《高中數(shù)學（北師大版）選修2-2教案：第2章 拓展資料：導數(shù)的創(chuàng)新應用》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高中數(shù)學（北師大版）選修2-2教案：第2章 拓展資料：導數(shù)的創(chuàng)新應用（3頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 導數(shù)的創(chuàng)新應用 有好多數(shù)學問題，利用函數(shù)導數(shù)求解，可以使得有些數(shù)學問題得到簡化．下面選解幾例． 一、求數(shù)列的n項和 例1 已知x≠0，x≠－1，求數(shù)列1，2x，3x，…，nx，…的前n項和． 分析：根據(jù)題特點，可構(gòu)造等式1 + x + x+ x+ … + x=，求導即可． 解：當x≠0，x≠－1時，1 + x + x+ x+ … + x=，兩邊都是關于x的函數(shù)，求導得： 1+ 2x + 3x+ …+ nx==． 評注：這樣的問題可以通過錯位相加(減)求和，但運用導數(shù)運算更加簡明． 二、求組合數(shù)的和 例2 求和：C+ 2C+ 3C+ … + nC． 分

2、析：根據(jù)題特點，可構(gòu)造等式(1 + x)= 1 + Cx + Cx+ Cx+ … + Cx，求導即可． 解：由二項展開式，得：兩邊求導，得： n(1 + x)= C+ 2Cx + 3Cx+ … + nCx ． 令上式x = 1，得：C+ 2C+ 3C+ … + nC= n2． 評注：：利用組合數(shù)的性質(zhì)或構(gòu)造概率模型都可以求解，但運算量都比求導麻煩． 三、證明不等式 例3 證明：． 分析：構(gòu)造函數(shù)，求導，再用單調(diào)性即可解決． 證明：構(gòu)造，則． - 2 - / 3 該二次式的判別式， ， 是上的增函數(shù)． ，，而， ． 評注：本題并沒有千篇一律的將不等式右邊也納

3、入到所構(gòu)造函數(shù)中，而是具體問題具體分析，考慮三角函數(shù)的有界性，用架橋鋪路，使問題得解. 四、方程根的問題 例4求證方程xlgx＝1在區(qū)間（2，3）有且僅有一個實根. 分析：可構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)法解決． 解：設y＝f(x)＝xlgx－1，∴y′＝lgx＋lge＝lgex ， 當x∈（2，3）時，y′＞0，∴f(x)在（2，3）上為增函數(shù)， 又f(2)＝2lg2－1＝lg0.4＜0，f(3)＝3lg3－1＝lg2.7＞0， ∴在（2，3）內(nèi)xlgx－1＝0有且僅有一個實根. 評注：本題是通過構(gòu)造函數(shù)f(x)＝xlgx－1，利用導數(shù)判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間(2，3)上的單調(diào)性及函數(shù)f(x)在兩個端點的值的符號進行求解的.一般地，如果函數(shù)在區(qū)間(a，b)上具有單調(diào)性，那么，當f(a)f(b)＜0時，方程f(x)＝0在區(qū)間(a，b)有唯一解；當f(a)f(b)＞0時，方程f(x)＝0在區(qū)間(a，b)無實數(shù)解． 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！