ∴△ABC≌△CED． ∴AC＝CD． 6．（2008無(wú)錫）已知一個(gè)三角形的兩條邊長(zhǎng)分別是1cm和2cm，一個(gè)內(nèi)角為40． （1）請(qǐng)你借助圖1畫(huà)出一個(gè)滿(mǎn)足題設(shè)條件的三角形； （2）你是否還能畫(huà)出既滿(mǎn)足題設(shè)條件，又與（1）中所畫(huà)的三角形不全等的三角形？若能，請(qǐng)你在圖1的右邊用“尺規(guī)作圖”作出所有這樣的三角形；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由． （3）如果將題設(shè)條件改為“三角形的兩條邊長(zhǎng)分別是3cm和4cm，一個(gè)內(nèi)角為40”，那么滿(mǎn)足這一條件，且彼此不全等的三角形共有個(gè)． 友情提醒：請(qǐng)?jiān)谀惝?huà)的圖中標(biāo)出已知角的度數(shù)和已知邊的長(zhǎng)度，“尺規(guī)作圖”不要求寫(xiě)作法，但要保留作圖痕跡． 答案：解：（1）如圖1； （2）如圖2； （3）4． 2cm 1cm 40 2cm 1cm 40 圖1 圖2 11.2 三角形全等的條件（3） 1．（2008年蘇州）如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于O點(diǎn)，∠1＝∠2，∠3＝∠4． 求證：（1）△ABC≌△ADC；（2）BO＝DO． 答案：證明：（1）在△ABC和△ADC中 ∴△ABC≌△ADC． （2）∵△ABC≌△ADC，∴AB＝AD．又∵∠1＝∠2，∴BO＝DO． D C B A O 1 2 3 4 2．（2007年隨州市）如圖，△ABC中，點(diǎn)D在BC上，點(diǎn)E在AB上，BD＝BE，要使△ADB≌△CEB，還需添加一個(gè)條件． （1）給出下列四個(gè)條件： ① ② ③ ④ 請(qǐng)你從中選出一個(gè)能使的條件，并給出證明； 你選出的條件是 ． 證明： （2）在（1）中所給出的條件中，能使的還有哪些？ 直接在題后橫線(xiàn)上寫(xiě)出滿(mǎn)足題意的條件序號(hào)： ． 答案：第（1）題添加條件②，③，④中任一個(gè)即可，以添加②為例說(shuō)明． （1）②證明：∵AE＝CD，BE＝BD，∴AB＝CB，又∠ABD＝∠CBE，BE＝BD ∴△ADB≌△CEB （2）③④ 3．(2008年西寧市)如圖，一塊三角形模具的陰影部分已破損． （1）只要從殘留的模具片中度量出哪些邊、角，就可以不帶殘留的模具片到店鋪加工一塊與原來(lái)的模具ABC的形狀和大小完全相同的模具？請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由． （2）作出模具的圖形（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法和證明）． B C A 答案：（1）只要度量殘留的三角形模具片的∠B，∠C的度數(shù)和邊BC的長(zhǎng)， 因?yàn)閮山羌捌鋳A邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等． （2）按尺規(guī)作圖的要求，正確作出的圖形． 11.2 三角形全等的條件（4） 1．（2007年通遼市）如圖，在Rt△AEB和Rt△AFC中，BE與AC相交于點(diǎn)M，與CF相交于點(diǎn)D，AB與CF相交于點(diǎn)N，∠E＝∠F＝90，∠EAC＝∠FAB，AE＝AF．給出下列結(jié)論：①∠B＝∠C；②CD＝DN；③BE＝CF；④△CAN≌△ABM．其中正確的結(jié)論是（ ） A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④ A B C E M F D N 答案：A 2．（2008年南寧市）如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F，BE=CF。 （1）圖中有幾對(duì)全等的三角形？請(qǐng)一一列出； （2）選擇一對(duì)你認(rèn)為全等的三角形進(jìn)行證明。 答案：（1）3對(duì)。分別是： △ABD≌△ACD；△ADE≌△ADF；△BDE≌△CDF。 （2）△BDE≌△CDF。 證明：因?yàn)镈E⊥AB，DF⊥AC， 所以∠BED=∠CFD=90 又因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)， 所以BD=CD 在Rt△BDE和Rt△CDF中， 所以△BDE≌△CDF。 11.3 角平分線(xiàn)的性質(zhì)（一） 1．(2008年雙柏縣)如圖，點(diǎn)P在∠AOB的平分線(xiàn)上，若使△AOP≌△BOP，則需添加的一個(gè)條件是 （只寫(xiě)一個(gè)即可，不添加輔助線(xiàn)）： 答案：OA＝OB或∠OAP＝∠OBP或∠OPA＝∠OPB 2．（2007年十堰）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝AC－BD，則∠B∶∠C的值是________ 答案：2 11.3 角平分線(xiàn)的性質(zhì)（二） 1．（2008年梅州）如圖， 點(diǎn) P到∠AOB兩邊的距離相等，若∠POB＝30，則 ∠AOB＝_____度． 答案：60 2．（2007年綿陽(yáng)市）如圖，△ABC中，E、F分別是AB、AC上的點(diǎn)． ① AD平分∠BAC，② DE⊥AB，DF⊥AC， ③ AD⊥EF．以此三個(gè)中的兩個(gè)為條件，另一個(gè)為結(jié)論，可構(gòu)成三個(gè)命題，即： ①② ③，①③ ②，②③ ①． （1）試判斷上述三個(gè)命題是否正確（直接作答）； （2）請(qǐng)證明你認(rèn)為正確的命題． 答案：（1）①② ③，正確；①③ ②，錯(cuò)誤；②③ ①，正確（但在我們知識(shí)范圍內(nèi)，暫時(shí)不能給出證明過(guò)程）． （2）先證 ①② ③． ∵ AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，而AD = AD， ∴ Rt△ADE≌Rt△ADF， ∴ DE =DF，∠ADE =∠ADF． 設(shè)AD與EF交于G，則△DEG≌△DFG， 因此∠DGE =∠DGF， 進(jìn)而有∠DGE =∠DGF = 90，故AD⊥EF． 6