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1、
第八章 第四節(jié) 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系
一、選擇題
1.直線x+y=1與圓x2+y2-2ay=0(a>0)沒有公共點,則a的取值范圍是 ( )
A.(0,-1) B.(-1,+1)
C.(--1,+1) D.(0,+1)
解析:由圓x2+y2-2ay=0(a>0)的圓心(0,a)到直線x+y=1的距離大于a,且a>0可得a的取值范圍.
答案:A
2.(2011大綱全國卷)設(shè)兩圓C1、C2都和兩坐標(biāo)軸相切,且都過點(4,1),則兩圓心的距離|C1C2|=
2、 ( )
A.4 B.4
C.8 D.8
解析:依題意,可設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,a)、半徑為r,其中r=a>0,因此圓方程是(x-a)2+(y-a)2=a2,由圓過點(4,1)得(4-a)2+(1-a)2=a2,即a2-10a+17=0,則該方程的兩根分別是圓心C1,C2的橫坐標(biāo),|C1C2|==8.
答案:C
3.設(shè)直線x+ky-1=0被圓O:x2+y2=2所截弦的中點的軌跡為M,則曲線M與直線x-y-1=0的位置關(guān)系是 ( )
A.相離
3、 B.相切
C.相交 D.不確定
解析:∵直線x+ky-1=0過定點N(1,0),且點N(1,0)在圓x2+y2=2的內(nèi)部,∴直線被圓所截弦的中點的軌跡M是以O(shè)N為直徑的圓,圓心為P(,0),半徑為,
∵點P(,0)到直線x-y-1=0的距離為<,
∴曲線M與直線x-y-1=0相交.
答案:C
4.(2011重慶高考)在圓x2+y2-2x-6y=0內(nèi),過點E(0,1)的最長弦和最短弦分別為AC和BD,則四邊形ABCD的面積為 ( )
A.5 B.10
C.15
4、D.20
解析:由題意可知,圓的圓心坐標(biāo)是(1,3),半徑是,且點E(0,1)位于該圓內(nèi),故過點E(0,1)的最短弦長|BD|=2=2(注:過圓內(nèi)一定點的最短弦是以該點為中點的弦),過點E(0,1)的最長弦長等于該圓的直徑,即|AC|=2,且AC⊥BD,因此四邊形ABCD的面積等于|AC||BD|=22=10.
答案:B
5.(2012紹興模擬)直線x+7y-5=0截圓x2+y2=1所得的兩段弧長之差的絕對值是( )
A. B.
C.π D.
解析:圓心到直線的距離d==.
又∵圓的半徑r=1,
∴直線x+7y-5=0截圓x2+y2=1的弦長為.
∴劣弧
5、所對的圓心角為.
∴兩段弧長之差的絕對值為π-=π.
答案:C
6.若直線y=x+b與曲線y=3-有公共點,則b的取值范圍是 ( )
A.[1-2,1+2] B.[1-,3]
C.[-1,1+2] D.[1-2,3]
解析:在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出曲線y=3-與直線y=x,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)平移該直線,結(jié)合圖形分析可知,當(dāng)直線沿左上方平移到過點(0,3)的過程中的任何位置相應(yīng)的直線與曲線y=3-都有公共點;當(dāng)直線沿右下方平移到與以點C(2,3)為圓心、2為半徑的圓相切的過程中的任何位置相應(yīng)的直線與曲線y=3-都有公共點.注意與y=x平行且過點(0,3)的
6、直線方程是y=x+3;當(dāng)直線y=x+b與以點C(2,3)為圓心、2為半徑的圓相切時,有=2,b=12.結(jié)合圖形可知,滿足題意的b的取值范圍是[1-2,3].
答案:D
二、填空題
7. (2012海門模擬)兩圓(x+1)2+(y-1)2=r2和(x-2)2+(y+2)2=R2相交于P,Q兩點,若點P坐標(biāo)為(1,2),則點Q的坐標(biāo)為________.
解析:由兩圓的方程可知它們的圓心坐標(biāo)分別為(-1,1),(2,-2),
則過它們圓心的直線方程為=,
即y=-x,根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知兩圓的交點應(yīng)關(guān)于過它們圓心的直線對稱,故由P(1,2)可得它關(guān)于直線y=-x的對稱點即Q點的坐標(biāo)為(-
7、2,-1).
答案:(-2,-1)
8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓x2+y2=4上有且只有四個點到直線12x-5y+c=0的距離為1,則實數(shù)c的取值范圍是________.
解析:因為圓的半徑為2,且圓上有且僅有四個點到直線12x-5y+c=0的距離為1,即要圓心到直線的距離小于1,即<1,解得-130),則圓心到直線x-y-1=0的距離為.
8、因為圓截直線所得的弦長為2,根據(jù)半弦、半徑、弦心距之間的關(guān)系有()2+2=(a-1)2,即(a-1)2=4,所以a=3或a=-1(舍去),則半徑r=3-1=2,圓心坐標(biāo)為(3,0).所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-3)2+y2=4.
答案:(x-3)2+y2=4
三、解答題
10.已知點A(1,a),圓x2+y2=4.
(1)若過點A的圓的切線只有一條,求a的值及切線方程;
(2)若過點A且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線被圓截得的弦長為2,求a的值.
解:(1)由于過點A的圓的切線只有一條,則點A在圓上,故12+a2=4,∴a=.
當(dāng)a=時,A(1,),切線方程為x+y-4=0;
當(dāng)a=
9、-時,A(1,-),切線方程為x-y-4=0,
∴a=時,切線方程為x+y-4=0,
a=-時,切線方程為x-y-4=0.
(2)設(shè)直線方程為 x+y=b,
由于直線過點A,∴1+a=b,a=b-1.
又圓心到直線的距離d=,
∴()2+()2=4.
∴b=.∴a=-1.
11.已知圓C:x2+y2-2x+4y-4=0,問是否存在斜率為1的直線l,使l被圓C截得的弦為AB,以AB為直徑的圓經(jīng)過原點.若存在,寫出直線l的方程;若不存在,說明理由.
解:依題意,設(shè)l的方程為y=x+b①
x2+y2-2x+4y-4=0②
聯(lián)立①②消去y得:
2x2+2(b+1)x+b2+4b
10、-4=0,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則有
③
∵以AB為直徑的圓過原點,
∴ ⊥ ,即x1 x2+y1y2=0,
而y1y2=(x1+b)(x2+b)=x1x2+b(x1+x2)+b2
∴2x1x2+b(x1+x2)+b2=0,
由③得b2+4b-4-b(b+1)+b2=0,
即b2+3b-4=0,∴b=1或b=-4.
∴滿足條件的直線l存在,其方程為
x-y+1=0或x-y-4=0.
12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓x2+y2-12x+32=0的圓心為Q,過點P(0,2)且斜率為k的直線與圓Q相交于不同的兩點A,B.
(1)求k的取值范圍;
(2
11、)是否存在常數(shù)k,使得向量 + 與 共線?如果存在,求k值;如果不存在,請說明理由.
解:(1)圓的方程可化為(x-6)2+y2=4,其圓心為Q(6,0).過點P(0,2)且斜率為k的直線方程為y=kx+2.代入圓的方程得x2+(kx+2)2-12x+32=0,
整理得(1+k2)x2+4(k-3)x+36=0.①
直線與圓交于兩個不同的點A,B,所以Δ=[4(k-3)]2-436(1+k2)=42(-8k2-6k)>0,
解得-