5、EF的面積是定值,∵C1D1∥平面QEF,P在C1D1上滑動(dòng),∴P到平面QEF的距離是定值.即三棱錐P-QEF的高也是定值,于是體積固定.∴三棱錐P-QEF的體積是定值,即四面體PQEF的體積是定值.
6.(2020全國(guó)卷Ⅰ)已知A,B,C為球O的球面上的三個(gè)點(diǎn),⊙O1為△ABC的外接圓,若⊙O1的面積為4π,AB=BC=AC=OO1,則球O的表面積為( )
A.64π B.48π
C.36π D.32π
答案 A
解析 設(shè)圓O1的半徑為r,球的半徑為R,依題意,得πr2=4π,∴r=2.由正弦定理可得=2r,∴AB=2rsin60=2.∴OO1=AB=2.根據(jù)球中圓截面的性
6、質(zhì)得OO1⊥平面ABC,∴OO1⊥O1A,R=OA===4,∴球O的表面積S=4πR2=64π.故選A.
7.(多選)已知正方體的外接球與內(nèi)切球上各有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M,N,若線段MN的最小值為-1,則( )
A.正方體的外接球的表面積為12π
B.正方體的內(nèi)切球的體積為
C.正方體的棱長(zhǎng)為2
D.線段MN的最大值為2
答案 ABC
解析 設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,則正方體外接球的半徑為體對(duì)角線長(zhǎng)的一半,即a;內(nèi)切球的半徑為棱長(zhǎng)的一半,即.∵M(jìn),N分別為外接球和內(nèi)切球上的動(dòng)點(diǎn),∴MNmin=a-=a=-1,解得a=2,即正方體的棱長(zhǎng)為2,C正確;∴正方體的外接球的表面積為4π()2=12
7、π,A正確;正方體的內(nèi)切球的體積為,B正確;線段MN的最大值為a+=+1,D錯(cuò)誤.故選ABC.
8.(多選)若正三棱柱ABC-A′B′C′的所有棱長(zhǎng)都為3,外接球的球心為O,則下列四個(gè)結(jié)論正確的是( )
A.其外接球的表面積為21π
B.直線AB′與直線BC所成的角為
C.AO⊥B′C′
D.三棱錐O-ABC的體積為
答案 ACD
解析 如圖,球心O到下底面的距離OO′=,AO′=3=,所以其外接球的半徑R==,所以其外接球的表面積為4πR2=21π,A正確;直線AB′與直線BC所成的角即直線AB′與直線B′C′所成的角,設(shè)其為θ,在△AB′C′中,cosθ==,故B錯(cuò)誤;由O
8、O′⊥平面ABC,得OO′⊥BC,O′為△ABC的重心,則AO′⊥BC,故BC⊥平面AOO′,即BC⊥AO,故AO⊥B′C′,C正確;根據(jù)三棱錐的體積公式可得VO-ABC==,D正確.
二、填空題
9.(2020浙江高考)已知圓錐展開(kāi)圖的側(cè)面積為2π,且為半圓,則底面半徑為_(kāi)_______.
答案 1
解析 設(shè)圓錐底面半徑為r,母線長(zhǎng)為l,則
解得r=1,l=2.
10.學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐,利用3D打印技術(shù)制作模型,如圖,該模型為圓錐底部挖去一個(gè)正方體后的剩余部分(正方體四個(gè)頂點(diǎn)在圓錐母線上,四個(gè)頂點(diǎn)在圓錐底面上),圓錐底面直徑為10 cm,高為10 cm,打印所用原料密度為0
9、.9 g/cm3,不考慮打印損耗,制作該模型所需原料的質(zhì)量為_(kāi)_______ g.(π取3.14)
答案 358.5
解析 設(shè)被挖去的正方體的棱長(zhǎng)為x cm,圓錐底面半徑為r cm,高為h cm,則=,即=,解得x=5,所以制作該模型所需材料質(zhì)量約為m=Vρ=0.9=0.3π5010-0.9125=358.5 g.
11.(2020山東泰安二輪復(fù)習(xí)質(zhì)量檢測(cè))已知A,B是球O的球面上兩點(diǎn),∠AOB=90,C為該球面上的動(dòng)點(diǎn),若三棱錐O-ABC體積的最大值為36,則球O的表面積為_(kāi)_______.
答案 144π
解析 如圖所示,當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面AOB的直徑的端點(diǎn)時(shí),三棱錐的體積最
10、大,設(shè)球O的半徑為R,此時(shí)VO-ABC=VC-AOB=R2R=R3=36,故R=6,則球O的表面積為S=4πR2=144π.
12.(2020山東聊城一模)點(diǎn)M,N分別為三棱柱ABC-A1B1C1的棱BC,BB1的中點(diǎn),設(shè)△A1MN的面積為S1,平面A1MN截三棱柱ABC-A1B1C1所得截面的面積為S,五棱錐A1-CC1B1NM的體積為V1,三棱柱ABC-A1B1C1的體積為V,則=________,=________.
答案
解析 如圖所示,延長(zhǎng)NM交直線C1C于點(diǎn)P,連接PA1交AC于點(diǎn)Q,連接QM.平面A1MN截三棱柱ABC-A1B1C1所得截面為四邊形A1NMQ.
11、
∵BB1∥CC1,M為BC的中點(diǎn),則△PCM≌△NBM.點(diǎn)M為PN的中點(diǎn).
∴△A1MN的面積S1=S△A1NP,
∵QC∥A1C1,==,
∴△A1QM的面積=S△A1PM,∴=.
∵△BMN的面積=S四邊形B1C1CB,
∴五棱錐A1-CC1B1NM的體積為V1=V四棱錐A1-B1C1CB,而四棱錐A1-B1C1CB的體積=V,∴==.
三、解答題
13.如圖所示,三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面,且底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形,AA1=3,點(diǎn)D,E,F(xiàn),G分別是所在棱的中點(diǎn).
(1)證明:平面BEF∥平面DA1C1;
(2)求三棱柱ABC-A1B1C1夾
12、在平面BEF和平面DA1C1之間部分的體積.
解 (1)證明:∵E,F(xiàn)分別是A1B1和B1C1的中點(diǎn),
∴EF∥A1C1,
∵EF?平面DA1C1,A1C1?平面DA1C1,
∴EF∥平面DA1C1,
∵D,E分別是AB和A1B1的中點(diǎn),∴DB綊A1E,
∴四邊形BDA1E是平行四邊形,∴BE∥A1D,
∵BE?平面DA1C1,A1D?平面DA1C1,
∴BE∥平面DA1C1,
∵BE∩EF=E,∴平面BEF∥平面DA1C1.
(2)由題圖可知,三棱柱ABC-A1B1C1夾在平面BEF和平面DA1C1之間的部分,可看作三棱臺(tái)DBG-A1B1C1減掉三棱錐B-B1EF后的剩余
13、部分,
∵S△DBG=S△B1EF=12=,S△A1B1C1=22=,
∴三棱臺(tái)DBG-A1B1C1的體積為
V1=3=,
三棱錐B-B1EF的體積V2=3=,
∴三棱柱ABC-A1B1C1夾在平面BEF和平面DA1C1之間部分的體積為V=V1-V2=-=.
14.如圖,已知棱錐S-ABCD中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形,∠BAD=60,SA=SD=,SB=,點(diǎn)E是棱AD的中點(diǎn),點(diǎn)F在棱SC上,且=λ,SA∥平面BEF.
(1)求實(shí)數(shù)λ的值;
(2)求三棱錐F-EBC的體積.
解 (1)連接AC,設(shè)AC∩BE=G,則平面SAC∩平面EFB=FG,
∵SA∥平面EF
14、B,∴SA∥FG,
∵△GEA∽△GBC,∴==,
∴==.∴SF=SC,∴λ=.
(2)∵SA=SD=,∴SE⊥AD,SE=2,
又AB=AD=2,∠BAD=60,∴BE=,
∴SE2+BE2=SB2.∴SE⊥BE,∴SE⊥平面ABCD,
∴VF-EBC=VS-EBC=VS-ABCD=22sin602=.
一、選擇題
1.(2020山東臨沂一模)《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書(shū)中《商功》有如下問(wèn)題:“今有委粟平地,下周一十二丈,高一丈,問(wèn)積及為粟幾何?”意思是“有粟若干,堆積在平地上,它底圓周長(zhǎng)為12丈,高為1丈,問(wèn)它的體積和粟各為多少?”如圖,主人意欲賣
15、掉該堆粟,已知圓周率約為3,一斛粟的體積約為2700立方寸(單位換算:1立方丈=106立方寸),一斛粟米賣270錢,一兩銀子1000錢,則主人賣后可得銀子( )
A.200兩 B.240兩
C.360兩 D.400兩
答案 D
解析 該堆粟的底面半徑為r==2,體積V=3221=4立方丈=4106立方寸=斛,故主人賣后可得銀子2701000=400兩.故選D.
2.(2020??谑懈呖寄M演練)一個(gè)底面邊長(zhǎng)為3的正三棱錐的體積與表面積為24的正方體的體積相等,則該正三棱錐的高為( )
A.12 B.
C. D.12
答案 C
解析 因?yàn)檎襟w的表面積為24
16、,所以其棱長(zhǎng)為2,體積為23=8.設(shè)正三棱錐的高為h,因?yàn)檎忮F的體積與正方體的體積相等,所以33h=8,解得h=.
3.(2020海南中學(xué)高三摸底)已知一個(gè)凸多面體共有9個(gè)面,所有棱長(zhǎng)均為1,其平面展開(kāi)圖如圖所示,則該凸多面體的體積V=( )
A.1+ B.1
C. D.1+
答案 A
解析 根據(jù)平面展開(kāi)圖,還原幾何體如右圖所示,故該幾何體是由棱長(zhǎng)為1的正方體和底邊棱長(zhǎng)為1的正四棱錐組合而成.則其體積V=13+11=1+.故選A.
4.(2020海南高考調(diào)研測(cè)試)張衡是中國(guó)東漢時(shí)期偉大的天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家,他曾經(jīng)得出圓周率的平方除以十六等于八分之五.已知三棱錐A-
17、BCD的每個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上,AB⊥底面BCD,BC⊥CD,且AB=CD=,BC=2,利用張衡的結(jié)論可得球O的表面積為( )
A.30 B.10
C.33 D.12
答案 B
解析 因?yàn)锽C⊥CD,所以BD=,又AB⊥底面BCD,所以球O的球心為側(cè)棱AD的中點(diǎn),從而球O的直徑為.利用張衡的結(jié)論可得=,則π=,所以球O的表面積為4π2=10π=10.故選B.
5.(2020山東青島三模)在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=AC,側(cè)棱AA1⊥底面ABC,若該三棱柱的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)球O的表面上,且球O的表面積的最小值為4π,則該三棱柱的側(cè)面積為( )
A.6
18、B.3
C.3 D.3
答案 B
解析 如圖,設(shè)三棱柱上、下底面中心分別為O1,O2,則O1O2的中點(diǎn)為O,設(shè)球O的半徑為R,則OA=R,設(shè)AB=BC=AC=a,AA1=h,則OO2=h,O2A=AB=a,則在Rt△OO2A中,R2=OA2=OO+O2A2=h2+a2≥2ha=ah,當(dāng)且僅當(dāng)h=a時(shí),等號(hào)成立,所以S球=4πR2≥4πah,所以ah=4π,所以ah=,所以該三棱柱的側(cè)面積為3ah=3.故選B.
6.(2020山東安丘模擬)唐朝的狩獵景象浮雕銀杯如圖1所示,其浮雕臨摹了國(guó)畫(huà)、漆繪和墓室壁畫(huà),體現(xiàn)了古人的智慧與工藝. 它的盛酒部分可以近似地看作是半球與圓柱的組合體(
19、假設(shè)內(nèi)壁表面光滑,忽略杯壁厚度),如圖2所示,已知球的半徑為R,酒杯內(nèi)壁表面積為πR2.設(shè)酒杯上部分(圓柱)的體積為V1,下部分(半球)的體積為V2,則=( )
A.2 B.
C.1 D.
答案 A
解析 由球的半徑為R,得半球表面積為2πR2,又酒杯內(nèi)壁表面積為πR2,∴圓柱的側(cè)面積為πR2.設(shè)圓柱的高為h,則2πRh=πR2,即h=R.∴V1=πR2R=πR3,V2=πR3.∴==2.故選A.
7.(多選)沙漏是古代的一種計(jì)時(shí)裝置,它由兩個(gè)形狀完全相同的容器和一個(gè)狹窄的連接管道組成,開(kāi)始時(shí)細(xì)沙全部在上部容器中,細(xì)沙通過(guò)連接管道全部流到下部容器所需要的時(shí)間稱為該沙漏的一
20、個(gè)沙時(shí).如圖,某沙漏由上、下兩個(gè)圓錐組成,圓錐的底面直徑和高均為8 cm,細(xì)沙全部在上部時(shí),其高度為圓錐高度的(細(xì)管長(zhǎng)度忽略不計(jì)).假設(shè)該沙漏每秒鐘漏下0.02 cm3的沙,且細(xì)沙全部漏入下部后,恰好堆成一個(gè)蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆,則以下結(jié)論正確的是(π≈3.14)( )
A.沙漏中細(xì)沙的體積為 cm3
B.沙漏的體積是128π cm3
C.細(xì)沙全部漏入下部后此錐形沙堆的高度約為2.4 cm
D.該沙漏的一個(gè)沙時(shí)大約是1985秒
答案 ACD
解析 對(duì)于A,根據(jù)圓錐的截面圖可知,細(xì)沙在上部時(shí),細(xì)沙的底面半徑與圓錐的底面半徑之比等于細(xì)沙的高與圓錐的高之比,所以細(xì)沙的底面半徑r
21、=4= cm,所以沙漏中細(xì)沙的體積V沙=πr2== cm3,A正確;對(duì)于B,沙漏的體積V漏=2π2h=2π428= cm3,B錯(cuò)誤;對(duì)于C,設(shè)細(xì)沙全部漏入下部后的高度為h1,根據(jù)細(xì)沙體積不變可知,=π2h1,所以=h1,所以h1≈2.4 cm,C正確;對(duì)于D,因?yàn)榧?xì)沙的體積為 cm3,沙漏每秒鐘漏下0.02 cm3的沙,所以一個(gè)沙時(shí)為=50≈1985秒,D正確.故選ACD.
8.(多選)(2020山東青島一模)已知四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1的上、下底面均為正方形,其中AB=2,A1B1=,AA1=BB1=CC1=2,則下述正確的是( )
A.該四棱臺(tái)的高為
B.AA1⊥CC1
22、
C.該四棱臺(tái)的表面積為26
D.該四棱臺(tái)外接球的表面積為16π
答案 AD
解析 由題意可得該四棱臺(tái)為正四棱臺(tái).由棱臺(tái)的性質(zhì),畫(huà)出切割前的四棱錐,如圖,由AB=2,A1B1=可知△SA1B1與△SAB的相似比為1∶2,所以SA=2AA1=4,AO=2,所以SO=2,所以O(shè)O1=,故該四棱臺(tái)的高為,A正確;因?yàn)镾A=SC=AC=4,所以AA1與CC1的夾角為60,不垂直,B錯(cuò)誤;該四棱臺(tái)的表面積為S=S上底+S下底+S側(cè)=2+8+4=10+6,C錯(cuò)誤;易知該四棱臺(tái)外接球的球心在OO1上,在平面B1BOO1中,由于OO1=,B1O1=1,則OB1=2=OB,即點(diǎn)O到點(diǎn)B與點(diǎn)B1的距離相等
23、,則該四棱臺(tái)外接球的半徑r=OB=2,該四棱臺(tái)外接球的表面積為16π,D正確,故選AD.
二、填空題
9.已知圓柱的底面半徑為1,母線長(zhǎng)為2,則該圓柱的側(cè)面積等于________.
答案 4π
解析 ∵圓柱的底面半徑為r=1,母線長(zhǎng)為l=2,∴其側(cè)面積為S=2πrl=2π12=4π.
10.(2020江蘇高考)如圖,六角螺帽毛坯是由一個(gè)正六棱柱挖去一個(gè)圓柱所構(gòu)成的.已知螺帽的底面正六邊形邊長(zhǎng)為2 cm,高為2 cm,內(nèi)孔半徑為0.5 cm,則此六角螺帽毛坯的體積是________cm3.
答案 12-
解析 正六棱柱體積為6222=12 cm3,挖去的圓柱體積為π22=
24、cm3,故此六角螺帽毛坯的體積為 cm3.
11.(2020江蘇南京金陵中學(xué)、南通海安高級(jí)中學(xué)、南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校第四次模擬)設(shè)棱長(zhǎng)為a的正方體的體積和表面積分別為V1,S1,底面半徑和高均為r的圓錐的體積和側(cè)面積分別為V2,S2,若=,則的值為_(kāi)_______.
答案
解析 不妨設(shè)V1=27,V2=9π,故V1=a3=27,所以a=3,所以S1=6a2=54.如圖所示,因?yàn)閂2=hπr2=πr3=9π,所以r=3,又l=r,所以S2=l2πr=πr2=9π,所以==.
12.(2020山東濰坊高密二模)在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AP=2,點(diǎn)M是矩形ABCD內(nèi)(含邊
25、界)的動(dòng)點(diǎn),且AB=1,AD=3,直線PM與平面ABCD所成的角為.記點(diǎn)M的軌跡長(zhǎng)度為α,則tanα=________;當(dāng)三棱錐P-ABM的體積最小時(shí),三棱錐P-ABM的外接球的表面積為_(kāi)_______.
答案 8π
解析 如圖,因?yàn)镻A⊥平面ABCD,垂足為A,則∠PMA為直線PM與平面ABCD所成的角,所以∠PMA=.因?yàn)锳P=2,所以AM=2,所以點(diǎn)M位于底面矩形ABCD內(nèi)的以點(diǎn)A為圓心,2為半徑的圓上,記點(diǎn)M的軌跡為圓弧.連接AF,則AF=2.因?yàn)锳B=1,AD=3,所以∠AFB=∠FAE=,則的長(zhǎng)度α=2=,所以tanα=.當(dāng)點(diǎn)M位于點(diǎn)F時(shí),三棱錐P-ABM的體積最小,又∠PA
26、F=∠PBF=,所以三棱錐P-ABM的外接球的球心為PF的中點(diǎn).因?yàn)镻F==2,所以三棱錐P-ABM的外接球的表面積S=4π()2=8π.
三、解答題
13.如圖1,在菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=60,M是AD的中點(diǎn),以BM為折痕,將△ABM折起,使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)A1的位置,且平面A1BM⊥平面BCDM,如圖2.
(1)求證:A1M⊥BD;
(2)若K為A1C的中點(diǎn),求四面體M-A1BK的體積.
解 (1)證明:在圖1中,連接BD(如圖a),
∵四邊形ABCD是菱形,∠DAB=60,M是AD的中點(diǎn),
∴AD⊥BM,故在圖2中,BM⊥A1M,
∵平面A1BM⊥平面BCDM,平面A1BM∩平面BCDM=BM,∴A1M⊥平面BCDM,
又BD?平面BCDM,∴A1M⊥BD.
(2)在圖1中,∵四邊形ABCD是菱形,AD⊥BM,AD∥BC,
∴BM⊥BC,且BM=,在圖2中,連接CM(如圖b),
則VA1-BCM=S△BCMA1M=21=,
∵K為A1C的中點(diǎn),∴VM-A1BK=VK-MA1B=VC-MA1B=VA1-BCM=.
∴四面體M-A1BK的體積為.