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第八章矩陣的特征值與特征向量的數(shù)值解法,8.1乘冪法8.2反冪法,※某些工程計(jì)算涉及到矩陣的特征值與特征向量的求解。如果從原始矩陣出發(fā)，先求出特征多項(xiàng)式，再求特征多項(xiàng)式的根，在理論上是無可非議的。但一般不用這種方法，因?yàn)榱诉@種算法往往不穩(wěn)定.常用的方法是迭代法或變換法。本章介紹求解特征值與特征向量的一些方法。,引言,8.1乘冪法,乘冪法是通過求矩陣的特征向量來求特征值的一種迭代法，它適用于求矩陣的按模最大的特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量。定理81設(shè)矩陣有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量Xi（i=1,2,…,n），其對(duì)應(yīng)的特征值λi(i=1,2,…,n)滿足|λ1|>|λ2|≧…≧|λn|則對(duì)任何n維非零初始向量Z0,構(gòu)造Zk=AZk-1(k=1,2,…)有（81）其中(Zk)j表示向量Zk的第j個(gè)分量。,證明：只就λi是實(shí)數(shù)的情況證明如下。因?yàn)锳有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量所以任何非零向量都可用線性表示,即用A構(gòu)造向量序列{}其中(8.2),將（8.3）與（8.4）所得Zk及Zk-1的第j個(gè)分量相除，設(shè)α1≠0，并且注意到|λi|1或||0,對(duì)應(yīng)的特征向量為X1,X2,…,Xn。因?yàn)锳Xi=λiXi，所以A-1Xi=(1/λi)Xi，即(1/λi)（i=1,2,…,n）是A-1的特征值，它滿足,對(duì)應(yīng)的特征向量仍是Xi（i=1,2,…,n）。,這就是說,計(jì)算A的按模最小的特征值只要計(jì)算A-1按模最大的特征值,從而，而求A-1的按模最大的特征值只須應(yīng)用前述的乘冪法即可。,所以反冪法的選代向量是：設(shè)初始向量,于是,