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計(jì)算方法課件：,由何滿喜、尚緒鳳制作,計(jì)算方法,中國(guó)計(jì)量學(xué)院理學(xué)院數(shù)學(xué)系,第八章,矩陣特征值特征向量的計(jì)算,8.1引言,8.4反冪法,8.3冪法的加速與降價(jià),8.2冪法,在本章，你將學(xué)到,8.1引言,8.2冪法,8.3冪法的加速與降價(jià),8.4反冪法,8.5計(jì)算對(duì)稱矩陣特征值和特征向量的對(duì)分法,8.6雅可比方法,8.5計(jì)算對(duì)稱矩陣特征值和特征向量的對(duì)分法,8.6雅可比方法,第八章,,矩陣特征值與特征向量的計(jì)算,8.1引言,,定義1設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱矩陣，,對(duì)于任一非零向量,，數(shù),稱為向量x的瑞利商，其中,是向量x的內(nèi)積。,(8.1),(8.2),定理1設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱矩陣，其特征值為,是對(duì)應(yīng)的正交特征向量,即,第八章,,矩陣特征值與特征向量的計(jì)算,,則⑴,⑵,⑶,其中,是向量x的瑞利商.,證設(shè),是對(duì)應(yīng)于特征值,的正交特征向量，,是任一向量,則,即,第八章,,矩陣特征值與特征向量的計(jì)算,,,和,所以由,可得,和,由此可得,由于當(dāng)向量x分別取,和,時(shí),就有,于是有,第八章,,定理3稱為蓋爾圓盤(pán)定理,(8.3)稱為蓋爾圓盤(pán).,矩陣特征值與特征向量的計(jì)算,定理3設(shè),則A的每一個(gè)特征值必屬于下面某個(gè)圓盤(pán)之中：,,(8.3),定理2設(shè),是矩陣,的特征值，則有,⑵,⑴,第八章,,矩陣特征值與特征向量的計(jì)算,解先計(jì)算蓋爾圓盤(pán):,即矩陣A的特征值,都滿足,。,例1設(shè)有矩陣,試估計(jì)矩陣A的特征值,的特征值的范圍.,第八章,矩陣特征值與特征向量的計(jì)算,,1冪法,,8.2冪法,冪法的基本思想是：,若要求某個(gè)n階矩陣A的特征值和特征向量，,先任取一個(gè)初始向量,，構(gòu)造如下向量序列：,式(8.5)就稱為冪法的迭代公式，向量序列,稱為冪法的迭代向量或迭代序列。,當(dāng)k增大時(shí)，分析這一序列的極限，即可求出按模最大的特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量。,第八章,,矩陣特征值與特征向量的計(jì)算,例2設(shè)有矩陣,試用冪法來(lái)計(jì)算按模最大的特征值。,解矩陣A的兩個(gè)特征值為,,用公式(8.5)產(chǎn)生向量,,計(jì)算結(jié)果列于表8.1.計(jì)算出向量序列,的同時(shí)還計(jì)算相鄰兩個(gè)向量相應(yīng)分量之比,和,(見(jiàn)書(shū)表8.1)，由表8.1得：,用冪法,取初始向量,序列,第八章,,,,矩陣特征值與特征向量的計(jì)算,從上面計(jì)算出的相應(yīng)分量之比看出，兩個(gè)相鄰向量,1.179339,并且這個(gè)值恰好就是矩陣A的按模最大,的特征值。,相應(yīng)分量之比值，隨k的增大而趨向于一個(gè)固定值,問(wèn)題：為什么這個(gè)比例值就是矩陣按模最大的特征值？,第八章,,矩陣特征值與特征向量的計(jì)算,(8.9),(8.10),設(shè)矩陣A的n個(gè)特征值按模的大小排列如下,其對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量組設(shè)為,假定這些向量已按其長(zhǎng)度為1或其最大模元素為1進(jìn)行了歸一化。,(8.6),取,利用迭代公式(8.5)來(lái)構(gòu)造迭代序列，則有,第八章,,,矩陣特征值與特征向量的計(jì)算,其中,若,由于,,故k充分大時(shí),是可以忽略的無(wú)窮小量，即當(dāng),,(8.12),(1)如果矩陣A的按模最大的特征值滿足,即按模最大的特征值,是單實(shí)根,則(8.10)式可寫(xiě)成,(8.11),時(shí)有,第八章,,矩陣特征值與特征向量的計(jì)算,(8.13),這說(shuō)明,與特征向量,相差一個(gè)常數(shù)因子。,即使,,由于計(jì)算過(guò)程的舍入誤差,必將引入在,方向上的微小分量，這一分量隨著迭代過(guò)程,相同。,的進(jìn)展而逐漸成為主導(dǎo),其收斂情況最終也將與,因此當(dāng),時(shí)由(8.13)得,(8.14),這說(shuō)明當(dāng)矩陣A的n個(gè)特征值滿足(8.11)時(shí)，,第八章,,矩陣特征值與特征向量的計(jì)算,矩陣A的按模最大的特征值,是向量,與,的比例，即有,(8.15),從以上分析看出,冪法的收斂速率雖然與初始向量,的選擇有關(guān),但主要還是依賴于比值,比值愈,收斂愈快,當(dāng)比值接近于1時(shí),收斂比較慢.,的大小.,（2）如果矩陣A的按模最大的特征值滿足,(8.16),第八章,,矩陣特征值與特征向量的計(jì)算,即按模最大的特征值,是2重實(shí)根或共軛復(fù)數(shù)根,,此時(shí)（8.10）式可寫(xiě)成,,(8.17),其中,由于,，故k充分大時(shí),無(wú)窮小量，即當(dāng),時(shí)有,是可以忽略的,第八章,,,(8.18),(8.19),(8.20),矩陣特征值與特征向量的計(jì)算,于是可得,(8.21),記,(8.22),則(8.21)可寫(xiě)成,,(8.23),所以A的特征值滿足(8.16)時(shí)，用公式(8.5)來(lái)構(gòu)造,第八章,,矩陣特征值與特征向量的計(jì)算,若(8.23)式成立,則此時(shí)矩陣A的按模最大的特征值,由公式,(8.24),得到。,又利用(8.18)～(8.20)可得,第八章,,矩陣特征值與特征向量的計(jì)算,,(8.25),因此,所以A的特征值,對(duì)應(yīng)的特征,若,則,對(duì)應(yīng)的特征向量是,時(shí)矩陣A的特征值,向量是,同理可得,,時(shí)A的特征值,對(duì)應(yīng)的特征向,,若,,則,所以A的特征值,對(duì)應(yīng)的特征向量是,,(8.26),因此,量是,第八章,,矩陣特征值與特征向量的計(jì)算,例3用冪法求矩陣,按模最大的特征值與對(duì)應(yīng)的特征向量。,解：用公式(8.5)可寫(xiě)出迭代公式,取初始向量,得到表8.2的結(jié)果。,，用以上迭代公式計(jì)算,第八章,,矩陣特征值與特征向量的計(jì)算,第八章,,矩陣特征值與特征向量的計(jì)算,表中,,，即相鄰兩個(gè)向量,分量的比例，從表中計(jì)算結(jié)果可看出,，所以有,對(duì)應(yīng)的特征向量可取為,第八章,,2改進(jìn)的冪法,矩陣特征值與特征向量的計(jì)算,在實(shí)際計(jì)算時(shí)為了避免計(jì)算過(guò)程中出現(xiàn)絕對(duì)值過(guò)大或過(guò)小的數(shù)參加運(yùn)算，通常在每步迭代時(shí)，,“歸一化”，即用,的分量,來(lái)除,歸一化的向量,，即實(shí)際計(jì)算時(shí)所用公式為,,對(duì)冪法做這樣的“歸一化”處理,就稱為改進(jìn)的冪法.,（8.27）,將向量序列,的絕對(duì)值最大,的各個(gè)分量，從而得出,第八章,,矩陣特征值與特征向量的計(jì)算,如果按模最大的特征值,滿足(8.11),那么當(dāng)k,充分大時(shí)有,（8.28）,即向量序列,的按模最大的分量將收斂于按模,的符號(hào)可根據(jù)向量序列,的前后兩個(gè)向量的分量符號(hào)來(lái)確定，當(dāng)前后兩個(gè),此時(shí)歸一化后的向量,就是,對(duì)應(yīng)的特征向量.,最大的特征值,向量的分量符號(hào)相同時(shí),的符號(hào)取正,否則取負(fù).,第八章,,矩陣特征值與特征向量的計(jì)算,例4用歸一化的冪法求矩陣,按模最大的特征值與對(duì)應(yīng)的特征向量。,解取初始向量,計(jì)算得到表8.3的結(jié)果.從表中計(jì)算結(jié)果可看出,且向量序列前后兩個(gè)向量的符號(hào)相同,所以有,對(duì)應(yīng)的特征向量取為,,,用以上迭代公式(8.27),第八章,,矩陣特征值與特征向量的計(jì)算,第八章,,1冪法的加速,冪法的收斂速度依賴于按模最大特征值和按模次大特征值之比,當(dāng)這個(gè)比值很小時(shí)則只需迭代較少的幾次就可求出按模最大特征值的一個(gè)很好的近似值.,矩陣特征值與特征向量的計(jì)算,8.3冪法的加速與降價(jià),應(yīng)該考慮對(duì)矩陣進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q,使得變換后的這個(gè)矩陣有一個(gè)按模較大的特征值,并且變換后的新矩陣的按模最大特征值和按模次大特征值之比要比,原矩陣的按模最大特征值和按模次大特征值之比更大.這樣對(duì)變換后的新矩陣?yán)靡陨戏椒ㄇ笃?第八章,,矩陣特征值與特征向量的計(jì)算,,,(8.29),先取一個(gè)常數(shù),對(duì)A做平移變換：,,即用,來(lái)代替A進(jìn)行迭代,因?yàn)锳與,之間除了,與,有關(guān)系,且相應(yīng)的特征向量,不改變,因此有,按模最大的特征值,則其收斂速度將得到加快.,對(duì)角元素以外,其他元素都相同,它們之間的特征值,為了加速迭代過(guò)程的收斂速度,適當(dāng)選取,第八章,,矩陣特征值與特征向量的計(jì)算,所以用此方法選取,有一定的困難.,,再在計(jì)算機(jī)上作些模擬計(jì)算,考察使所取,對(duì)迭代過(guò)程是否有明顯加速,然后再進(jìn)行計(jì)算.,比,更小，如對(duì)于對(duì)稱正定矩陣可以,這時(shí)就有,這就是冪法加速的原點(diǎn)平移法.,因特征值的分布情況預(yù)先不知道,,對(duì)矩陣的特征值分布大致有個(gè)了解后,粗略估計(jì)一個(gè),常用方法是可以用蓋爾圓盤(pán)定理,使,選取,第八章,,2冪法的降階,矩陣特征值與特征向量的計(jì)算,基本思想：,對(duì)原矩陣A進(jìn)行變換，使變換后得到的矩陣,其按模最大的特征值是原矩陣A的按模次大的,特征值，這時(shí)對(duì),又可以用冪法進(jìn)行計(jì)算，,大的特征值,求得其按模最大的特征值，從而求得A的按模次,如果矩陣A的特征值滿足,(8.30),那么在已經(jīng)求出,和,以后，如何進(jìn)一步計(jì)算,第八章,,矩陣特征值與特征向量的計(jì)算,根據(jù)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)有,,所以,以,代替,進(jìn)行迭代即可求得,和,這就是冪法的降階法。,(8.32),假定已求得矩陣A的按模最大特征值,和相應(yīng)的,,現(xiàn)構(gòu)造,（8.31）,特征向量，并令,及,呢？,第八章,,矩陣特征值與特征向量的計(jì)算,注意：用這種方法求出的,和,，精度已較,和,差，若在繼續(xù)使用此方法，后面求得的,和,精度將更差。,因此，實(shí)際上只能用少數(shù)幾次，用來(lái)求矩陣前幾個(gè)特征值和特征向量。,,,,