9、方法、技巧
1、求的單調(diào)區(qū)間（注意①?gòu)?fù)合函數(shù)，②定義域）
2、形如的值域的求法
例：求的值域，①定義域?yàn)樽匀幌拗?；②人為限?
3、①(C91)的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸方程為：
A、 B、 C、 D、
②函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，求a
4、常規(guī)的化簡(jiǎn)或計(jì)算：
例1(C2000)，①當(dāng)y取最大值時(shí)，求自變量x的集合；
②該函數(shù)的圖象可由y=sinx圖象經(jīng)過(guò)怎樣變換得到？
變題1：在上至少有50個(gè)最大值，求k的范圍。
提示：
變題2
10、：在上至少有50個(gè)最小值呢？
提示：
變題3：若換成呢？
例2（C87，同課本P229例4）
求的值；
分析：只要求
方法一：由于任兩角和或差可得特殊角，故任兩項(xiàng)用積化和差，分配后
再用積化和差，非特殊角相消；
方法二：化成余弦的積，由于角成兩倍，可；
方法三：，由公式=
。(要證明)
例3（C90）求的最大值。
特征：的函數(shù)；
方法：換元：設(shè)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)；
[變題]1、求的
11、值域。
提示：可化為的函數(shù)，
設(shè)
2、求，在時(shí)的值域。
例4（C90），已知，求
推廣與變題：已知
⑴的所有函數(shù)值 ①②分別化積相除得萬(wàn)能公式（均只有1 解）
⑵的所有函數(shù)值 ①2+②2可求（只有一解）由同角關(guān)系求其余
（有兩解）
⑶求，
方法一：由⑴⑵先求出，展開(kāi)解方程組
方法二：由⑴⑵先求，，而
化入即可。
⑷進(jìn)一步求 化弦，然后用
12、上述方法。
例5，（C91）求函數(shù)的最小值及對(duì)應(yīng)的x值。
分析：關(guān)于的二項(xiàng)齊次式，常規(guī)轉(zhuǎn)化思路有：
⑴分母看成；
⑵
例6（C95，書(shū)P233例4）求的值；
例7（C94文，書(shū)P230例5的變題）
求函數(shù)的最小值及對(duì)應(yīng)的x值。
例8，注意隱含條件的挖掘，確定結(jié)果的取舍。
⑴△ABC中，，求；（注可用△ABC中，A>B是sinA>
sinB充要條件）
⑵若α、β為銳角，，求及的值；
⑶設(shè)，且，求的值。
例9，三角形中
13、的恒等式
⑴（書(shū)P233例10，從中小結(jié)證法）
（降冪后轉(zhuǎn)化為4）
⑺ （P264，22① 由兩邊取正切）
⑻ 由兩邊取正切
⑼應(yīng)用舉例 ①△ABC中，若，判定△ABC的形狀；
②△ABC中，求的值。(書(shū)P264，22②）
例10，△ABC中，a,b,c成
⑴求證：法一：余弦Th化為邊：
法二：化為函數(shù)：
⑵設(shè)，求k的范圍，用⑴
⑶求證：
⑷求的值。
三、反三角函數(shù)
（一）概念（填寫(xiě)空白）
反正弦
反余弦
反正切
反余弦
定義域
14、
值域
圖像
性質(zhì)
（二）幾組公式
第一組
第二組
第三組，反三角函數(shù)的三角運(yùn)算（借助于）
1 1
x x
x 1
1 x
15、
不等式的解法
類(lèi)型I：整式不等式
1、設(shè)不等式的解集為，解不等式
答案：
2、已知：的解集為，試解下列不等式
①； ②
答案：① ②
3、（零點(diǎn)序軸法）
4、（C87）若不等式對(duì)恒成立，求
a范圍
類(lèi)型Ⅱ：分式不等式
1、（化除為乘），（化除為乘）
2、（移項(xiàng)通分）~（化除為乘）
3、解不等式：
4、解關(guān)于x的不等式： （k為常數(shù)）
類(lèi)型Ⅲ：無(wú)理不等式
1、
2、
3、解關(guān)于x的不等式：（用代數(shù)法）
4、解關(guān)于x的不等式：（用幾何法）
5、關(guān)于x的不等式：
①
16、若能集為（0，4），求a的范圍；
②若能集為（0，2），求a的值；
③解關(guān)于x不等式。
類(lèi)型Ⅳ：指數(shù)、對(duì)數(shù)不等式
1、等價(jià)于：（自己填空）
2、等價(jià)于：（自己填空）
3、（C86）當(dāng)時(shí)，解關(guān)于x的不等式：
4、（C88）解不等式：
5、（C91）設(shè)a>1，解關(guān)于x的不等式
6、（C96）解關(guān)于x的不等式：
類(lèi)型Ⅴ：絕對(duì)值不等式
不等式的證明
重要公式
1、（可直接用）
2、（要會(huì)證明）
3、即可）
4、，；
5、，
證明方法
方法一：作差比較法：
已知：，求證：。
17、 證：左－右=
方法二：作上比較法，設(shè)a、b、c，且，求證：
證：
當(dāng)a>b>0時(shí)
當(dāng)0b還是a0,b>0，且a+b=1，求證：
① ②
證①由公式：得：
證②由
∴ 左 （*）
∵
∴ (*)
方法四：放縮法：
∵ n>1， ∴
∴ 只要證： 即
18、可
左<
<
方法五：分析法：設(shè)a1，a2，b1，b2，求證：(自證)
方法六：歸納猜想、數(shù)學(xué)歸納法：設(shè)，求證：（自證）
高考題選解
1、（C93）已知關(guān)于x的實(shí)系數(shù)一元二次方程，有兩實(shí)根α、β，證明：
①如果，那么且；
②如果且，那么。
2、（C94）已知：，若，且，證明：
3、（C96）已知：a、b、c為實(shí)數(shù)，函數(shù)，當(dāng)
時(shí)，
①證；
②證明：當(dāng)時(shí)，；
③設(shè)a>0，當(dāng)時(shí)，的最大值為2，求。
4、（C97）設(shè)二次函數(shù)，方程兩根為滿(mǎn)足
19、 ①當(dāng)時(shí)，證；
②設(shè)函數(shù)的圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，證明：
5、（C98）已知：為AP，b1=1，b1+b2+…+b10=145
①求的通項(xiàng)；
②設(shè)的通項(xiàng)，為的前n項(xiàng)和，比較與
的大小，并證明你的結(jié)論。
6、（C2000）設(shè)函數(shù)(I)解關(guān)于x的不等式：；(Ⅱ)求a的取值范圍，使f(x)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)。
數(shù)列、極限、歸納法
一、等差、等比數(shù)列的有關(guān)知識(shí)
等差數(shù)列（AP）
等比數(shù)列（GP）
定義
常數(shù)
的常數(shù)
通項(xiàng)公式
①
②
③疊加公式
①
②
③疊乘：
增減性
d>0遞增
常數(shù)列
遞減
20、
遞增
遞減
常數(shù)列
擺動(dòng)數(shù)列
前n項(xiàng)和
推導(dǎo)方法：例寫(xiě)相加
乘公比錯(cuò)位相減
中 項(xiàng)
A為a、b的等差中項(xiàng)
G為a、b的等比中項(xiàng)
性 質(zhì)
⑴為AP
（k、b常數(shù)）
⑵為AP
⑶為AP，
⑷為AP，則
（m，n同奇或同偶）
⑸為AP，則，
成AP
⑴為GP ，
）
⑵為GP，且，
⑶為GP，
⑷為AP，則
⑸為GP，則，
成GP
二、幾個(gè)常用結(jié)論
1、在AP中，若共有奇數(shù)項(xiàng)項(xiàng)，則
2、在AP中，若a1>0，，則①m、k同
21、奇或同偶時(shí)，時(shí)，
②當(dāng)m、k—奇—偶時(shí)，時(shí)
3、AP中，（用多種方法證，如共線(xiàn)等）
4、AP中，
5、AP、中，有 如C95等差數(shù)列、的前n項(xiàng)和分別為，若，求
6、為AP，
其前n項(xiàng)和為,求的前n項(xiàng)和
⑴a1>0，d<0時(shí),則數(shù)列為減,設(shè)時(shí)，，時(shí)，
則：
⑵a1<0，d>0時(shí)，數(shù)列為增，設(shè)時(shí)，時(shí)
如的前n項(xiàng)和，求
三、求和的常用方法
方法一：變通項(xiàng)，用公式
1、
2、
3、
4、 （自己完成）
5、（C89）是否存在常數(shù)a、b、c使等式
對(duì)一切自然數(shù)n均成立，證明你的結(jié)論。（用兩種方法完成）
22、
三角公式總表
⒈L弧長(zhǎng)=R= S扇=LR=R2=
⒉正弦定理：=== 2R（R為三角形外接圓半徑）
⒊余弦定理：a=b+c-2bc b=a+c-2ac c=a+b-2ab
⒋S⊿=a=ab=bc=ac==2R
====pr=
(其中, r為三角形內(nèi)切圓半徑)
⒌同角關(guān)系：
⑴商的關(guān)系：①=== ②
③ ④
⑤ ⑥
⑵倒數(shù)關(guān)系：
⑶平方關(guān)系：
⑷ （其中輔助角與點(diǎn)（a,b）在同一象限，且）
⒍函數(shù)y=k的圖象及性質(zhì)：（）
振幅A，周期T=, 頻率f=, 相位，初相
⒎五點(diǎn)作圖法
23、：令依次為 求出x與y， 依點(diǎn)作圖
⒏誘導(dǎo)公試
sin
cos
tg
ctg
-
-
+
-
-
-
+
-
-
-
+
-
-
+
+
2-
-
+
-
-
2k+
+
+
+
+
三角函數(shù)值等于的同名三角函數(shù)值，前面加上一個(gè)把看作銳角時(shí)，原三角函數(shù)值的符號(hào)；即：函數(shù)名不變，符號(hào)看象限
sin
con
tg
ctg
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
+
+
-
+
-
-
三角函數(shù)值等于的異名三角函數(shù)值，前面加上一個(gè)把看作銳角時(shí)，原三角函數(shù)值的符號(hào);
24、即：函數(shù)名改變，符號(hào)看象限
⒐和差角公式
① ②
③ ④
⑤ 其中當(dāng)A+B+C=π時(shí),有:
i). ii).
⒑二倍角公式：(含萬(wàn)能公式)
①
②
③ ④ ⑤
⒒三倍角公式：
①
②
③
⒓半角公式：（符號(hào)的選擇由所在的象限確定）
① ② ③
④ ⑤ ⑥
⑦
⑧
⒔積化和差公式：
⒕和差化積公式：
① ②
③ ④
⒖反三角函數(shù)：
名稱(chēng)
函數(shù)式
定義域
值域
性質(zhì)
反正弦函數(shù)
增
奇
反余弦函數(shù)
減
反正切函數(shù)
R 增
奇
反余切函數(shù)
R 減
⒗最簡(jiǎn)單的三角方程
方程
方程的解集
函數(shù)三角公式總表
