蘇教版高三數(shù)學復習課件8.4直線與圓的位置關系.ppt
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能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓的位置關系/能根據(jù)給定兩個圓的方程，判斷兩圓的位置關系/利用直線和圓的方程解決一些簡單問題/初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想．【命題預測】這部分知識是歷年高考的一個熱點，主要考查直線與圓、圓與圓的位置關系、軌跡問題及與圓有關的最值問題．,第4課時直線與圓的位置關系、圓與圓的位置關系,【應試對策】1．代數(shù)法和幾何法是判斷直線和圓的位置關系的兩種方法，在使用這兩種方法時要正確進行選擇．如果是直線和圓相切的問題，通?？梢岳脠A心到直線的距離和半徑的關系進行判斷；但是直線和圓相交的問題通常使用代數(shù)法進行解決，在求出弦長之后再結合實際圖形來解決，特別是利用相關的直角三角形可以降低運算量．研究直線與圓的位置關系時，要緊緊抓住圓心到直線的距離與圓半徑的大小關系這一知識點，這個過程充分體現(xiàn)并運用了數(shù)形結合思想、分類討論思想，這是解析幾何中重要的數(shù)學思想方法．運用數(shù)形結合的思想解題時要注意作圖的準確性，分類討論時要做到不重、不漏．在對含有參數(shù)的直線和圓的方程進行判斷時，還可以通過分析直線與圓是否過定點進行判斷，從而達到簡化運算的目的.,2．判定兩圓位置關系的難點在于求圓心距及兩圓半徑，一般把圓的方程化為標準方程，找出兩圓圓心，代入兩點之間的距離公式即可得出圓心距，然后比較與兩圓半徑的和與差的大小即可．有時候也可以根據(jù)兩圓的實際圖形及圓的弦所具有的性質進行判定，但是無論如何最好先把圓的方程化成標準形式，再進行下一步的分析．對于求兩圓的切線問題通常是根據(jù)實際圖形，利用代數(shù)與幾何知識相結合的方法進行求解．判斷兩圓的位置關系時，應先求圓的半徑和圓心坐標，再求兩圓的圓心距，最后比較圓心距和兩圓半徑和、差的絕對值的大小關系．兩圓相交弦所在直線的方程是由兩個圓的方程聯(lián)立組成的方程組確定的，消去二次項后所得的二元一次方程就是兩圓公共弦所在的直線方程．,3．過圓外一點的切線必有兩條，無論用幾何法還是代數(shù)法，當求得的值只有一個時，則另一條的切線斜率一定不存在，可由數(shù)形結合法求出．確定兩圓的公切線的條數(shù)，首先應判斷兩圓的位置關系，從而防止漏解．一般地，當兩圓內切時有一條公切線，外切時有三條公切線，相交時有兩條公切線，外離時有四條公切線，內含時無公切線．切點與圓心的連線與切線垂直這一幾何性質在解題中有著廣泛的運用．掌握圓心距和兩圓半徑的關系以及圓的平面幾何性質對于解決圓的問題起到很重要的作用．涉及與圓的弦有關的問題時，為簡化運算，常利用半弦長、弦心距及半徑構成的直角三角形進行解題．,與圓有關的最值問題解直線與圓的最值問題主要有以下兩種思路：(1)代數(shù)法：利用平面幾何中的有關公式，構造函數(shù)，把問題轉化為函數(shù)的最值，然后根據(jù)函數(shù)最值的求法進行求解．在轉化過程中常用到向量的數(shù)量積、二次方程根與系數(shù)的關系、換元等知識和方法．(2)幾何法：找到所求式的幾何意義，在坐標系中與圓建立聯(lián)系，分析其與圓的位置變化情況，找到最大、最小取值點．,【知識拓展】,例如：已知實數(shù)x、y滿足方程x2＋y2＝2，求的最大值．此題條件方程“x2＋y2＝2”的幾何意義是點P(x，y)為圓x2＋y2＝2上的點，則就表示過點P(x，y)和點M(－2，－2)的直線的斜率．顯然當直線MP與圓x2＋y2＝2相切時，kMP取最值．如果要求x＋y的最值，令x＋y＝b，則y＝－x＋b，那么b表示斜率為－1的直線與圓x2＋y2＝2相交或相切時直線的縱截距，只要作出圖象即可求出最值．,1．直線與圓的位置關系,0,2,,,2.圓與圓的位置關系,1．(2010栟茶高級中學學情分析)不論k為何實數(shù)，直線y＝kx＋1與曲線x2＋y2－2ax＋a2－2a－4＝0恒有公共點，則實數(shù)a的取值范圍是________．答案：－1≤a≤3,2．若直線5x＋12y＋c＝0與圓(x－1)2＋(y－1)2＝9相切，則c的值為________．解析：由題意可得＝3，∴c＝22或c＝－56.答案：22或－56,3．經(jīng)過兩圓x2＋y2－2x＋2y－7＝0和x2＋y2＋4x－4y－8＝0的兩個交點的直線的方程是________________．解析：兩圓的方程相減得－6x＋6y＋1＝0，即6x－6y－1＝0.此方程表示的曲線過兩個圓的交點．因此，6x－6y－1＝0為所求直線方程．答案：6x－6y－1＝0,4．若兩圓x2＋y2＝4與x2＋y2－2ax＋a2－1＝0相內切，則a＝________.解析：圓x2＋y2－2ax＋a2－1＝0可寫成(x－a)2＋y2＝1.兩圓的半徑分別為2,1，兩圓的圓心距為|a|.∵兩圓內切，∴|a|＝2－1，a＝1.答案：1,5．直線x＋y－2＝0截圓x2＋y2＝4所得劣弧對應的圓心角度數(shù)為________．解析：圓心到直線x＋y－2＝0的距離為|OH|＝，由|OA|＝2，得cos∠AOH＝.∴∠AOH＝30，∴∠AOB＝60.答案：60,直線l：Ax＋By＋C＝0(A、B不同時為零)與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置關系的判斷方法有：(1)幾何方法：圓心(a，b)到直線Ax＋By＋C＝0的距離d＝，dr?直線與圓相離．(2)代數(shù)方法：由消元，得到的一元二次方程的判別式為Δ，則Δ>0?直線與圓相交；Δ＝0?直線與圓相切；Δ0)有公共點，則n－m的值為________．答案：10,1．求圓的切線一般有兩種方法，第一種方法是利用圓心到直線的距離等于半徑來求切線，這種方法較常用，第二種方法是利用判別式法．2．處理圓的弦長的問題常用弦心距、半弦長、半徑之間的關系來求，也可以利用公式：弦長＝|x1－x2|(其中k為弦所在直線的斜率，x1，x2為弦的端點的橫坐標)來求．,【例3】求與圓C：x2＋y2－2x＝0外切，與直線x＋y＝0相切于點(3，－)的圓的方程．思路點撥：采用待定系數(shù)法求圓的標準方程．解：圓C可化為(x－1)2＋y2＝1，設所求圓的圓心為A(a，b)，半徑為r(r＞0)，則點A滿足在過點(3，－)且與x＋y＝0垂直的直線上，即y＋=(x－3)，,化簡①得r＝2|a－3|，當a≥3時，r＝2(a－3)，代入②解得a＝4，則b＝0，r＝2，所求圓的方程為(x－4)2＋y2＝4，當a＜3時，r＝2(3－a)，代入②解得a＝0，則b＝－4，r＝6，所求圓的方程為x2＋(y＋4)2＝36，所以，所求圓的方程為(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36.,變式3：已知兩圓x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10 x－12y＋m＝0.(1)m取何值時兩圓外切？(2)m取何值時兩圓內切？(3)求m＝45時兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長．解：兩圓的標準方程分別為(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，圓心分別為M(1,3)，N(5,6)，半徑分別為和.,(2)當兩圓內切時，因定圓的半徑小于兩圓圓心間距離5，故只有＝5，解得m＝25－10.(3)兩圓的公共弦所在直線方程為(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10 x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0，∴公共弦長為＝2.,1．根據(jù)直線與圓的位置關系求弦長，一般不用判別式，而是用圓心到直線的距離與半徑大小關系求解．2．要注意數(shù)形結合，充分利用圓的性質，如“垂直于弦的直徑必平分弦”“圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑”“兩圓相切時，切點與兩圓圓心三點共線”等等，尋找解題途徑，減少運算量．,【規(guī)律方法總結】,3．圓與直線l相切的情形——圓心到l的距離等于半徑，圓心與切點的連線垂直于l.4．圓與直線l相交的情形——圓心到l的距離小于半徑，過圓心而垂直于l的直線平分l被圓截得的弦；連接圓心與弦的中點的直線垂直于弦；過圓內一點的所有弦中，最短的是垂直于過此點的直徑的那條弦，最長的是過這點的直徑．在解有關圓的解析幾何題時，主動地、充分地利用這些性質可以得到新奇的思路，避免冗長的計算．,【高考真題】【例4】(2009天津卷)若圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的長為2，則a＝________.分析：求出兩圓的公共弦所在的直線方程，根據(jù)直線被圓所截得的弦長公式列方程求解．,規(guī)范解答：兩個圓的方程相減得公共弦所在的直線方程為y＝，則圓心(0,0)到直線的距離d＝，根據(jù)圓的半徑、弦心距、弦長之間的關系，可得22＝，又a>0，解得a＝1.故填1.答案：1,本題給出兩個圓的公共弦長，說明第二個圓也是定圓，通過這樣的設計考查圓與圓的位置關系、直線與圓的位置關系的基本知識，考查考生分析問題、解決問題的能力，是一道知識考查與能力考查并重的試題．這類題目也是對教材題目的適當改造，本題設置了參數(shù)，問題實質沒有變化．解決這類問題的一個基本方法就是求出兩個圓的公共弦所在的直線方程，根據(jù)直線被圓所截得的弦長公式解決．,【課本探源】,【全解密】,兩個圓的位置關系．兩圓的圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，圓心距|O1O2|＝d，則兩圓外離?d>r1＋r2；兩圓外切?d＝r1＋r2；兩圓相交?|r1－r2|
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- 蘇教版高三 數(shù)學 復習 課件 8.4 直線 位置 關系
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