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因式分解 一、選擇題 1.下列各式中，不含因式a+1的是（ ） A.2a2+2aB.a2+2a+1C.a2﹣1D. 2.下列因式分解錯誤的是（ ） A.2x（x﹣2）+（2﹣x）=（x﹣2）（2x+1）B.x2+2x+1=（x+1）2 C.x2y﹣xy2=xy（x﹣y）D.x2﹣y2=（x+y）（x﹣y） 3.下列因式分解中，正確的個數(shù)為（ ） ①x3+2xy+x=x（x2+2y）；②x2+4x+4=（x+2）2；③﹣x2+y2=（x+y）（x﹣y） A.3個B.2個C.1個D.0個 4.若x=1， ，則x2+4xy+4y2的值是（ ） A.2B.4C.D. 5.化簡:(a+1)2-(a-1)2=( ) A.2B.4C.4aD.2a2+2 6.下列因式分解正確的是( ) A.(x-3)2-y2=x2-6x+9-y2B.a2-9b2=(a+9b)(a-9b) C.4x6-1=(2x3+1)(2x3-1)D.-x2-y2=(x-y)(x+y) 7.若代數(shù)式x2+ax可以分解因式，則常數(shù)a不可以?。?） A.﹣1B.0C.1D.2 8.下列各多項式中,不能用平方差公式分解的是( ). A.a2b2－1B.4－0.25a2C.－a2－b2D.－x2+1 9.分解因式x2y﹣y3結(jié)果正確的是（ ). A.y(x+y)2B.y(x-y)2 C.y(x2-y2)D.y(x+y)(x-y) 10.邊長為a、b的長方形周長為12,面積為10,則 的值為( ) A.120B.60C.80D.40 11.如果2x2+mx﹣2可因式分解為（2x+1）（x﹣2），那么m的值是（ ） A.﹣1B.1C.﹣3D.3 12.下列各式從左邊到右邊的變形是因式分解的是（ ） A.B.C.D. 二、填空題 13.分解因式：x2﹣16=________． 14.兩個多項式①a2+2ab+b2 ， ②a2﹣b2的公因式是________ 15.分解因式：x2﹣2x+1=________． 16.甲、乙兩個同學(xué)分解因式x2+ax+b時，甲看錯了b，分解結(jié)果為（x+2）（x+4）；乙看錯了a，分解結(jié)果為（x+1）（x+9），則a+b=________ 17.把多項式x3 -25x分解因式的結(jié)果是________. 18.若x2﹣9=（x﹣3）（x+a），則a=________ 19.把多項式 分解因式的結(jié)果是________. 20.已知 ， 則代數(shù)式 的值是________ 21.當(dāng)a=3，a﹣b=1時，代數(shù)式a2﹣ab的值是________． 22.若a2﹣2a﹣4=0，則5+4a﹣2a2=________． 三、解答題 23.把下列各式分解因式: （1）x2(a-1)+y2(1-a); （2）18(m+n)2-8(m-n)2; （3）x2-y2-z2+2yz. 24.計算 （1）已知a＋b＝－3，ab＝5，求多項式4a2b＋4ab2－4a－4b的值 （2）已知x2-3x-1=0,求代數(shù)式3-3 x2+9x的值？ 25.下面是某同學(xué)對多項式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4進(jìn)行因式分解的過程． 解：設(shè)x2﹣4x=y 原式=（y+2）（y+6）+4（第一步） =y2+8y+16（第二步） =（y+4）2（第三步） =（x2﹣4x+4）2（第四步） 回答下列問題： （1）該同學(xué)第二步到第三步運(yùn)用了因式分解的（ ） A.提取公因式B.平方差公式C.兩數(shù)和的完全平方公式D.兩數(shù)差的完全平方公式 （2）該同學(xué)因式分解的結(jié)果是否徹底________．（填“徹底”或“不徹底”） 若不徹底，請直接寫出因式分解的最后結(jié)果________． （3）請你模仿以上方法嘗試對多項式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1進(jìn)行因式分解． 26.對于多項式x3-5x2+x+10,我們把x=2代入此多項式,發(fā)現(xiàn)x=2能使多項式x3-5x2+x+10的值為0,由此可以斷定多項式x3-5x2+x+10中有因式x-2(注:把x=a代入多項式,能使多項式的值為0,則多項式中一定含有因式(x-a),于是我們可以把多項式寫成:x3-5x2+x+10=(x-2)(x2+mx+n),分別求出m,n后再代入x3-5x2+x+10=(x-2)(x2+mx+n)中,就可以把多項式x3-5x2+x+10因式分解). （1）求式子中m,n的值; （2）以上這種因式分解的方法叫“試根法”,用“試根法”分解因式x3+5x2+8x+4.  答案解析 一、選擇題 1.【答案】D 【解析】 ：A、∵2a2+2a=2a（a+1），故本選項不符合題意； B、a2+2a+1=（a+1）2 ， 故本選項不符合題意； C、a2﹣1=（a+1）（a﹣1），故本選項不符合題意； D、 = ，故本選項符合題意． 故答案為：D． 【分析】根據(jù)因式分解的定義：把一個多項式在一個范圍(如實數(shù)范圍內(nèi)分解，即所有項均為實數(shù))化為幾個整式的積的形式，這種式子變形叫做這個多項式的因式分解，也叫做把這個多項式分解因式；把各個選項因式分解，找出不含因式a+1的選項. 2.【答案】A 【解析】 A、原式=（x﹣2）（2x﹣1），符合題意； B、原式=（x+1）2 ， 不符合題意； C、原式=xy（x﹣y），不符合題意； D、原式=（x+y）（x﹣y），不符合題意， 故答案為：A． 【分析】根據(jù)因式分解的定義，將一個多項式化為幾個整式的積的恒等變形就是因式分解，然后利用整式的乘法將變形的右邊利用整式的乘法法則得出結(jié)果，和左邊進(jìn)行比較即可得出答案。 3.【答案】C 【解析 ：①x3+2xy+x=x（x2+2y+1），故原題錯誤； ②x2+4x+4=（x+2）2；正確； ③﹣x2+y2=（x+y）（y﹣x），故原題錯誤； 故正確的有1個． 故答案為：C． 【分析】第一個中的第一項的指數(shù)是3，第三項不是y的平方，所以不符合完全平方式的條件；第三個應(yīng)該是（x+y）（y-x）. 4.【答案】B 【解析】 ：原式=（x+2y）2=（1+2 ）2=4．故答案為：B【分析】根據(jù)完全平方公式a22ab+b2=（ab）2 ， 分解因式x2+4xy+4y2=（x+2y）2 ， 把x、y的值代入，求出代數(shù)式的值. 5.【答案】C 【解析】 ： (a+1)2-(a-1)2=[(a+1)-(a-1)][(a+1)+(a-1)]=22a=4a. 選C【分析】根據(jù)平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)，分解即可. 6.【答案】C 【解析】 ：A、（x-3）2-y2=x2-6x+9-y2 ， 不是兩數(shù)積的形式的形式，不符合因式分解特點，故此選項不符合題意； B、原式應(yīng)該為：a2-9b2=（a+3b）（a-3b）；故此選項不符合題意； C、4x6-1=（2x3+1）（2x3-1），故此選項符合題意； D、原式應(yīng)該為：2xy-x2-y2=-（x-y）2 ， 故此選項不符合題意；故答案為：C 【分析】根據(jù)因式分解的定義把一個多項式化為幾個整式的積的形式，再根據(jù)平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)分解即可. 7.【答案】B 【解析】 ：∵代數(shù)式x2+ax可以分解因式， ∴常數(shù)a不可以取0． 故答案為：B． 【分析】根據(jù)因式分解的定義，就是將一個多項式分解為幾個整式的積的形式，從而可知x2+ax能分解因式的話，必須是多項式，故a≠0,從而得出答案。 8.【答案】C 【解析】 ：A、a2b2－1=（ab）2-12 ， 可以利用平方差公式分解因式，故A不符合題意； B、4－0．25a2=22-（0.5a）2 ， 可以利用平方差公式分解因式，故B不符合題意； C、－a2－b2=-（a2+b2），不能分解因式，故C符合題意； D、－x2+1=-（x2-1），可以利用平方差公式分解因式，故D不符合題意； 故答案為：C【分析】平方差公式的特點：多項式含有兩項，兩項的符號相反，兩項的絕對值都能寫出平方形式，對各選項逐一判斷即可。 9.【答案】D 【解析】 ：x2y﹣y3=y（x2-y2）=y(x+y)(x-y) 故答案為：D 【分析】觀察此多項式的特點，有公因式y(tǒng)，因此先提取公因式，再利用平方差公式分解因式。 10.【答案】B 【解析】 ：∵邊長為a、b的長方形周長為12,面積為10, ∴2（a+b）=12，ab=10 ∴a+b=6 ∴a2b+ab2 =ab（a+b）=106=60 【分析】根據(jù)已知求出a+b、ab的值，再將a2b+ab2 分解因式，然后整體代入求值即可。 11.【答案】C 【解析】 ：∵2x2+mx﹣2=（2x+1）（x﹣2）=2x2﹣3x﹣2， ∴m=﹣3． 故答案為：C． 【分析】根據(jù)多項式的乘法運(yùn)算，把（2x+1）（x﹣2）展開，再根據(jù)對應(yīng)項的系數(shù)相等進(jìn)行求解即可. 12.【答案】D 【解析】 A、是一個二元一次方程組，故A不符合題意; B、是單項式乘法的逆用,故B不符合題意; C是多項式乘以多項式的乘法運(yùn)算,故C不符合題意; D是將一個多項式變形為兩個整式的積，故D符合題意 【分析】根據(jù)因式分解的定義，把一個多項式分解為幾個整式的積的形式，即可得出結(jié)論。 二、填空題 13.【答案】(x＋4)(x－4) 【解析】 ：x2﹣16=（x+4）（x﹣4）．【分析】16=42 ， 利用平方差公式分解可得. 14.【答案】a+b． 【解析】 ：①a2+2ab+b2=（a+b）2； ②a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）； 故多項式①a2+2ab+b2 ， ②a2﹣b2的公因式是a+b． 故答案為：a+b． 【分析】利用完全平方公式和平方差公式化簡和展開得到（a+b）2和（a+b）（a﹣b），答案就很顯然了. 15.【答案】（x﹣1）2 【解析】 ：x2﹣2x+1=（x﹣1）2 ． 【分析】利用完全平方公式分別即可。 16.【答案】15 【解析】 ：分解因式x2+ax+b，甲看錯了b，但a是正確的， 他分解結(jié)果為（x+2）（x+4）=x2+6x+8， ∴a=6， 同理：乙看錯了a，分解結(jié)果為（x+1）（x+9）=x2+10x+9， ∴b=9， 因此a+b=15． 故答案為：15． 【分析】由題意分析a，b是相互獨(dú)立的，互不影響的，在因式分解中，b決定因式的常數(shù)項，a決定因式含x的一次項系數(shù)；利用多項式相乘的法則展開，再根據(jù)對應(yīng)項系數(shù)相等即可求出a、b的值. 17.【答案】 【解析】 ：解：x3-25x=x（x2-25）=x（x+5）（x-5）故答案為：x（x+5）（x-5） 【分析】觀察此多項式的特點：含有公因式x，因此提取公因式x后，再利用平方差公式分解因式即可。 18.【答案】3 【解析】 ：∵x2﹣9=（x+3）（x﹣3）=（x﹣3）（x+a）， ∴a=3． 故答案為：3． 【分析】本題考查的是平方差公式，因為，所以可知a=3. 19.【答案】 【解析】 ：原式=3a（a2﹣4a+4）=3a（a﹣2）2 ． 故答案為：3a（a﹣2）2 ． 【分析】先利用提公因式法分解因式，再利用完全平方公式分解到每一個因式都不能再分解為止。 20.【答案】15 【解析】 =（a+b）（a-b）=35=15. 故答案為：15. 【分析】根據(jù)平方差公式分解因式，再利用整體代入法即可得出答案。 21.【答案】3 【解析】 當(dāng) 時，原式=31=3． 故答案為：3． 【分析】先利用提公因式法分解因式，再利用整體代入即可算出代數(shù)式的值。 22.【答案】-3 【解析】 ∵ 即 ∴原式 故答案為： 【分析】根據(jù)已知方程，可得出a2?2a=4， 再將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為5?2(a2?2a），再整體代入求值即可。 三、解答題 23.【答案】（1）解：原式=x2(a-1)-y2(a-1)=(a-1)(x2-y2)=(a-1)(x+y)(x-y) （2）解：原式=2[9(m+n)2-4(m-n)2] =2{[3(m+n)]2-[2(m-n)]2} =2[(3m+3n)2-(2m-2n)2] =2[(3m+3n+2m-2n)(3m+3n-2m+2n)] =2(5m+n)(m+5n) （3）解：原式=x2-(y2+z2-2yz)=x2-(y-z)2 =(x+y-z)(x-y+z) 【解析】【分析】（1）觀察多項式的特點，有公因式a-1，因此提取公因式后再利用平方差公式分解因式即可。 （2）觀察此多項式的特點，有公因數(shù)2，因此提取公因數(shù)后，將另一個因式寫成平方差公式的形式，然后利用平方差公式分解因式即可。 （3）此多項式有4項，沒有公因式，因此采用分組分解法，后三項可構(gòu)造完全平方公式，因此將后三項結(jié)合，利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可。 24.【答案】（1）解：原式 =4 ab（a＋b）-4（a＋b） =（4 ab-4）（a＋b） =4（ab-1）（a＋b） 當(dāng)a＋b＝－3，ab＝5時， 原式=4 （5-1） （-3） =4 4 （-3） =-48 （2）解：解：原式=-3（x2-3x-1） 當(dāng)x2-3x-1=0， 原式=-3 0 =0 【解析】【分析】（1）將代數(shù)式提取公因式4（a+b），轉(zhuǎn)化為4（ab-1）（a＋b），再整體代入求值即可。 （2）將代數(shù)式提取公因數(shù)-3，轉(zhuǎn)化為-3（x2-3x-1），再整體代入求值即可。 25.【答案】（1）C （2）不徹底； （3）解：設(shè)x2﹣2x=y． （x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1， =y（y+2）+1， =y2+2y+1， =（y+1）2 ， =（x2﹣2x+1）2 ， =（x﹣1）4 【解析】【解答】（2）該式還可以繼續(xù)因式分解，（x2﹣4x+4）2==(x-2)4 【分析】運(yùn)用換元法把x2﹣2x=y，再根據(jù)完全平方公式a22ab+b2=（ab）2分解. 26.【答案】（1）解：∵x3-5x2+x+10=(x-2)(x2+mx+n) 分別令x=0,x=1, 10=-2n，15=1+m+n 解之：m=-3,n=-5 （2）解：當(dāng)x=-1時，x3+5x2+8x+4=0 x3+5x2+8x+4=(x+1)(x2+ax+b) 分別令x=0,x=1, 4=b，18=2（1+a+b） 解之：a=4,b=4, ∴x3+5x2+8x+4=(x+1)(x2+4x+4)=(x+1)(x+2)2 【解析】【分析】（1）根據(jù)題意將x=0和x=1分別代入x3-5x2+x+10=(x-2)(x2+mx+n)，建立關(guān)于m、n的方程組，求解即可。 （2）根據(jù)題意可知當(dāng)當(dāng)x=-1時，x3+5x2+8x+4=0，原式可轉(zhuǎn)化為x3+5x2+8x+4=(x+1)(x2+ax+b)，將x=0和x=1分別代入x3+5x2+8x+4=(x+1)(x2+ax+b)，建立關(guān)于a、b的方程組，求解即可分解因式。