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1、標(biāo)準(zhǔn)偏差 出自 MBA智庫(kù)百科( 　　數(shù)學(xué)表達(dá)式： 　　 S-標(biāo)準(zhǔn)偏差（%） n-試樣總數(shù)或測(cè)量次數(shù)，一般n值不應(yīng)少于20-30個(gè) i-物料中某成分的各次測(cè)量值，1～n； 標(biāo)準(zhǔn)偏差的使用方法 　 六個(gè)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差的公式[1] 標(biāo)準(zhǔn)偏差的理論計(jì)算公式 　　設(shè)對(duì)真值為X的某量進(jìn)行一組等精度測(cè)量, 其測(cè)得值為l1、l2、……ln。令測(cè)得值l與該量真值X之差為真差占σ, 則有　　　　σ1 = li ? X 　　σ2 = l2 ? X 　　…… 　　σn = ln ? X 　　我們定義標(biāo)準(zhǔn)偏差(也稱(chēng)標(biāo)準(zhǔn)差)σ為 　　 　　 （1） 　

2、　由于真值X都是不可知的, 因此真差σ占也就無(wú)法求得, 故式只有理論意義而無(wú)實(shí)用價(jià)值。 標(biāo)準(zhǔn)偏差σ的常用估計(jì)—貝塞爾公式 　　由于真值是不可知的, 在實(shí)際應(yīng)用中, 我們常用n次測(cè)量的算術(shù)平均值來(lái)代表真值。理論上也證明, 隨著測(cè)量次數(shù)的增多, 算術(shù)平均值最接近真值, 當(dāng)時(shí), 算術(shù)平均值就是真值。 　　于是我們用測(cè)得值li與算術(shù)平均值之差——剩余誤差（也叫殘差）Vi來(lái)代替真差σ , 即 　　 　　設(shè)一組等精度測(cè)量值為l1、l2、……ln 　　則　 　　　　 　　　　…… 　　　　 　　通過(guò)數(shù)學(xué)推導(dǎo)可得真差σ與剩余誤差V的關(guān)系為 　　 　　將上式代入式(

3、1)有 　　 　　　　　(2) 　　式(2)就是著名的貝塞爾公式(Bessel)。 　　它用于有限次測(cè)量次數(shù)時(shí)標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算。由于當(dāng)時(shí)，,可見(jiàn)貝塞爾公式與σ的定義式(1)是完全一致的。 　　應(yīng)該指出, 在n有限時(shí), 用貝塞爾公式所得到的是標(biāo)準(zhǔn)偏差σ的一個(gè)估計(jì)值。它不是總體標(biāo)準(zhǔn)偏差σ。因此, 我們稱(chēng)式(2)為標(biāo)準(zhǔn)偏差σ的常用估計(jì)。為了強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn), 我們將σ的估計(jì)值用“S ” 表示。于是, 將式(2)改寫(xiě)為 　　　　(2) 　　在求S時(shí), 為免去求算術(shù)平均值的麻煩, 經(jīng)數(shù)學(xué)推導(dǎo)(過(guò)程從略)有 　　 　　于是, 式(2)可寫(xiě)為 　　　　(2") 　　按式(

4、2")求S時(shí), 只需求出各測(cè)得值的平方和和各測(cè)得值之和的平方藝 , 即可。 標(biāo)準(zhǔn)偏差σ的無(wú)偏估計(jì) 　　數(shù)理統(tǒng)計(jì)中定義S2為樣本方差 　　 　　數(shù)學(xué)上已經(jīng)證明S2是總體方差σ2的無(wú)偏估計(jì)。即在大量重復(fù)試驗(yàn)中, S2圍繞σ2散布, 它們之間沒(méi)有系統(tǒng)誤差。而式(2)在n有限時(shí),S并不是總體標(biāo)準(zhǔn)偏差σ的無(wú)偏估計(jì), 也就是說(shuō)S和σ之間存在系統(tǒng)誤差。概率統(tǒng)計(jì)告訴我們, 對(duì)于服從正態(tài)分布的正態(tài)總體, 總體標(biāo)準(zhǔn)偏差σ的無(wú)偏估計(jì)值為 　　　　(3) 　　令 　　則 　　即S1和S僅相差一個(gè)系數(shù)Kσ,Kσ是與樣本個(gè)數(shù)測(cè)量次數(shù)有關(guān)的一個(gè)系數(shù), Kσ值見(jiàn)表。 　　計(jì)算Kσ時(shí)用到

5、　　Γ(n + 1) = nΓ(n) 　　 　　Γ(1) = 1 　　由表1知, 當(dāng)n>30時(shí), 。因此, 當(dāng)n>30時(shí), 式(3)和式(2)之間的差異可略而不計(jì)。在n=30～50時(shí), 最宜用貝塞爾公式求標(biāo)準(zhǔn)偏差。當(dāng)n<10時(shí), 由于Kσ值的影響已不可忽略, 宜用式(3), 求標(biāo)準(zhǔn)偏差。這時(shí)再用貝塞爾公式顯然是不妥的。 標(biāo)準(zhǔn)偏差的最大似然估計(jì) 　　將σ的定義式(1)中的真值X用算術(shù)平均值代替且當(dāng)n有限時(shí)就得到 　　 　　　　(4) 　　式(4)適用于n>50時(shí)的情況, 當(dāng)n>50時(shí),n和(n-1)對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響就很小了。 　　2.5標(biāo)準(zhǔn)偏差σ的極差估計(jì)由

6、于以上幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算公式計(jì)算量較大, 不宜現(xiàn)場(chǎng)采用, 而極差估計(jì)的方法則有運(yùn)算簡(jiǎn)便, 計(jì)算量小宜于現(xiàn)場(chǎng)采用的特點(diǎn)。 　　極差用"R"表示。所謂極差就是從正態(tài)總體中隨機(jī)抽取的n個(gè)樣本測(cè)得值中的最大值與最小值之差。 　　若對(duì)某量作次等精度測(cè)量測(cè)得l1、，且它們服從正態(tài)分布, 則 　　R = lmax ? lmin 　　概率統(tǒng)計(jì)告訴我們用極差來(lái)估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算公式為 　　　　(5) 　　S3稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)偏差σ的無(wú)偏極差估計(jì), d2為與樣本個(gè)數(shù)n(測(cè)得值個(gè)數(shù))有關(guān)的無(wú)偏極差系數(shù), 其值見(jiàn)表2 　　 　　由表2知, 當(dāng)n≤15時(shí),, 因此, 標(biāo)準(zhǔn)偏差σ更粗略的估計(jì)值

7、為 　　　　(5) 　　還可以看出, 當(dāng)200≤n≤1000時(shí)，因而又有 　　　　(5") 　　顯然, 不需查表利用式(5)和(5")了即可對(duì)標(biāo)準(zhǔn)偏差值作出快速估計(jì), 用以對(duì)用貝塞爾公式及其他公式的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行校核。 　　應(yīng)指出,式(5)的準(zhǔn)確度比用其他公式的準(zhǔn)確度要低, 但當(dāng)5≤n≤15時(shí),式(5)不僅大大提高了計(jì)算速度, 而且還頗為準(zhǔn)確。當(dāng)n>10時(shí), 由于舍去數(shù)據(jù)信息較多, 因此誤差較大, 為了提高準(zhǔn)確度, 這時(shí)應(yīng)將測(cè)得值分成四個(gè)或五個(gè)一組, 先求出各組的極差R1、, 再由各組極差求出極差平均值。 　　 　　極差平均值和總體標(biāo)準(zhǔn)偏差的關(guān)系為 　　 　　

8、需指出, 此時(shí)d2大小要用每組的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)n而不是用數(shù)據(jù)總數(shù)N(=nK)去查表2。再則, 分組時(shí)一定要按測(cè)得值的先后順序排列,不能打亂或顛倒。 標(biāo)準(zhǔn)偏差σ的平均誤差估計(jì) 　　平均誤差的定義為 　　 　　 　　誤差理論給出 　　　　(A) 　　可以證明與的關(guān)系為 　　(證明從略) 　　 　　于是　　　　(B) 　　由式(A)和式(B)得 　　 　　從而有 　　 　　 　　 　　式(6)就是佩特斯(C.A.F.Peters.1856)公式。用該公式估計(jì)δ值, 由于\right|V\right|不需平方,故計(jì)算較為簡(jiǎn)便。但該式的準(zhǔn)確度不

9、如貝塞爾公式。該式使用條件與貝塞爾公式相似。 標(biāo)準(zhǔn)偏差的應(yīng)用實(shí)例[1] 　　對(duì)標(biāo)稱(chēng)值Ra = 0.160 < math > μm < math > 的一塊粗糙度樣塊進(jìn)行檢定, 順次測(cè)得以下15個(gè)數(shù)據(jù):1.45,1.65,1.60,1.67,1.52,1.46,1.72,1.69,1.77,1.64,4.56,1.50,1.64,1.74和1.63μm, 試求該樣塊Rn的平均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差并判斷其合格否。 　　解：1)先求平均值 　　 　　 　　2)再求標(biāo)準(zhǔn)偏差S 　　若用無(wú)偏極差估計(jì)公式式(5)計(jì)算, 首先將測(cè)得的, 15個(gè)數(shù)據(jù)按原順序分為三組, 每組五個(gè), 見(jiàn)表3。

10、 　　表3 組號(hào) l_1 l_5 R 1 1.48 1.65 1.60 1.67 1.52 0.19 2 1.46 1.72 1.69 1.77 1.64 0.31 3 1.56 1.50 1.64 1.74 1.63 0.24 　　因每組為5個(gè)數(shù)據(jù), 按n=5由表2查得 　　故 　　 　　若按常用估計(jì)即貝塞爾公式式(2) , 則 　　 　　若按無(wú)偏估計(jì)公式即式(3)計(jì)算, 因n=15，由表1查得Kδ = 1.018, 則 　　 　　若按最大似然估計(jì)公式即式(4)計(jì)算, 則 　　 　　

11、 　　 = 0.09296( < math > μm < math > ) 　　若按平均誤差估計(jì)公式即式(6), 則 　　 　　 　　現(xiàn)在用式(5)對(duì)以上計(jì)算進(jìn)行校核 　　 　　可見(jiàn)以上算得的S、S1、S2、S3和S4沒(méi)有粗大誤差。 　　由以上計(jì)算結(jié)果可知0.09296<0.0962<0.0979<0.1017<0.1062 　　即　S2 < S < S1 < S4 < S3 　　可見(jiàn), 最大似然估計(jì)值最小, 常用估計(jì)值S稍大, 無(wú)偏估計(jì)值S1又大, 平均誤差估計(jì)值S4再大, 極差估計(jì)值S3最大?？v觀(guān)這幾個(gè)值, 它們相當(dāng)接近, 最大差值僅為0.01324μm

12、。從理論上講, 用無(wú)偏估計(jì)值和常用估計(jì)比較合適, 在本例中, 它們僅相差0.0017μm?？梢韵嘈? 隨著的增大, S、S1、S2、S3和S4之間的差別會(huì)越來(lái)越小。 　　就本例而言, 無(wú)偏極差估計(jì)值S3和無(wú)偏估計(jì)值S1僅相差0.0083μm, 這說(shuō)明無(wú)偏極差估計(jì)是既可以保證一定準(zhǔn)確度計(jì)算又簡(jiǎn)便的一種好方法。 　　JJG102-89《表面粗糙度比較樣塊》規(guī)定Ra的平均值對(duì)其標(biāo)稱(chēng)值的偏離不應(yīng)超過(guò)+12%～17%, 標(biāo)準(zhǔn)偏差應(yīng)在標(biāo)稱(chēng)值的4%～12%之間。已得本樣塊二產(chǎn),產(chǎn)均在規(guī)定范圍之內(nèi), 故該樣塊合格。 標(biāo)準(zhǔn)偏差與標(biāo)準(zhǔn)差的區(qū)別 　　標(biāo)準(zhǔn)差(Standard Deviation)各數(shù)據(jù)

13、偏離平均數(shù)的距離（離均差）的平均數(shù)，它是離差平方和平均后的方根。用σ表示。因此，標(biāo)準(zhǔn)差也是一種平均數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根?！　?biāo)準(zhǔn)差能反映一個(gè)數(shù)據(jù)集的離散程度。平均數(shù)相同的，標(biāo)準(zhǔn)差未必相同。 　　例如，A、B兩組各有6位學(xué)生參加同一次語(yǔ)文測(cè)驗(yàn)，A組的分?jǐn)?shù)為95、85、75、65、55、45，B組的分?jǐn)?shù)為73、72、71、69、68、67。這兩組的平均數(shù)都是70，但A組的標(biāo)準(zhǔn)差為17.08分，B組的標(biāo)準(zhǔn)差為2.16分，說(shuō)明A組學(xué)生之間的差距要比B組學(xué)生之間的差距大得多。 　　標(biāo)準(zhǔn)偏差(Std Dev,Standard Deviation) - 統(tǒng)計(jì)學(xué)名詞。一種量度數(shù)據(jù)分布的分散程度

14、之標(biāo)準(zhǔn)，用以衡量數(shù)據(jù)值偏離算術(shù)平均值的程度。標(biāo)準(zhǔn)偏差越小，這些值偏離平均值就越少，反之亦然。標(biāo)準(zhǔn)偏差的大小可通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)偏差與平均值的倍率關(guān)系來(lái)衡量。 有人經(jīng)常混用均方根誤差（RMSE）與標(biāo)準(zhǔn)差（Standard Deviation），實(shí)際上二者并不是一回事。 1.均方根誤差 均方根誤差為了說(shuō)明樣本的離散程度。 均方根誤差（root-mean-square error ）亦稱(chēng)標(biāo)準(zhǔn)誤差，其定義為 ，i＝1，2，3，…n。在有限測(cè)量次數(shù)中，均方根誤差常用下式表示：，式中，n為測(cè)量次數(shù)；di為一組測(cè)量值與平均值的偏差。如果誤差統(tǒng)計(jì)分布是正態(tài)分布，那么隨機(jī)誤差落在土σ以?xún)?nèi)的概率為68％?！?

15、 2.標(biāo)準(zhǔn)差 標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根。 標(biāo)準(zhǔn)差能反映一個(gè)數(shù)據(jù)集的離散程度。平均數(shù)相同的，標(biāo)準(zhǔn)差未必相同。 標(biāo)準(zhǔn)差也被稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)偏差，或者實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差。 均方根值也稱(chēng)作為效值，它的計(jì)算方法是先平方、再平均、然后開(kāi)方。比如幅度為100V而占空比為0.5的方波信號(hào)，如果按平均值計(jì)算，它的電壓只有50V，而按均方根值計(jì)算則有70.71V。這是為什么呢？舉一個(gè)例子，有一組100伏的電池組，每次供電10分鐘之后停10分鐘，也就是說(shuō)占空比為一半。如果這組電池帶動(dòng)的是10Ω電阻，供電的10分鐘產(chǎn)生10A的電流和1000W的功率，停電時(shí)電流和功率為零。 那么在20分鐘的一個(gè)周期內(nèi)其平均功率為500W，這

16、相當(dāng)于70.71V的直流電向10Ω電阻供電所產(chǎn)生的功率。而50V直流電壓向10Ω電阻供電只能產(chǎn)生的250W的功率。對(duì)于電機(jī)與變壓器而言，只要均方根電流不超過(guò)額定電流，即使在一定時(shí)間內(nèi)過(guò)載，也不會(huì)燒壞。 PMTS1.0抽油機(jī)電能圖測(cè)試儀對(duì)電流、電壓與功率的測(cè)試計(jì)算都是按有效值進(jìn)行的，不會(huì)因?yàn)殡娏麟妷翰ㄐ位兌鴾y(cè)不準(zhǔn)。這一點(diǎn)對(duì)于測(cè)試變頻器拖動(dòng)的電機(jī)特別有用。 均方根誤差為了說(shuō)明樣本的離散程度。 對(duì)于N1,....Nm,設(shè)N=(N1+...+Nm)/m;則均方根誤差記作： .F6F!M n+t8Q5i.Y-m t=sqrt(((N^2-N1^2)+...+(N^2-Nm^2))/(m(m-1)

17、))； 比如兩組樣本： 第一組有以下三個(gè)樣本：3，4，5 第二組有一下三個(gè)樣本：2，4，6 這兩組的平均值都是4，但是第一組的三個(gè)數(shù)值相對(duì)更靠近平均值，也就是離散程度小，均方差就是表示這個(gè)的。 同樣，方差、標(biāo)準(zhǔn)差(方差開(kāi)根,因?yàn)閱挝徊唤y(tǒng)一)都是表示數(shù)據(jù)的離散程度的。 幾種典型平均值的求法 （1）算術(shù)平均值這種平均值最常用。設(shè)x1、x2、… 、x n為各次的測(cè)量值，n代表測(cè)量次數(shù)，則算術(shù)平均值為 　　　　　　　　　　 （2）均方根平均值 　　　　　　　　　 （3）幾何平均值 　　　　　　　　 （4）對(duì)數(shù)平均值 　　　　　　　　 （5）加權(quán)平均值 　　　　

18、　　　　 相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)方差的計(jì)算公式 　 準(zhǔn)確度：測(cè)定值與真實(shí)值符合的程度 絕對(duì)誤差：測(cè)量值（或多次測(cè)定的平均值）與真（實(shí)）值之差稱(chēng)為絕對(duì)誤差，用δ表示。 相對(duì)誤差：絕對(duì)誤差與真值的比值稱(chēng)為相對(duì)誤差。常用百分?jǐn)?shù)表示。 　　絕對(duì)誤差可正可負(fù)，可以表明測(cè)量?jī)x器的準(zhǔn)確度，但不能反映誤差在測(cè)量值中所占比例，相對(duì)誤差反映測(cè)量誤差在測(cè)量結(jié)果中所占的比例，衡量相對(duì)誤差更有意義。 　　例：用刻度0.5cm的尺測(cè)量長(zhǎng)度，可以讀準(zhǔn)到0.1cm，該尺測(cè)量的絕對(duì)誤差

19、為0.1cm；用刻度1mm的尺測(cè)量長(zhǎng)度，可以讀準(zhǔn)到0.1mm，該尺測(cè)量的絕對(duì)誤差為0.1mm。 　　例：分析天平稱(chēng)量誤差為0.1mg, 減重法需稱(chēng)2次，可能的最大誤差為0.2mg, 為使稱(chēng)量相對(duì)誤差小于0.1%，至少應(yīng)稱(chēng)量多少樣品？ 　 　　答：稱(chēng)量樣品量應(yīng)不小于0.2g。 真值（μ）：真值是客觀(guān)存在的，但任何測(cè)量都存在誤差，故真值只能逼近而不可測(cè)知，實(shí)際工作中，往往用“標(biāo)準(zhǔn)值”代替“真值”。標(biāo)準(zhǔn)值：采用多種可靠的分析方法、由具有豐富經(jīng)驗(yàn)的分析人員經(jīng)過(guò)反復(fù)多次測(cè)定得出的結(jié)果平均值。 精密度：幾次平行測(cè)定結(jié)果相互接近的程度。 　　各次測(cè)定結(jié)果越接近，精密度越高，用偏差衡量精密度。

20、 偏差：?jiǎn)未螠y(cè)量值與樣本平均值之差： 平均偏差：各次測(cè)量偏差絕對(duì)值的平均值。 相對(duì)平均偏差：平均偏差與平均值的比值。 標(biāo)準(zhǔn)偏差：各次測(cè)量偏差的平方和平均值再開(kāi)方，比平均偏差更靈敏的反映較大偏差的存在，在統(tǒng)計(jì)學(xué)上更有意義。 相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)偏差（變異系數(shù)） 　　例：分析鐵礦石中鐵的質(zhì)量分?jǐn)?shù)，得到如下數(shù)據(jù)：37.45，37.20，37.50，37.30，37.25（%），計(jì)算測(cè)結(jié)果的平均值、平均偏差、相對(duì)平均偏差、標(biāo)準(zhǔn)偏差、變異系數(shù)。 準(zhǔn)確度與精密度的關(guān)系： 　　1）精密度是保證準(zhǔn)確度的先決條件：精密度不符合要求，表示所測(cè)結(jié)果不可靠，失去衡量準(zhǔn)確度的前提。 　　2）精密度高不能保證準(zhǔn)確度高。 　　換言之，準(zhǔn)確的實(shí)驗(yàn)一定是精密的，精密的實(shí)驗(yàn)不一定是準(zhǔn)確的。 重復(fù)性試驗(yàn) 按擬定的含量測(cè)定方法，對(duì)同一批樣品進(jìn)行多次測(cè)定(平行試驗(yàn)至少5次以上，即n>5)，計(jì)算相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)偏差(RSD)，一般要求低于5% 15