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1第八章 常微分方程初值問題的數值解法（1）00(,)[,]dyfxxb?????? （1）的解：解析解 函數 00(),(,)[,]()Nxdyyxfxxy??? 常微分方程課程中討論了（1）的解的存在性，唯一性條件例如 ，且 滿足對 的 Lipchitz 條件：0(,)[,;]fCb????(,)fy12120(,)(,)[,]nfxyfLyx??? 則（1）的解存在，唯一以后我們總設 (,)ip()Lfx解析解不易求得，或太復雜。實際問題中歸結出的方程主要用數值解，即求 在一系列離散點上的近似值，這些點是()y?01011,,.nnxhxh???? 諸 可以不同，為方便計算，設i ,1,2.ii? 方法：⊙據常微分方程理論，已知 ，則（1）在 上的解滿足 ()kyx[,]kxb2(,)kyfx?????提示我們從 出發(fā)，一步一步向前跨，得到0 (),0,1.iiyxn?? 初值問題： Taylor 展式法(數值積分法) Euler 折線法 分點 00,12.k bxxhknh???? 給定（1） ，在 處將 展成 Taylor 展式k()yx2()(kyx????一般 很小，略去 項，得：h210021(,)yfxy??? 一般地， 11(,)1,2.,kkyhfxykn??? 分段線性函() []kkx x??????數（Euler 折線法名稱的由來）如果 （沒有誤差） 用 Euler 折線法求得()kky1ky?則 局部截斷誤差 21 1():kkkhxT?????3221()kkhTyxo???主 項Euler 折線法算法簡單，自開始，但精度差(P.281，表 9-1)，幾乎不單獨用。向后的 Euler 公式：11(,)kkyhfxy???Taylor 展開可得， ， 主項21()khT????2()khyx??隱式， 可迭代求解，精度也不高。1ky?梯形公式（向前、向后 Euler 法，取算術平均）1 1[(,)(,)](2)2kkkhyfxyfy? ?? 平均斜率 消去截斷誤差中的 項。提高精度○ 1 ○ 2 2 31kTOh??隱式，迭代方法 (0)1() ()1(,)[,](3)2kkn nkyhfxyfxy? ?? 迭代有限步，或迭代至收斂（收斂嗎？下證）(2)-(3) (1) ()11[(,),]n nkkkhyfxyfxy??????Lipchitz 條件 ()()12nkL??4當 充分小，即 時，方法收斂，缺點迭代次數無法控制。h12L?如果只迭代一次，得到改進的 Euler 公式 211 31(,)()[(,]2kkkkyfxyTOhhfxy???? 預估—校正法 (,)kkyfx??1 31112(,)(),()kkkkkyhfxyTOhf?????????????預 估校 正 說明：231 31())2(,)(kkkkkkhyyOfx????????? 31()kTOh?優(yōu)點： 預估與校正精度相同；不需迭代，精度較高。問題： 已知 才可起步，要用其它方法做“表頭”01,yEuler 法的整體誤差5， 受第 1，2，……第 n 步截斷誤差的影響()nneyx??記 ，則1(,)nhfxy???11111()(,)(,)(),(nnnn nnnneyTxhfyxhfxyyfLe????????? 反復應用上式，又由 得0?00 112[,]0()().()1max||2()1nnnkbknhLbxeThhLTyCe????????????? = 一般， 比 低一階neTRunge-Kutta 方法(RK 法)Taylor 展開法（構造公式的基本方法，用于構造任意階的公式）方法要點6例： 微分兩邊2yx???222(4)222())4()3)6(358yxyxyxyx??? ????????? ………在 這一點上，補充 可求得 的值。k()k?()jkyx一般地 (,)(,)(,),xyxyyffffxy??????(3) 222xyf? ?算子 ()Dfxy???…………………………….. (D)()(1),jjyf? 2()112(1)11()() ()!!nnkkkkknxyxhxyxhofff ?? ?????????? 是以 代入(D) 式得到的值。()jkf,kxy令 ，可以構造任意階的公式。(1)211!nkkfhffh???????7稱為 階精度的公式。111()()pkkyxOh????精度高，但太繁瑣，常用于求“表頭”R-K 法為避免 Taylor 展開法的繁瑣計算，試圖不計算 ，而用多計算幾個()jkff(x,y)在不同點上的值來代替 12221333321,112(,)), )(, .).kkkrkrkrrrKfxyhKf hfxyKK???????????? 其中 與 無關。,??,fh1kkyh??選擇常數，使 h 的 Taylor 展式與 順次有盡可能2.kff??多的項重合。一般導致非線性方程組，有時不推最高可能階數，而常要求系數對稱，簡明易記…. （非常繁瑣，一次推得，一般情況通用）例 二階的 R—K 方法推導用二元 Taylor 展式812221 2212(,))(,)(,)(,)(,)[(, ]kkkxkykkxkyKfxyhKffhfxKhff O????????????? 1xy21212 (y=f)2 (f+)[(,)(,][(,)kkxkyKffxhf??????????? 只須二階，自由系數12/???????12210,,??? 我們得到了二階 R-K 法 （也稱為變形 Euler 公式）：Un二階的方法，用多算一次函數值來避免算 .y?如果取 ， 我們又一次得到改進1/212????? 的 Euler 公式，同時回答了前面改進的 Euler 公式是二階的問題。四階（標準）RK 法（常用）911223431124(,))(,)()6kkkkkKfxyKhfxyhy????? 變步長 RK 法要點：取一個 算： 11(),/2nybh??? 2 2()nyy??再 算 判 斷 線性多步法單步法只用 ，線性多步法用了若干個點上1,(,)kkkxyfxy??的信息，限于線性組合，一般的1010.(.)(1)kkrkkhfff???????? . 顯式， 隱式。1???1??局部截斷誤差的計算：設 ()kikiyx???0,1.r?， 是用（1）式算出的值。11:()kkkTyx???方程等階于11()((,)nxnfydx????10未知，但： (),()Fxfyx?()(,)niniiniFxfyf????以 作插值多項式， 代 積1.,kkkrff? (rpx)F分，求出諸 和 得到 Adams 外推法，插值區(qū)間 不包含i?i?,kr?，所以 得 4 階顯式公式：1(,)kx?10??123(5979)24kkkkhyfff????以 作插值1 1(,),).,(,knrrxfxx? ? 多項式 代 積分得 和 ，此時 ，有 4 階隱式公式iQ(Fi?i?10??111295)24kkkkhyfff????一般利用 Taylor 展開方程例如： 1012101().(2)kkkkkyyhff?????????? Taylor 展開(),()iiiixfxnx??? 在 處kikiy???.21()(()().(3)kkkkhxyx???? 21()(()().kkkkyyx?????代入（2）式得到：111012101212 331(4)121()()((496(602k kkkyyxyxhyxh???????????????? (5)6() kyxOh據 的 Taylor 展式，上式中 的系數應為 ，列出相應的1ky? ()jjkyxh1!j線性方程組，從中解出 ，局部截斷誤差 .考慮穩(wěn)定性和系數i??, 6()O形式簡單，也可少解幾個方程，有自由未知數。 e.g. 令 ，代入可解得02?Simpson 公式111(4)3kkkhyff????局部截斷誤差 6)O當然也有另外的公式。 Harmming 做了多次檢驗,發(fā)現當 時穩(wěn)定10??性好。得 Harmming 公式 512113(9)(2)()88kkkkhyyffOh????? 用數值積分法可推出的公式必可用 Taylor 法推出。反之不然 (如12Harmming)一般來說，隱式的公式穩(wěn)定性較好，解決隱式的方法： 迭代 ○ 1用其他公式預報。○ 2 1ky?Harmming 預估－校正系統(tǒng)隱式的四階 Harmming 公式12115()613(9)2)88(40kkkkkkkkhyyffTxxOh???????Harmming 公式是隱式的，需要一個顯式四階線性多步法公式求的初值。(2)——〉1ky?設： 0123012()kkkkkyyhff???????????可推六階顯式只推四階 ，得 Miline 公式0113125()6142)()(kkkkhyffxyxOh????? 不 夠 穩(wěn) 定Harmming 的預測- 校正系統(tǒng)（隱式，不迭代）{表頭 } n=1,2,31. 用 Miline 公式預報 13(0)13124(2)nnnnhypyff??????2. 改進 (1)1()nnnmpc??3. 用 Harmming 公式校正(2)12113(9)(2)88nnnnhycymf??????4. 改進 (3)119()()nncnTpc??第 2、4 兩步的依據如果只考慮局部截斷誤差的主項，我們有 5() 5()5()5() 1(5)1 ()412))403603636(22)49()(20nnnnpnccpyxhyxhyhyhccpTyhc????????? 實際上第 2、4 兩步是從近似值中減去誤差主項，當然不能消除誤差，但可以提高近似的精確度。高階方程與一階方程組14初值問題() (1)00,.,nnyfxyxy????????引入中間函數 (1)12,,n?? ., 上述等價于： 1012321 (1)10()(,.)n nnyxyyfxyxy? ??? ???????????? 一階方程組的初值問題：一般地 10(,.,)1,2.,)iiniiodfxyin?????? 寫成向量形式 視為 的算子，向量值函數。,,n?A fn?A12()().()Tnfxfx??按算子的求導法 10,.,(,)Tndffdxxfyx??????????????? 向 量 形 式15與前述初值問題有完全相同的形式。單步法的公式也有完全相同的形式。例：改進的 Euler 折線法 11 1(,)[(,)(,)]2k kkk khyhfxyyfxyfy?? ????????????? 四階 RK 法1213243 234(,)(,),(,),)6kk kk kk hfxyfxyfxyhh???????????????