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專題一 中點M型 基本條件： ①∠PMQ＝∠B＝∠C；②M是BC的中點 基本結(jié)論： ①△EMF∽△EBM∽△MCF. ②EM平分∠BEF，F(xiàn)M平分∠EFC. ③EM＝EBEF，F(xiàn)M＝FCEF. 常見特例： 特例一：條件：①等邊△ABC；②∠MPN＝60，③P是BC的中點。 特例二：條件：①等腰直角△ABC，AC＝BC，∠C＝90；②∠EDF＝45；③點D是AB的中點。特例三：條件：①AB＝AC；②∠BAC＝120，∠EDF＝30，③D是BC的中點。 特例四：條件：①矩形ABCD；②∠GEF＝90，③E是AB的中點。 特例五：條件：①直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90；②E是AD的中點；③∠BEC＝90。 鞏固練習(xí)： 1. 已知：梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90，E為AB的中點，若AD＝2， BC＝4，∠CED＝90，則CD長為 。 2. 如圖，在正方形ABCD中，點E、F在邊BC、CD上，若 AE＝2，EF＝1， AF＝ ，則正方形的邊長為 。 3. 已知：等邊 △ABC中，AB＝8，點D為AB的中點，點M為BC上一動點 ，以DM為一邊，在點B異側(cè)作等邊△DMN。DN交AC于點F，當(dāng) ∠DAN＝90時，則FN的長為 。 4. 如圖，以矩形OABC的鄰邊OA、OC分別為x軸、y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，F(xiàn)為線段OA上的一點，將△COF沿直線CF翻折，點O落在AB的中點E處，且OC＝6. （1） 求直線EF的解析式； （2） 將直線EF繞點F逆時針旋轉(zhuǎn)90，得到直線m，直線m交y軸于點D，求點D的坐標(biāo)。 1. 如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，點D為BC邊的中點，BE⊥AC于E，DF⊥AB于F. (1) 當(dāng)0＜α＜90，（如圖1），求證：AE＋2BF＝AB； (2) 當(dāng)90＜α＜180，（如圖2），則AE、BF、AB之間的數(shù)量關(guān)系 ； (3) 在（1）的條件下，過點D作DG∥AB，交AC于G，且DF＝GE＝3時（如圖3），求BF的值。 2. 已知：直角梯形ABCD，AB∥CD，∠ABC＝90，AB＝BC，E為射線BC上一點，連接AE，過點E作AE的垂線，分別交直線AB、直線CD于點G和F. (1) 當(dāng)點E在BC上時（如圖1），求證：BE＝BG＋CF. (2) 當(dāng)點E在BC的延長線上時（如圖2），猜想BE、BG和CF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想； (3) 在（2）的條件下，設(shè)AE交CD于點H，若CH＝BE，AB＝2，且CD＜，求EG的長。 “A”字型專題 1. 已知，在正方形ABCD中，點E是邊AB上一點，點G在邊AD上，連接EG，EG＝DG，作EF⊥EG，交邊BC于點F(圖1)。 （1） 求證：AE＋CF＝EF； （2） 連接正方形ABCD的對角線AC，連接DF，線段AC與線段DF相交于點K（圖2），探究線段AE、AD、AK之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的結(jié)論 。 （3） 在（2）的條件下，連接線段DE與線段AC相交于點P，（圖3）若AK＝8，△BEF的周長為24，求PK的長。 2. 如圖，在△ABC中，AB＝2AC，點D在BC上，且∠CAD＝∠B，點E在AB的中點，連接CE，CE與AD交于點G，點F在BC上，且∠CEF＝∠BAC. （1） 若∠BAC＝90，如圖1，求證：EG＋EF＝AC； （2） 若∠BAC＝120，如圖2，此時線段EG、EF、AC三者之間的數(shù)量關(guān)系為 ； （3） 在（2）的條件下，在∠BAD的內(nèi)部作∠DAM＝60，∠DAM的一邊AM交BC于點M，AM與CE交于點N，若AC＝2，求線段MN的長。 3. 已知，在△ABC中， BC＝AC，∠MCN＝∠ACB，CM交AB于點E，過點B作BF⊥CB交CN于點F. （1） 當(dāng) ∠ACB＝90（如圖1所示）時，求證：BE－AE＝BF； （2） 當(dāng)∠ACB＝120（如圖2所示）時，線段BE、AE與BF之間的數(shù)量關(guān)系為 ； （3） 在（2）的條件下，F(xiàn)B、CE的延長線相交于點G，連接AG、FE，直線AG、FE交于點H,若AC＝6，BF＝BE，求AH的長。 “X”字型專題 1. 已知，A、C分別為∠BOE兩邊上的兩點，D為∠BOE內(nèi)一點，DC∥OB，DA∥OE，連接OD、AC相交于點F，G為FD上一點，過點G的直線交OE于Q，交CD于點P，交AD于點N，交OB于點M. （1） 若FG＝FD時（如圖1），求證：PQ＋MN＝PN； （2） 若FG＝FD時（如圖1），且△OAC為等邊三角形，OC＝4，CQ＝3，現(xiàn)將∠DAC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后AD所在邊交OC于S，AC所在邊交CD于點T，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到AT∥MQ時，連接ST， 求：ST長。 2. 如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90，AD平分∠BAC，sin∠BAC＝(即＝)，P為AB邊上一點，過點P作PM⊥BC，PN⊥AD垂足為M、N。 （1） 當(dāng)點M與點D重合時，求證：PM＝P N. （2） 當(dāng)點N與點重合時，連接AM交PD于點E，將射線PD繞點P順時針旋轉(zhuǎn)45，交AM于點F；若AC＝3，求EF的長。 “M”字型專題 1. 已知，四邊形ABCD中，AD＝AB，AD∥BC，∠A＝90，M為AD的中點，F(xiàn)為BC邊上一點，連接MF，過M點作ME⊥MF，交邊AB于點E。 （1） 如圖1，當(dāng)∠ADC＝90時，求證：4AE＋2CF＝CD. （2） 如圖2，當(dāng)∠ADC＝135時，線段AE、CF、CD的數(shù)量關(guān)系為 . （3） 如圖3，在（1）的條件下，連接EF、EC、EC與FM相交于點K，線段FM關(guān)于FE對稱的線段與AB相交于點N，若NE＝，F(xiàn)C＝AE，求MK的長。 2.如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90，過點B作∠BAC平分線AD的垂線，垂足為D，AD交BC于點E. （1）當(dāng)＝時，求證：DE＝AE； （2）當(dāng)＝時，判斷DE、AE的關(guān)系 ； （3）在（2）的條件下，取CD中點F，連結(jié)EF并延長交AC延長線于點G，交CD于F，現(xiàn)有一個45角頂點與F重合，將它旋轉(zhuǎn)一邊交CG于點M，另一邊交BC于點N，若CM＝MG，AC＝3，求CN的長。 2. 如圖1，在△ABC中，AC＝BC ，∠ACB＝90，點D為AB邊中點，以點D為頂點，作∠PDQ＝90，DP、DQ分別交直線AC、BC于E、F，分別過點E、F作AB的垂線，垂足分別為M、N. （1） 求證：EM＋FN＝AC. （2） 把∠PDQ繞點D旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點E在線段AC的延長線上時（如圖2） 特別資料 一、 基本圖形：“A”字型 1. 計算，已知：△ABC中，DA交BF于點E，AE＝ED，BD：CD＝1:2，AC＝4，求AF的值。 2. 已知，△ABC中，AD平分∠BAC，∠BAC＝120，若AC＝6，BC＝3，求AD的長。 3. 已知，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，EF∥BC，AF＝2，AB＝，求DE的長度。 4.已知，D在BC的延長線上，DF交AC于點E，E為AC的中點，BF＝3AF. 求證：BC＝2CD. 5.已知：△AB C、△BCE均為等邊三角形，且A、B、C共線， 求證：（1）MN∥AC （2） 6.已知，△ABC中，AD、CE分別平分∠BAC，∠ACB ，∠B＝60， 求證：（1）AE＋CD＝AC （2）若AD＝5，PC＝6，求AE的長。 二、基本圖形：“X”字型 1.已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90，CD⊥DE，且DB＝BC，若AE:EC＝1:3，AB＝5，求AD的長。 2.已知： △ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC交AD于點F，若∠BAC＝45，CD＝1，BD＝ 求AD的長。 3. 已知，矩形ABCD沿BE折疊后C與G重合，若DE＝1，CE＝2，BC＝6，求AF的長。 4. 已知：Rt△ABC中，∠BAC＝90，AD⊥BC，BF平分∠ABC，且FC＝2AF，求證：BE＝EF. 5. 已知：△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120，AB⊥BD，∠DAE＝60，求證：BD＋2EC＝AC. 6. 已知：矩形ABCD沿AE折疊后B與G重合，且CE:BE＝1:2，求證：AF－FD＝AB. 7. 已知：矩形ABCD中，B（8，5），點P（m，0）且0＜m＜8，點O關(guān)于直線PC的對稱點為O，直線CO交直線AB于Q,求m為何值時，△PCQ是以PQ為底邊的等腰三角形。 三、 基本圖形“直射影、斜射影” 1. 已知：△ABC中，∠BAD＝∠C， 若AB＝4，BD＝2，求AD長。 2.已知：△ABC中，AD⊥AC， 若AB＝AC＝6，BD＝1，求BC的長。 3.已知：AB⊥CD，∠CED＝90，DF⊥AC交BE于點G，若BG＝3，AE＝6，求EG的長。 4.已知：AD平分∠BAC，E在BC的延長線上，EF垂直平分AD且CE＝2CD， 求證：DE＝2BD. 5.已知：Rt△ABC中，∠BAC＝90，AD⊥BC，延長AC至E使∠CED＝∠CBE，求證：AC＝CE . 6. 已知：Rt△ABC中，∠BAC＝90，AD⊥BC，E為AD中點，且EF⊥EC，求證：BF＝3DF . 7.已知：梯形OABC中，BC∥OA，B（3，6），A（8,0）點P(m，n)在AB邊上（3＜m＜8），過P作OA平行線OA，交AC于D，過P作OA的垂線交OA于點E， 求，當(dāng)m為何值時，△ODE為直角三角形？ 8.已知：△ABC中，BC＝2AB，P為BC中點，∠ABC＝∠APF＝120，且∠ABD＝∠C， （1）求證：PF＝AE （2）若AD＝，求DE的長。 四、基本圖形“M”型①直M型②斜M型 1.已知：Rt △ABC中，∠C＝90，D為BC中點，∠ADE＝∠B，若AC＝2，BC＝4，求BE的長。 2.已知：梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠AEF＝90，若AB＝3，BE＝1，AD＝6，EC＝8，求DF的長。 3. 已知：Rt △ABC中，∠BAC＝90，D為BC中點，∠EDF＝∠B＝45，若BF＝2，AE＝3，求EF的長。 4.已知：△ABC為等邊三角形，D為BC中點，∠EDF＝60，若AE＝3，EF＝7，求FC的長。 5. 已知：△ABC中，∠BAC＝120，∠EDF＝∠B＝30，且AB＝2AE，求證:DF＝CF。 6. 已知：Rt △ABC中，∠A＝90，∠EDF＝∠B＝45，若AE: BD＝1:，求證：EC＝2AE。 7.已知：梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CD，PA:PD＝1:2，且 ∠A＝∠EPF＝120 求證：PF＝3PE. 8.已知：梯形ABCD中，BC∥OA，A(，0)，B（，8），點P在BC邊上，點Q（m，n）在AB邊上，PO⊥PQ，求當(dāng)m為何值時，? 9. Rt △ABC中，∠C＝90，AD平分∠BAC，DE⊥AD，且AC＝2CD, （1）求證：BD＝2BE. （2）連接EC交AD于F，BDCD＝60，求DF的長。 五、基本圖形：（1）“雙高型”①含45必全等②有6+2對相似，（2）斜“A”型，（3）斜“X” 型， （2）“雙斜”型， 1.已知：△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，AD:BD＝1:2，BC＝，求DE的長。 2.已知：矩形ABCD中，BC＝3AB，CE:BE＝1:2，求∠1＋∠2的度數(shù)。 3.已知： Rt △ABC中，∠C＝90， AB＝AC,D為BC的中點，∠EDF＝45，若BE＝4，DE＝2，求EF的長。 4.已知：等邊△ABC邊長為，D為BC的中點，∠EDF＝60，設(shè)EF＝x，S＝y(tǒng)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式。 5.已知：Rt △ABC中，∠A＝90，AD＝BE＝AB＝AC，求證：∠1＝∠2。 6.已知：△ABC中，AD⊥BC，BF⊥AC，且∠ABC＝60，求證：AB＋CE＝2CB. 7.已知：梯形ABCD中，AD∥BC，BD＝CD，∠AEB＝∠C＝60，求證：AD＋DE＝BD. 8.已知：△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，DE⊥AC，F(xiàn)為DE中點，求證：AF⊥BE. 9.已知：Rt △ABC中，∠BAC＝90， AD⊥BC，∠EDF＝90，且AD:BD＝1:2， （1）求證：DE＝2DF. （2）若CDPE＝DFAF，AC＝5，求PF的長。