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1、））））））） 自然流暢 水到渠成 ——《幾何概型》課堂觀察與點(diǎn)評(píng) 江蘇省蘇州第十中學(xué) 吳鍔 2011 年 10 月 21 日到 22 日，江蘇省高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課觀摩評(píng)比活動(dòng)在淮安市省清江中學(xué)舉行． 筆者有幸作為參賽選手的指導(dǎo)老師全程參加了本次活動(dòng)，我校青年教師姚圣海所執(zhí)教的《幾何概型》榮獲省 一等獎(jiǎng)，這節(jié)課自然流暢，水到渠成，得到了與會(huì)專家和教師的一致好評(píng)，為廣大數(shù)學(xué)教師提供了一個(gè)原汁原味，富有數(shù)學(xué)意境的成功課例．現(xiàn)對(duì)這節(jié)課的教學(xué)過程簡(jiǎn)錄如下，并根據(jù)本人對(duì)這節(jié)課的現(xiàn)場(chǎng)教學(xué)觀察，做一些分析、點(diǎn)評(píng)，供大家參考． 一、觀察與點(diǎn)評(píng) 1．實(shí)例引入——不可

2、或缺的認(rèn)識(shí)過程 教師：我們上節(jié)課學(xué)習(xí)了古典概型，請(qǐng)同學(xué)們回答問題“若 A {1,2,3, 4,5,6,7,8,9} ,則從 A 中任取 一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)不大于 3 的概率是多少？” 學(xué)生齊答：概率是 1 ． 3 教師追問：題中的基本事件有多少個(gè)？應(yīng)滿足什么條件？ 學(xué)生齊答：基本事件有 9 個(gè)，每個(gè)基本事件的發(fā)生都是等可能的． 教師：很好！請(qǐng)同學(xué)們接著看下面的問題： “若 A (0,9] ，則從 A 中任取一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)不大于 3 的概率是多少？” 學(xué)生 A：我感覺應(yīng)該也是 1 ． 3 教師：能說說你是怎么分析的嗎？ 學(xué)生 A：我把

3、集合 A 在數(shù)軸上表示出來(lái)，再把小于 3 的集合也在數(shù)軸上表示出來(lái)，就把兩個(gè)長(zhǎng)度比一 下得出了這個(gè)結(jié)果． 教師：很好， A 同學(xué)的想法合情合理．同學(xué)們，這個(gè)問題中的基本事件是什么？ 學(xué)生 B：我認(rèn)為是區(qū)間 (0,9] 中的任意點(diǎn)． 教師：請(qǐng)同學(xué)們比較一下上面兩個(gè)問題的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)． 學(xué)生討論并共同認(rèn)為，不同點(diǎn)：?jiǎn)栴} 1 所有的基本事件是有限個(gè)，問題 2 的基本事件是無(wú)限多個(gè)；相 同點(diǎn)：?jiǎn)栴} 1 與問題 2 中，每個(gè)基本事件的發(fā)生都是等可能的． 教師：今天和同學(xué)們共同探究幾何概型問題． 觀察與點(diǎn)評(píng) 教師從學(xué)生已經(jīng)掌握的知識(shí)為切入口，通過背景類似

4、的兩個(gè)問題進(jìn)行對(duì)比，在等可能的 情況下， 讓基本事件從有限向無(wú)限的延伸， 直達(dá)本課主題——幾何概型． 用這種方式點(diǎn)題， 顯得自然合理， 同時(shí)也有助于幫助學(xué)生熟悉幾何概型的特點(diǎn)、直觀感知古典概型與幾何概型的異同，起到了承上啟下的作 用．從學(xué)生的回答來(lái)看，已經(jīng)朦朦朧朧感覺到了用測(cè)度計(jì)算幾何概型的方法． 2．問題探究——感受幾何概型及其處理方法 教師：下面我們共同探究下列概率問題． （大屏幕投影） 問題 1 取一根長(zhǎng)為 9 米的彩帶，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段的 長(zhǎng)度都不小于 3 米的概率是多少 ? 學(xué)生 C：記“剪得兩段彩帶都不小于 3m”

5、為事件 A．把彩帶三等分，當(dāng)剪斷 位置處在中間一段上時(shí)，事件 A 發(fā)生．由于彩帶上各點(diǎn)被剪斷是等可能的，且中間一段的長(zhǎng)度等于彩帶的 1 ，所以 P(A)＝ 1 ． 3 3 教師： C 同學(xué)講得很好，將彩帶上各點(diǎn)視為基本事件，并關(guān)注到了它的等可能性． 板書本題的規(guī)范解法并指出 P(A)＝ 構(gòu)成事件 A 的區(qū)域長(zhǎng)度 ． 試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度 問題 2 某島列島周圍海域面積約為 17 萬(wàn)平方公里，如果在此海域里有面積達(dá)0.1 萬(wàn)平方公里的大陸架蘊(yùn)藏著石油， 假設(shè)在這個(gè)海域里任意選定一點(diǎn)鉆探， 則鉆出石油的 概率為多少？

6、 ））））））） ））））））） 學(xué)生 D ：記“鉆出石油” 為事件 A，我想只要將有油海域面積與島列島周圍海域面積相比， P( A)＝ 0.1 17 ＝ 1 ． 170 教師：不錯(cuò)， D 同學(xué)把區(qū)域內(nèi)的各點(diǎn)視為等可能的基本事件，用區(qū)域面積之比求概率． P(A)＝ 構(gòu)成事件 A 的區(qū)域面積 ． 試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域面積 問題 3：有一杯 1 升的水，其中含有 1 個(gè)細(xì)菌，用一個(gè)小杯從這杯水中取出 0.1 升，求小杯水中含有這個(gè)細(xì)菌的概率． 學(xué)生 E：感覺應(yīng)該是兩個(gè)體積的

7、比， P(A)＝ 構(gòu)成事件 A 的區(qū)域體積 ＝ 0.1 ＝ 0.1． 試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域體積 1 觀察與點(diǎn)評(píng) 問題 1，2， 3 源于生活實(shí)際，教師在設(shè)計(jì)過程中有意識(shí)地從一維、二維到三維，讓學(xué)生 感受幾何概型問題的概念生成和處理方法．學(xué)生的回答受到引入的啟發(fā)，抓住了分析基本事件的本質(zhì)，直覺地意識(shí)到可以用相應(yīng)的長(zhǎng)度、面積、體積之比來(lái)計(jì)算概率．聽課中感覺到了學(xué)生對(duì)教師課前的精心預(yù)設(shè)的回應(yīng)，自然而然地生成了解題的方法． 3．模型演示——感受數(shù)學(xué)直覺的合理性 教師：我們借助于古典概型解題的方法，通過類比的手段，憑直覺解決解決了上面

8、所給的與幾何相關(guān)的概率問題，上面的解決方法是否對(duì)所有這樣的概率問題都通用呢？我們通過下面的實(shí)驗(yàn)來(lái)說明它的合理性． 實(shí)驗(yàn)問題：射箭中黃心問題． （大屏幕投影課本 P.100 引例（ 2），題目略） 學(xué)生 F：根據(jù)前面的探究，顯然這是一個(gè)與幾何相關(guān)的概率問題．按上面的做法，射中黃心的概率為 1 12.22 P 4 0.01． 1 1222 4 教師：好， F 同學(xué)給出了答案．我們知道對(duì)于給定的隨機(jī)事件 A，在相同條件下，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增 加，事件 A 發(fā)生的頻率會(huì)在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)并趨于穩(wěn)定， 這個(gè)常數(shù)可以用來(lái)刻畫隨機(jī)事件 A 發(fā)

9、生的可能 性的大小，即為隨機(jī)事件 A 的概率．我們利用這個(gè)想法，設(shè)計(jì)了一個(gè)射箭問題的 flash 模擬演示試驗(yàn)． （請(qǐng) 看大屏幕）通過不斷增加的射箭次數(shù)，我們發(fā)現(xiàn)頻率非常接近于 0.01．這個(gè)實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)了我們前面直覺的合 理性和正確性． 觀察與點(diǎn)評(píng) 通過演示實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生親身感受直觀感覺得到的概率的計(jì)算公式的正確性，使學(xué)生體會(huì) 歸納總結(jié)成功的喜悅，使數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性得到保證，體現(xiàn)了歸納、猜想、證明是研究數(shù)學(xué)問題的重要方法和 手段．課堂中，學(xué)生積極參與，興趣盎然，氣氛活躍． 4．生成概念——幾何概型的理性思考 教師：剛才同學(xué)們的研究很有價(jià)值，下面請(qǐng)同學(xué)們討

10、論一下這類問題的特點(diǎn)和解題的方法． 教師點(diǎn)撥、學(xué)生討論 學(xué)生代表 G 匯報(bào)討論結(jié)果：上面三個(gè)問題都與幾何有關(guān)，基本事件個(gè)數(shù)有無(wú)限個(gè)，每個(gè)基本事件的發(fā) 生都是等可能的．方法都是借助幾何圖形的長(zhǎng)度、面積、體積的比值計(jì)算事件 A 發(fā)生的概率． 教師：好的，通過上面的探究， 我們對(duì)這類問題有了初步理解， 討論中發(fā)現(xiàn)了這類問題的計(jì)算方法． 這就是我們今天所要研究的概率問題——幾何概型．下面我們要做的是對(duì)幾何概型問題的定性分析． 大屏幕投影：上述隨機(jī)試驗(yàn)具有共同點(diǎn)：設(shè) D 是一個(gè)可度量的區(qū)域（例如線段、平面圖形、立體圖形 等）．每個(gè)基本事件可以視為從區(qū)域 D 內(nèi)隨機(jī)

11、地取一點(diǎn)，區(qū)域 D 內(nèi)的每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣；隨機(jī)事 件 A 的發(fā)生可以視為恰好取到區(qū)域 D 內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域 d 中的點(diǎn)．這時(shí)，事件 A 發(fā)生的概率與 d 的測(cè)度 （長(zhǎng)度、面積、體積等）成正比，與 d 的形狀與位置無(wú)關(guān)． 我們把滿足這種條件的概率模型稱為幾何概型． 在 ））））））） ））））））） 幾何概型中，事件 A 的概率計(jì)算公式為 P( A) d的測(cè)度 ． D的測(cè)度 觀察與點(diǎn)評(píng) 通過學(xué)生互助討論，教師的適時(shí)點(diǎn)撥，學(xué)生歸納了幾何概型的特點(diǎn)與處理方法．教師在學(xué)生自我總結(jié)的基礎(chǔ)上，對(duì)幾何概型進(jìn)行了嚴(yán)格的定義，著

12、重說明了要關(guān)注隨機(jī)變量的形態(tài)這一研究此類問題核心，由此來(lái)確定選擇測(cè)度進(jìn)行計(jì)算．在完成數(shù)學(xué)概念生成的過程中，正因?yàn)橛辛藢W(xué)生的參與才使得 學(xué)生對(duì)新知的認(rèn)識(shí)達(dá)到了一次又一次的飛躍， 這是構(gòu)建數(shù)學(xué)不可缺憾的一環(huán)． 數(shù)學(xué)教學(xué)中突出知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展、形成的過程，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)意識(shí)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要方面．本節(jié)課老師在課堂教學(xué)中充分展現(xiàn)了這 一點(diǎn)． 5．例題講解——突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，升華思維 例 1 和例 2 選自課本例題，有學(xué)生討論解決． （略） 例 3 在直角三角形 ABC 中， CAB 60 ，在斜邊 AB 上任取一點(diǎn) M， 求 AM 小于 AC 的概率．（大屏幕投

13、影） 教師：這個(gè)問題中，把什么看成隨機(jī)變量？ 學(xué)生 H：我把 AB 上的點(diǎn)視為隨機(jī)變量． （教師演示課件：點(diǎn) M 在線段 AB 上運(yùn)動(dòng)） 教師追問：事件“ AM 小于 AC”的發(fā)生，點(diǎn) M 應(yīng)滿足什么條件？概率是多少？ 學(xué)生 H ：在 AB 上截取 AC AC ，M 隨機(jī)落在線段 AC 上．AM 小于 AC 的概率為 1 ．（教師演示課件： 2 點(diǎn) M 在線段 AC 上運(yùn)動(dòng)） 教師：很好！ H 同學(xué)對(duì)隨機(jī)變量的理解非常到位． 給出本題完整的解答． （大屏幕投影） 教師：如果我們把題目改一下，下面的問題怎樣解決呢？ 變題 過

14、直角頂點(diǎn) C 在 ACB 內(nèi)部任作一條射線 CM ，與線段 AB 交 于點(diǎn) M，求這時(shí) AM 小于 AC 的概率．（大屏幕投影） 學(xué)生 J （茫然，思考） 同學(xué)們竊竊私語(yǔ)，互相交流 學(xué)生 K ：我感覺隨機(jī)變量發(fā)生了變化，應(yīng)該把 ACB 內(nèi)部的任一條射線 CM 視為隨機(jī)變量，同樣在 AB 上截取 AC AC ，那么事件“ AM 小于 AC”的發(fā)生，射線 AM 應(yīng)落在 ACC 內(nèi)．這樣 AM 小于 AC 的概率是兩個(gè)角度之比，即概率為 3 2 ． 3 2 觀察

15、與點(diǎn)評(píng) 本節(jié)課所選擇的例題既兼顧了課本的原味，又對(duì)課本例題進(jìn)行修正，可謂頗具用心．教 師修改了課本原例 3 的條件， 將等腰直角三角形改為一個(gè)角為 60的直角三角形， 為變題的計(jì)算創(chuàng)造了條 件．從教師的設(shè)計(jì)來(lái)看，通過例 3 的變題來(lái)說明背景相似的問題，由于設(shè)問的不同，即當(dāng)?shù)瓤赡艿慕嵌炔? 同時(shí)，其概率是不一樣的．但在講解過程中，僅肯定了學(xué)生的解答，雖然也用課件進(jìn)行了演示，還是沒有 指出過點(diǎn) C的射線是怎樣作出來(lái)的，因?yàn)樵鯓幼魃渚€不僅會(huì)影響到基本事件的等可能性，由此還會(huì)產(chǎn)生不 同的結(jié)果 ．教師如果在教學(xué)過程中能充分注意到這一點(diǎn)，并向?qū)W生指出變題的功能，本課將更

16、完美 ． 6．回顧總結(jié)——留有空白，意猶未盡 教師通過兩個(gè)層面對(duì)本節(jié)課學(xué)生的掌握程度作了反饋，一是依托課本，作為課堂鞏固當(dāng)場(chǎng)完成了課本 上的練習(xí) 1－ 4；二是一改傳統(tǒng)的老師回顧總結(jié)， 而是讓學(xué)生針對(duì)本節(jié)課， 用自己的語(yǔ)言簡(jiǎn)要總結(jié)幾何概型的特點(diǎn)和處理方法．通過幾個(gè)學(xué)生的回答，基本包含了本節(jié)課的重點(diǎn)和注意點(diǎn)．最后留下了一個(gè)開放性的 作業(yè)，尋找生活中的概率模型，完成一篇小論文《用 說明古典概型與幾何概型的異同》 ． ））））））） ））））））） 觀察與點(diǎn)評(píng) 這樣別開生面的小結(jié)回顧，讓人耳目一新，給學(xué)生留出了思考的空間．給人的印象是留有空白，

17、意猶未盡． 二、教學(xué)特色解析 1．教學(xué)設(shè)計(jì)合情合理，自然流暢 幾何概型將古典概型的研究從有限個(gè)基本事件過渡研究無(wú)限多個(gè)基本事件，幾何概型是區(qū)別于古典概 型的又一概率模型， 姚老師在教學(xué)設(shè)計(jì)中注重強(qiáng)調(diào)概念形成過程， 依據(jù) “感覺——驗(yàn)證——生成——應(yīng)用”的理念，將幾何概型概念形成的教學(xué)通過實(shí)例引導(dǎo)，感悟處理方法，猜想驗(yàn)證，逐步讓學(xué)生自主探究，并 體會(huì)概念形成的合理性．使學(xué)生能全面系統(tǒng)地掌握概率知識(shí)，且對(duì)于學(xué)生辯證思想的進(jìn)一步形成具有良好的作用．整個(gè)設(shè)計(jì)思路合情合理，自然流暢． 2．教學(xué)過程循序漸進(jìn)，實(shí)實(shí)在在 姚老師在教學(xué)中解決了幾何概型從何而來(lái)，又如何處

18、理的問題．通過學(xué)生對(duì)古典概型的思考，循序漸進(jìn)地參與探究學(xué)習(xí)活動(dòng)，形成幾何概型問題中產(chǎn)生從等可能的模糊印象下思考測(cè)度，進(jìn)而上升為解決幾何概型問題的一種模式化模型，生成了來(lái)解決一類問題的通法．由學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中對(duì)思維過程的反思，真正體會(huì)到判斷幾何概型的特點(diǎn)以及重要性，從而避免了簡(jiǎn)單直接地呈現(xiàn)概念和單調(diào)的數(shù)學(xué)解題，突出知識(shí) 的產(chǎn)生、發(fā)展、形成過程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)，可謂實(shí)實(shí)在在． 本節(jié)課體現(xiàn)了“以學(xué)生為主體，教師是課堂活動(dòng)的組織者、引導(dǎo)者和參與者”的現(xiàn)代教育理念，發(fā)揮 了學(xué)生的主體作用， 良好的師生互動(dòng)， 有效的點(diǎn)撥引導(dǎo)， 讓學(xué)習(xí)過程成為學(xué)生心靈愉悅的主動(dòng)認(rèn)知過程． 另 外

19、，在布置的課外作業(yè)中的學(xué)習(xí)后記，即小論文《舉例說明古典概型、幾何概型分析概率問題的異同》 ， 將課內(nèi)學(xué)習(xí)拓廣到了課外，把學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)交給了學(xué)生，給了學(xué)生更多的探究空間． 3．注重?cái)?shù)學(xué)探究，感受數(shù)學(xué)直覺 本節(jié)課利用了幾個(gè)發(fā)生在生活當(dāng)中的實(shí)例， 引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)例探究， 通過觀察分析， 提取它們的共性，歸納了幾何概型的定義及其概率公式，感受數(shù)學(xué)直覺，并且組織學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)給予驗(yàn)證．在這節(jié)課里，每 一個(gè)發(fā)現(xiàn)總是想方設(shè)法盡量讓學(xué)生得出來(lái)，教師的作用這是引導(dǎo)，在關(guān)鍵處導(dǎo)一導(dǎo)、推一推，打造出一幅“涓涓細(xì)流潤(rùn)芬芳”的美好圖景，在師生對(duì)話中自然生成了幾何概型的概念．這種學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、帶領(lǐng)學(xué)

20、生尋找解決問題的方法，符合建構(gòu)主義理論和教學(xué)方法． 4．追求數(shù)學(xué)本真，突出思想方法 在教學(xué)過程中，以問題為背景，追求數(shù)學(xué)的本真，激發(fā)學(xué)生開展活動(dòng)，結(jié)合實(shí)驗(yàn)、觀察、思考、歸納、抽象、概括、運(yùn)用，力求使學(xué)生對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中蘊(yùn)涵的一些數(shù)學(xué)模式進(jìn)行思考和做出理性的判斷，鼓勵(lì)學(xué)生能夠更注重應(yīng)用數(shù)學(xué)的觀念、方法與語(yǔ)言去提出、分析和解決問題． 通過這節(jié)課的教學(xué)，進(jìn)一步樹立了數(shù)學(xué)是來(lái)源于生活而又服務(wù)于生活的意識(shí)，把豐富的生活感知數(shù)學(xué)理性有機(jī)融合起來(lái)．讓學(xué)生感受到生活中有數(shù)學(xué)，體會(huì)到數(shù)學(xué)對(duì)自然與社會(huì)所產(chǎn)生的作用，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的價(jià)值所在，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思想和方法去觀察問題、研究問題和解決問題，教給學(xué)生必要的思維策略，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看世界． 精品文檔考試教學(xué)資料施工組織設(shè)計(jì)方案 ）））））））