平面圖形的面積 一、教學(xué)目標(biāo)： 1、進(jìn)一步讓學(xué)生深刻體會(huì)“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲邊梯形的思想方法； 2、讓學(xué)生深刻理解定積分的幾何意義以及微積分的基本定理； 3、初步掌握利用定積分求曲邊梯形面積的幾種常見(jiàn)題型及方法。 二、教學(xué)重難點(diǎn)：曲邊梯形面積的求法及應(yīng)用 三、教學(xué)方法：探析歸納，講練結(jié)合 四、教學(xué)過(guò)程 1、復(fù)習(xí)：（1）、求曲邊梯形的思想方法是什么？(2)、定積分的幾何意義是什么？（3）、微積分基本定理是什么？ 2、定積分的應(yīng)用 （一）利用定積分求平面圖形的面積 例1．計(jì)算由兩條拋物線和所圍成的圖形的面積. 【分析】?jī)蓷l拋物線所圍成的圖形的面積，可以由以?xún)蓷l曲線所對(duì)應(yīng)的曲邊梯形的面積的差得到。 A B C D O 解：，所以?xún)汕€的交點(diǎn)為（0，0）、（1，1），面積S=，所以= 【點(diǎn)評(píng)】在直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積的四個(gè)步驟： 1.作圖象；2.求交點(diǎn)；3.用定積分表示所求的面積；4.微積分基本定理求定積分。 鞏固練習(xí) 計(jì)算由曲線和所圍成的圖形的面積. 例2．計(jì)算由直線，曲線以及x軸所圍圖形的面積S. 分析：首先畫(huà)出草圖（圖1.7 一2 ) ，并設(shè)法把所求圖形的面積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求曲邊梯形的面積問(wèn)題．與例 1 不同的是，還需把所求圖形的面積分成兩部 - 2 - / 6 分S1和S2．為了確定出被積函數(shù)和積分的上、下限，需要求出直線與曲線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，直線與 x 軸的交點(diǎn)． 解：作出直線，曲線的草圖，所求面積為圖1. 7一2 陰影部分的面積． 解方程組得直線與曲線的交點(diǎn)的坐標(biāo)為（8,4) . 直線與x軸的交點(diǎn)為（4,0). 因此，所求圖形的面積為S=S1+S2 . 由上面的例題可以發(fā)現(xiàn)，在利用定積分求平面圖形的面積時(shí)，一般要先畫(huà)出它的草圖，再借助圖形直觀確定出被積函數(shù)以及積分的上、下限． 例3.求曲線與直線軸所圍成的圖形面積。 答案： 練習(xí) 1、求直線與拋物線所圍成的圖形面積。 答案： x y o y=－x2+4x-3 2、求由拋物線及其在點(diǎn)M（0，－3） 和N（3，0）處的兩條切線所圍成的圖形的面積。 略解：，切線方程分別為、 ，則所求圖形的面積為 3、求曲線與曲線以及軸所圍成的圖形面積。 略解：所求圖形的面積為 x x O y=x2 A B C 4、在曲線上的某點(diǎn)A處作一切線使之與曲線以及軸所圍成的面積為.試求：切點(diǎn)A的坐標(biāo)以及切線方程. 略解：如圖由題可設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線方程 為，切線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為 ，則由題可知有 ，所以切點(diǎn)坐標(biāo)與切線方程分別為 （二）、歸納總結(jié)：1、定積分的幾何意義是：、軸所圍成的圖形的面積的代數(shù)和，即. 因此求一些曲邊圖形的面積要可以利用定積分的幾何意義以及微積分基本定理，但要特別注意圖形面積與定積分不一定相等，如函數(shù)的圖像與軸圍成的圖形的面積為4,而其定積分為0. 2、求曲邊梯形面積的方法：⑴畫(huà)圖，并將圖形分割為若干個(gè)曲邊梯形；⑵對(duì)每個(gè)曲邊梯形確定其存在的范圍，從而確定積分的上、下限；⑶確定被積函數(shù)；⑷求出各曲邊梯形的面積和，即各積分的絕對(duì)值的和。 （三）、作業(yè)布置： 五、教學(xué)反思： 希望對(duì)大家有所幫助，多謝您的瀏覽！