專題13　二次函數(shù)的應(yīng)用　 1．xx安徽小明大學(xué)畢業(yè)回家鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)，第一期培植盆景與花卉各50盆，售后統(tǒng)計(jì)，盆景的平均每盆利潤是160元，花卉的平均每盆利潤是19元，調(diào)研發(fā)現(xiàn)： ①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利潤減少2元；每減少1盆，盆景的平均每盆利潤增加2元．②花卉的平均每盆利潤始終不變． 小明計(jì)劃第二期培植盆景與花卉共100盆，設(shè)培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景與花卉售完后的利潤分別為W1(單位：元)，W2(單位：元)． (1)用含x的代數(shù)式分別表示W(wǎng)1，W2； (2)當(dāng)x取何值時(shí)，第二期培植的盆景與花卉售完后獲得的總利潤W(單位：元)最大，最大總利潤是多少？ 2．xx衢州某游樂園有一個(gè)直徑為16米的圓形噴水池，噴水池的周邊有一圈噴水頭，噴出的水柱為拋物線，在距水池中心3米處達(dá)到最高，高度為5米，且各方向噴出的水柱恰好在噴水池中心的裝飾物處匯合．如圖Z－13－1所示，以水平方向?yàn)閤軸，噴水池中心為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系． (1)求水柱所在拋物線(第一象限部分)的函數(shù)解析式； (2)王師傅在噴水池內(nèi)維修設(shè)備期間，噴水管意外噴水，為了不被淋濕，身高1.8米的王師傅站立時(shí)必須在離水池中心多少米以內(nèi)？ (3)經(jīng)檢修評(píng)估，游樂園決定對(duì)噴水設(shè)施做如下設(shè)計(jì)改進(jìn)：在噴出水柱的形狀不變的前提下，把水池的直徑擴(kuò)大到32米，各方向噴出的水柱仍在噴水池中心保留的原裝飾物(高度不變)處匯合，請(qǐng)?zhí)骄繑U(kuò)建改造后噴水池水柱的最大高度． 圖Z－13－1 3．xx金華、麗水如圖Z－13－2，拋物線y＝ax2＋bx(a<0)過點(diǎn)E(10，0)，矩形ABCD的邊AB在線段OE上(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊)，點(diǎn)C，D在該拋物線上．設(shè)A(t，0)，當(dāng)t＝2時(shí)，AD＝4. (1)求拋物線的函數(shù)解析式； (2)當(dāng)t為何值時(shí)，矩形ABCD的周長有最大值？最大值是多少？ (3)保持t＝2時(shí)的矩形ABCD不動(dòng)，向右平移拋物線．當(dāng)平移后的拋物線與矩形的邊有兩個(gè)交點(diǎn)G，H，且直線GH平分矩形的面積時(shí)，求拋物線平移的距離． 圖Z－13－2  詳解詳析 1．解：(1)W1＝(50＋x)(160－2x)＝－2x2＋60x＋8000， W2＝19(50－x)＝－19x＋950. (2)W＝W1＋W2＝－2x2＋41x＋8950＝－2(x－)2＋. ∵x取整數(shù)，∴由二次函數(shù)的性質(zhì)知當(dāng)x＝10時(shí)，W最大＝－2102＋4110＋8950＝9160(元)． 2．解：(1)∵拋物線的頂點(diǎn)為(3，5)，∴設(shè)y＝a(x－3)2＋5， 將(8，0)代入得a＝－， ∴y＝－(x－3)2＋5(或y＝－x2＋x＋)(0<x<8)． (2)當(dāng)y＝1.8時(shí)，即1.8＝－x2＋x＋， 解得x1＝7，x2＝－1(不合題意，舍去)． 答：王師傅必須站在離水池中心7米以內(nèi)． (3)由y＝－(x－3)2＋5可得原拋物線與y軸的交點(diǎn)為(0，)． ∵裝飾物高度不變，∴新拋物線也經(jīng)過點(diǎn)(0，)． ∵噴出水柱的形狀不變，∴a＝－. ∵直徑擴(kuò)大到32米，∴新拋物線過點(diǎn)(16，0)． 設(shè)新拋物線為y新＝－x2＋bx＋c， 將(0，)和(16，0)代入得b＝3，c＝， ∴y新＝－x2＋3x＋，∴y新＝－(x－)2＋， 當(dāng)x＝時(shí)，y最大＝. 答：擴(kuò)建改造后噴水池水柱的最大高度為米． 3．解：(1)設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為y＝ax(x－10)． ∵當(dāng)t＝2時(shí)，AD＝4，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是(2，4)． ∴4＝a2(2－10)，解得a＝－， ∴拋物線的函數(shù)解析式為y＝－x2＋x. (2)由拋物線的對(duì)稱性得BE＝OA＝t，∴AB＝10－2t. 當(dāng)x＝t時(shí)，y＝－t2＋t. ∴矩形ABCD的周長＝2(AB＋AD)＝2[(10－2t)＋(－t2＋t)]＝－t2＋t＋20＝－(t－1)2＋. ∵－＜0，∴當(dāng)t＝1時(shí)，矩形ABCD的周長有最大值，最大值是. (3)當(dāng)t＝2時(shí)，點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)分別為(2，0)，(8，0)，(8，4)，(2，4)， ∴矩形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為(5，2)． 當(dāng)平移后的拋物線過點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)H的坐標(biāo)為(4，4)，此時(shí)GH不能將矩形面積平分； 當(dāng)平移后的拋物線過點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)G的坐標(biāo)為(6，0)，此時(shí)GH也不能將矩形面積平分； 當(dāng)G，H中有一點(diǎn)落在線段AD或BC上時(shí)，直線GH不可能將矩形面積平分； 當(dāng)點(diǎn)G，H分別落在線段AB，DC上，直線GH過點(diǎn)P時(shí)，必平分矩形ABCD的面積． ∵AB∥CD，∴線段OD平移后得到線段GH， ∴線段OD的中點(diǎn)Q平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是P. 在△OBD中，PQ是中位線，∴PQ＝OB＝4. ∴拋物線向右平移的距離是4個(gè)單位長度．